1、郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1987年数学试题详解及评分参考 1987年 第 1页 1987年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考 数 学（试卷） 一、填空题（每小题 3分，满分 15分 . 只写答案不写解题过程） (1) 与两直线 1 1 2 x yt zt = =-+ =+ 及 121 121 xyz +- =都平行，且过原点的平面方程是 . 【答】 应填 0. xyz -+-= 【解】 因平面与所给两直线都平行，从而其法线与两直线的方向向量都垂直，取法向量 011. 121 ijk nijk =-+-由平面过原点知，所求平面方程为 0. xyz -+-= (2) 当
2、x = ；时，函数 2 x yx = 取得极小值 . 【答】 应填 1 . ln2 - 【解】 由 ( ) 22ln221ln20 xxx yxx =+=+= ，得 1 . ln2 x =- 又 ( ) 2ln21ln22ln2 xx yx =+，故 1 ln2 1 ()2ln20 ln2 y - -= . 可见，当 1 ln2 x =- 时，函数 2 x yx = 取得极小值 . (3) 由 ln yx = 与两直线 (1) yex =+-及 0 y = 围成图形的面积 = . 【答】 应填 3 . 2【解】 所求面积为 ( ) 1 1 3 ln1. 2 ee e Sxdxexdx + =+
3、-= (4) 设 L为取正向的圆周 9 2 2 = + y x ，则曲线积分 2 (22)(4) L xyydxxxdy -+- 的值 是 . 【答】 应填 18. p - 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1987年数学试题详解及评分参考 1987年 第 2页 【解法一】 L的参数方程为 3cos,3sin,02, xtytt p = 则有 2 (22)(4) L xyydxxxdy -+- ( )( ) ( ) 2 2 0 18sincos6sin3sin9cos12cos3cos18. tttttttdt p p =-+-=- 【解法二】记 22 :9. Dxy + 由格林 公式 得 2
4、 2 (4)(22) (22)(4)(2)18. L DD xxxyy xyydxxxdydxdydxdy xy p - -+-=-=-=- (5) 已 知 三维 线 性空间 的一 组基底 123 (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) = aaa ，则向量 ( ) 2,0,0 = b 在上述基底下 的 坐标 是 . 【答】 应填 ( ) 1,1,1. T - 【解】 求向量 b在基底 123 , aaa下 的 坐标 ， 相 当 于 解方程 组 112233 . xxx += aaab 令 112233 , xxx += aaab 即 12 13 23 2, 0, 0, xx xx x
5、x += += += 解 此 方程 组 得 123 1,2,1. xxx =- 故向量 (2,0,0) T = b 在基底 123 , aaa下 的 坐标 是 (1,1,1). T - 二、（本题满分 8分） 求正的 常 数 a与 b， 使式 1 sin 1 lim 0 2 2 0 = + - dt t a t x bx x x 成 立 . 解： 假若 1 b ，则 根据洛必达 法则有 22 22 0 00 11 limlim()01 sincos x xx tx dt bxxbx atax = - + ，与题设 矛盾 ， 于 是 1 b = . 此 时 222 2 1 222 0 000 2
6、 1112 limlim()lim() sin1cos x xxx txx dt bxxxx a ataxax = - + ， 即 2 1 a = ，因 此 4 a = . 三、（本题满分 7分） (1) 设函数 , fg连续 可 微 ， (,),() ufxxyvgxxy =+，求 ,. uv xx 解： 1212 () uxxy fffyf xxx =+=+ ； () (1) vxxy gyg xx + =+ . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1987年数学试题详解及评分参考 1987年 第 3页 (2) 设 矩阵 A和 B满足 2 ABAB =+ ，其 中 A = 301 110 0
7、14 ，求 矩阵 B . 解： 因 2 ABAB =+ ，故 2 ABBA -= ， 即 (2) AEBA -= ， 故 1 (2) BAEA - =-= 522 432 223 - - - . 四、（本题满分 8分） 求 微 分方程 2 6(9)1 yyay += 的 通 解 .其 中常 数 0 a . 解： 由 特征 方程 322 2(9)0 rrar += ，知其 特征根根 为 12,3 0,3 rrai =- . 故 对 应 齐次 方程的 通 解为 33 123 cossin xx yCCexCex - =+ % ，其 中 123 , CCC为 任意常 数 . 设原方程的 特 解为 *
8、 () yxAx = ， 代入 原方程可得 A = 2 1 9 a + . 因 此 ，原方程的 通 解为 *33 123 ()cossin xx yxyyCCexCex - =+=+ % 2 1 9 a + x . 五、选择题：（每小题 3分，满分 12分） (1) 设 常 数 0 k ，则 级 数 2 1 ) 1 ( n n k n n + - =(A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛 与 发散 与 k的值有 关 . 【答】 应 选 (C) . 【解】 因 2 kn n + 单调减少 ，且 2 lim0, n kn n + = 根据莱布尼兹判别 法，知 2 1 ) 1
9、 ( n n k n n + - =收 敛 ； 再 考 虑级 数 22 11 (1), n nn knkn nn = + -= 因 22 11 kn k nnn + =+ ，而 2 1 1 n n = 收敛 ， 1 1 n n = 发散 ，所 以 2 1 (1) n n kn n = + - 发散 ，因 此 ， 2 1 ) 1 ( n n k n n + - = 条件收敛 . 故 选 (C) . (2) 设 ) (x f 为 已 知 连续 函数， 0 () s t Itftxdx = ， 0,0 st ，则 I的值 (A) 依赖于 s和 t (B) 依赖于 s、 t、 x (C) 依赖于 t和
10、 x , 不依赖于 s (D) 依赖于 s , 不依赖于 t 【答】 应 选 (D) . 【解】 因 000 1 ()()(), s ss t Itftxdxtxutfudufudu t = 可见积分 仅依赖于 s , 不郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1987年数学试题详解及评分参考 1987年 第 4页 依赖于 t，故 选 (D) . (3) 设 2 ()() lim1 () xa fxfa xa - =- - ，则 在 点 xa = 处 (A) () fx导 数 存在 , 0 ) ( a f (B) () fx取得极大值 (C) () fx取得极小值 (D) () fx的 导 数 不存
11、在 . 【答】 应 选 (B) . 【解】 由 2 ()()()() ()limlim()0 () xaxa fxfafxfa faxa xaxa - =-= - ，可 排除 (A)和 (D)； 又 根据 极 限 的 保号性 ，知 存在 xa = 的 某空心邻域 ， 在此邻域内 有 2 ()() 0, () fxfa xa - - 从而 有 ()()() fxfaxa ， 于 是 () fx在 xa = 处 取极大值，故 排除 (C)， 并选 (B) . (4) 设 A为 n阶 方 阵 , 且 0, Aa =而 * A是 A的 伴随 矩阵 ，则 * A = (A) a (B) 1/a (C)
12、1 n a -(D) n a 【答】 应 选 (C) . 【解】 由 伴随 矩阵 的 性 质 ，知 * , AAAAAE =两端 取行 列 式 ， 并 利用 ABAB = 及 , n kAkA = 有 * , nn AAAEA = 因为 0, Aa =于 是 *1 , n Aa - = 故 选 (C) . 六、（本题满分 10分） 求 幂 级 数 1 1 2 1 + = n n n x n 的 收敛域 ， 并 求其 和 函数 . 解： 记 1 1 2 n n n ux n + = ，有 1 1 1 2 limlim (1)22 nn n nn nn n x u xn unx + + + = +
13、 ， 令 1 2 x ，知原 级 数 在 开区 间 (2,2) - 内 每 一点都 收敛 . 又当 2 x=-时，原 级 数 = 11 11 11 (2)2(1) 2 nn n nn nn + = -=- ，故由 莱布尼兹判别 法知其 收敛 ； 而当 2 x = 时，原 级 数 = 11 11 11 22(1) 2 nn n nn nn + = =- ， 显然 发散 ，故 幂 级 数的 收敛域 为 ) 2 , 2 - . 又记 1 1 11 11 ()()() 22 nn n nn x SxxxxSx nn + = = ，其 中 1 1 1 ()() 2 n n x Sx n = = ， 有
14、1 1 1 1 ()() 21/2 n n x Sx x - = = - ， 于 是 1 0 2 ()2ln() 1/22 x dx Sx xx = - ， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1987年数学试题详解及评分参考 1987年 第 5页 因 此 幂 级 数的 和 函数为 2 ()2ln 2 Sxx x = - ， 2,2) x- . 七、（本题满分 10分） 计算 曲面积分 2 (81)2(1)4 S Ixydydzydzdxyzdxdy =+- ， 其 中 s是曲线 ) 3 1 ( 0 1 = - = y x y z绕 Y轴旋转 一周所形成的曲面， 它 的法向量与 Y轴 正向的 夹
15、角恒 大 于 /2 p 解： S的方程为 22 1 yxz =+ ，记 1 S： 22 3,() yxz =+ ，知 1 SS + 为 封闭 曲面，设其 方向取 外侧 ，所围 区 域 为 W，则由 高斯 公式 ，有 1 2 (81)2(1)4 SS Ixydydzydzdxyzdxdy + =+- 1 2 (81)2(1)4 S xydydzydzdxyzdxdy -+- 1 2 102(1)0 S dvydydz W =-+ = 3 2 1 2(13) yzx DD dydzdxdzdx - 3 1 (1)16234 ydy pp =-+= . 八、（本题满分 10分） 设函数 ) (x f
16、 在 闭区 间 0,1上 可 微 ， 对于 0,1上 的 每个 x，函数的值都 在 开区 间 (0,1) 内 ，且 1 ) ( x f .证明 在 (0,1)内 有且 仅 有一 个 x， 使 () fxx = 证： 令 ()() htftt =- ，知 () ht在 闭区 间 0,1上连续 ，又由题设知 0()1 fx =- . 故由 零 点 定理 ， 在 (0,1)内 有 x， 使 () fxx = . 假若 ) (x f 在 开区 间 (0,1)内 有两 个 不 同 的点 1 x和 2 x， 使 得 11 () fxx = ， 22 () fxx = ， 不 妨 设 12 xx ，则 易
17、见 ) ( x f 在 闭区 间 0,1上连续 ， 在 (0,1)内 可 导 ，故由 拉 格 朗日定理 知， (0,1) x $ ， 使 得 21 21 ()() () fxfx f xx x - = - ， 即 ()1 f x = .此 与 1 ) ( x f 矛盾 ！ 故 在 (0,1)内使 () fxx = 的 x只能 有一 个 . 九、（本题满分 8分） 问 , ab为 何 值时，线 性 方程 组 1234 234 234 1234 0 221 (3)2 321 xxxx xxx xaxxb xxxax += += -+-= +=- 有 唯 一解 ？无 解 ？ 有 无穷多 解 ？ 并
18、求 出无穷多 解时的 通 解 . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1987年数学试题详解及评分参考 1987年 第 6页 解： 对 方程 组 的 增广 矩阵 进 行 初等变换 ，得 1111011110 0122101221 () 013200101 321100010 AAb abab aa = -+ - 1 当 1 a 时， 系 数行 列 式 2 (1)0 Aa =- ，故由 克拉姆 法则，原方程 组 有 唯 一解； 2 当 1 a = ，且 1 b-时， ()3,()2 rArA = ， ()() rArA ，故原方程 组 无 解； 3 当 1 a = ，且 1 b=-时， ()()2
19、4 rArA =，故原方程 组 有 无穷 的解 . 此 时 显然 有 1111010111 0122101221 () 0000000000 0000000000 AAb - = 可见其 通 解为： 12 (1,1,0,0)(1,2,1,0)(1,2,0,1) TTT xcc =-+-+- ，其 中 12 , cc为 任意常 数 . 十、填空题（每小题 2分，满分 6分） (1) 在 一 次 试 验 中 事 件 A发 生 的 概率 为 p， 现进 行 n次 独 立 试 验 ，则 A至 少发 生 一 次 的 概率 为 ；而 事 件 A至多 发 生 一 次 的 概率 为 . 【答】 应填 1(1)
20、 n p -； 1 1(1)(1). n npp - +- 【解】 由 伯努利概型 的 概率计算 公式 知， A至 少发 生 一 次 的 概率 为 ( ) ( ) ( ) 0 00 1 11111, n nknn kk nn k CppCppp - = -=-=- 而事件A至多 发 生 一 次 的 概率 为： ( ) ( ) ( ) ( ) 011 001 1111. nnnn nn PCppCpppnpp - =-+-=-+- (2) 三 个箱子 ，第一 个箱子 有 4个黑球 1个白球 ，第二 个箱子 中 有 3个白球 3个黑球 ，第 三 个箱子 中 有 3个黑球 5五个白球 ， 现随机地
21、取一 个箱子 ， 再 从 这个箱子 中 取一 个球 ， 这个 球 为 白球 的 概率 为 ， 已 知取 出 的是 白球 ， 此 球属 于 第二 箱 的 概率 是 . 【答】 应填 53 120 ； 20 . 53【解】 记 B=从 箱子 中 取 出 的是 白球 ， i A =取的是第 i个箱子 ， 1,2,3. i = 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 123123 1115 ,. 3528 PAPAPAPBAPBAPBA = 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1987年数学试题详解及评分参考 1987年 第 7页 由全 概率 公式 得取 出 的 这个球 为 白球 的 概率
22、为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 112233 53 . 120 PBPAPBAPAPBAPAPBA =+= 由 贝叶斯 公式 得，当取 出 的 球 是 白球 时， 此 球属 于 第二 个箱子 的 概率 为： ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 20 . 53 PAPBA PAB PB = (3) 已 知 连续 随机变 量 X的 密度 为 2 21 1 (), xx fxe p -+- = 则 X的数学 期望 为 ； X的 方 差 为 . 【答】 应填 1； 1 . 2【解】 因 2 2 2 (1) 1 2() 21 2 11 (),(,) 1 2 2 x x
23、x fxeex p p - - -+- =-+ ，所 以 1 (1,) 2 XN ， 因此 1 EX = ， 1 . 2 DX = 十一、（本题满分 6分） 设 随机变 量 X， Y相 互独 立 ，其 概率密度 函数分 别 为 = 它 其 0 1 0 1 ) ( x x f X ； = - 0 0 0 ) ( y y e y f y Y ，求 随机变 量 Z=2X+Y的 概率密度 函数 () z fz . 解： 由题设， (,) XY的 联 合 密度 为 01,0 (,)()() 0 y XY exy fxyfxfy - = 其 它 ， 故 Z的分 布 函数 2 ()()(2)(,) z xy
24、z FzPZzPXYzfxydxdy + =+= ， 1 当 0 z 时， 121 22 000 1 ()(1)1(1) 2 zx yxzz z Fzdxedyedxee - - =-=- ， 此 时 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1987年数学试题详解及评分参考 1987年 第 8页 2 1 ()()(1) 2 z zz fzFzee - =- 综上所述， Z=2X+Y的 概率密度 函数为 () z fz = 1 2 2 1 2 00 (1)02 (1)2 z z z ez eez - -数 学（试卷） 一、（本题满分 15分） 【 同 数学 、 第一题 】 二、（本题满分 14分） (
25、1)（ 6分） 计算定 积分 2 | 2 (|). x xxedx - - + 解： 因 | x xe - 是 奇 函数， | | x xe - 是 偶 函数，故 原 式 = 22 |2 00 2|226. xx xedxxedxe - =- (2)（ 8分） 【 同 数学 、 第二题 】 三、（本题满分 7分） 设函数 (,), y zfuxyuxe = ，其 中 f有二 阶 连续 偏 导 数，求 2 . z xy 解： 121 y zu fffef xx =+=+ ， 2 111312123 () yyyy z fxefeeffxef xy =+ . 四、（本题满分 8分） 【 同 数学
26、、 第 四 题 】 五、（本题满分 12分） 【 同 数学 、 第 五 题 】 六、（本题满分 10分） 【 同 数学 、 第 六 题 】 七、（本题满分 10分） 【 同 数学 、 第 七 题 】 八、（本题满分 10分） 【 同 数学 、 第 八 题 】 九、（本题满分 8分） 【 同 数学 、 第 九 题 】 十、（本题满分 6分） 设 12 , ll为 n阶 方 阵 A的 特征 值， 12 ll ，而 2 1 , x x 分 别 为 对 应的 特征 向量，试 证明 ： 2 1 x x + 不 是 A的 特征 向量 . 证： 假若 2 1 x x + 是 A的 特征 向量，设其 对 应的
27、 特征 值为 3 l ，则有 12312 ()() Axxxx l +=+， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1987年数学试题详解及评分参考 1987年 第 9页 即 123132 AxAxxx ll +=+. 又由题设 条件 知 111 Axx l = ， 222 Axx l = ，故有 131232 ()()0 xx llll -+-= .因 2 1 , x x 是 属 于不 同 特征 值的 特征 向量，所 以 2 1 , x x 线 性 无 关 ， 从而 13 ll = ，且 13 ll = ， 此 与 12 ll 矛盾 ！ 因 此 2 1 x x + 不 是 A的 特征 向量 .
28、数 学（试卷） 一、填空题（每小题 2分，满分 10分 . 把答案填在题中横线上） (1) 设 ) 1 ln( ax y + = , 其 中 a为 非 零 常 数，则 y = ， y = . 【答】 应填 1 a ax + ； 2 2 (1) a ax - + . 【解】 2 22 (1)()(1)(1) =,. 1+1(1)(1) axaaaxaaxa yy axaxaxax +-+- = +(2) 曲线 yarctgx = 在 横 坐标 为 1点 处 的 切 线方程是 ，法线方程是 . 【答】 应填 12 24 yx p - =+； (8) 2. 4 yx p + =-+ 【解】 因 2
29、1 11 , 12 x yy x = = + 故过点 (1,) 4 p 的 切 线方程为 1 (1), 42 yx p -=- 法线方程为 2(1). 4 yx p -=- (3) 积分 中 值 定理 的 条件 是 ， 结论 是 . 【答】 应填 ( ) fx在 闭区 间 , ab上连续 ； , ab x $ 使得 ()()() b a fxdxfba x =- . 【解】 积分 中 值 定理 的 条件 是： ( ) fx在 闭区 间 , ab上连续 . 结论 是： 在 区 间 , ab上 至 少存在 一点 x， 使 ()()(). b a fxdxfba x =- (4) 2 lim() 1
30、 n n n n - = +. 【答】 应填 3 . e -【解】 1 313 3 233 lim()lim(1)(1). 111 n n nn n e nnn + - - - =+= +(5) () fxdx = ； (2) b a fxdx = . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1987年数学试题详解及评分参考 1987年 第 10页 【答】 应填 () fxC + ；11 (2)(2). 22 fbfa - 【解】 ( ) () fxdxfxC =+ ； ( ) ( ) 1111 (2)(2)22(2)(2). 2222 bb b a aa fxdxfxdxfxfbfa =- 二、（
31、本题满分 6分） 求极 限 0 11 lim() 1 x x xe - -解： 2 00000 111111 lim()limlimlimlim 1(1)222 xxx xx xxxxx exexex xexexxx - -= - . 三、（本题满分 7分） 设 - = - = ) cos 1 ( 5 ) sin ( 5 t y t t x ，求 2 2 ,. dydy dxdx解： 因 5sin,55cos dydx tt dtdt =- ， 5sin)sin 5(1cos1cos dytt dxtt = - （ 0+ ） ，故 t t dx dy cos 1 sin - = ， 且 2 2
32、2 sin1 () 1cos5(1cos) dydtdt dxdttdxt =- -四、（本题满分 8分） 计算定 积分 1 0 arcsin xdx x . 解： 22 111 21 0 22 000 111 arcsinarcsin 2242 11 xx xxdxxxdxdx xx p =-=- - ， 令 sin xt = ，有 22 1 2 2 00 sin cos cos4 1 xt dxtdt t x p p = - ，因 此 1 0 1 arcsin 4248 xxdx ppp =-= . 五、（本题满分 8分） 设 D是曲线 sin1 yx =+ 与 三条 直线 0 x = ,
33、 p = x , 0 y = 围成的曲 边梯 形 .求 D绕 x轴旋 转 一周所 生 成的 旋转 体 的 体 积 . 解： 2 2 0 3 (sin1)4 2 Vxdx p p pp =+=+ . 六、证明题（本题满分 10分） (1)（ 5分） 若 () fx在 (,) ab内 可 导 ，且 导 数 ) ( x f 恒 大 于 零 ，则 () fx在 (,) ab内单调 增 加 . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1987年数学试题详解及评分参考 1987年 第 11页 证： 12 ,(,) xxab “，不妨设 12 xx ，又 21 0 xx -，因 此 21 ()()0 fxfx -
34、 ， 即 21 ()() fxfx ， 表 明 () fx在 (,) ab内单调 增 加 . (2)（ 5分） 若 () gx在 xc = 处 二 阶 导 数 存在 ，且 0 ) ( = c g , 0 ) ( ，当 (,) xcc d - 时，有 () 0 gx xc ，从而 () gx在(,) cc d - 单 增 ； 当 (,) xcc d + 时，有 () 0 gx xc - ， 即 ()0 gx ，从而 () gx在(,) cc d - 单减 . 又由 0 ) ( = c g 知， xc = 是 () gx的 驻 点，因 此 () gc为 () gx的一 个 极大值 . 七、（本题满
35、分 10分） 计算 不 定 积分 + x b x a dx 2 2 2 2 cos sin( 其 中 , ab为 不 全为 零 的 非负 数 ) 解： 当 0 a = 时，原 式 = 2 22 11 sectan xdxxc bb =+ ； 当 0 b = 时， 原 式 = 2 22 11 ccot csxdxxc aa =-+ ； 当 0 ab 时，原 式 = 2 222 2 (tan) sec11 arctan(tan) tan (tan)1 a dx xdxa b xc a axbababb x b =+ + + . 八、（本题满分 15分） (1)（ 7分） 求 微 分方程 y x d
36、x dy x - = ， 满足条件 0 | 2 = = x y 的解 解： 原方程 即 1 1 dy y dxx += ，故其 通 解为 11 2 11 ()() 2 dxdx xx yeedxcxc x - =+=+ . 因 0 | 2 = = x y ，所 以 1 c=- .于 是所求 初 值 问 题的解为 x x y 1 2 - = . (2)（ 8分） 求 微 分方程 x e x y y y = + + 2 的 通 解 . 解： 由 特征 方程 2 210 rr +=，知其 特征根根 为 1,2 1 r =- . 故 对 应 齐次 方程的 通 解为 12 () x yCCxe - =+
37、 % ，其 中 12 , CC为 任意常 数 . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1987年数学试题详解及评分参考 1987年 第 12页 设原方程的 特 解为 * ()() x yxeaxb =+ ， 代入 原方程可得 a = 1 4 ， b=- 1 4 . 因 此 ，原方程的 通 解为 *2 12 ()() x yxyyCCxe - =+=+ % 1 4 (1) x xe - . 九、选择题（每小题 4分，满分 16分） (1). cos ()sin,() x fxxxex =- ，故所求点的 坐标 为 32 (,) 33 ，其 最 小值为 3/3 a s = = 42 3 93 - .
38、 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1987年数学试题详解及评分参考 1987年 第 13页 数 学（试卷） 一、判断题（每小题答对得 2分，答错得 -1分，不答得 0分，全题最低 0分） (1) 1 0 lim x x e =. 【答】 应填 . 【解】 因为 11 00 lim0,lim. xx xx ee -+ =+ 故 1 0 lim x x e 不存在 也非 无穷 大 . (2) 4 sin0 xxdx p p - = . 【答】 应填 . 【解】 因为 4 sin xx 为 奇 函数，积分 区 域关于 原点 对 称 ，所 以 4 sin0. xxdx p p - = (3) 若级
39、数 1 n n a = 与 1 n n b = 均 发散 ，则 级 数 ( ) 1 nn n ab = + 必发散 . 【答】 应填 . 【解】 例如 11 , nn abn nn =- 则 1 n n a = 与 1 n n b = 均 发散 ， 但 ( ) 1 0 nn n ab = += 收敛 . (4) 假 设 D是 矩阵 A的 r阶子 式 ，且 含 D的一 切 1 r + 阶子 式 都 等 于 0， 那么 矩阵 A的一 切 1 r + 阶子 式 都 等 于 0 . 【答】 应填 . 【解】 设 11 (,) rrn A + =LL aaaa ， D位 于 前 r列 中 ，则 1 ,
40、r L aa 线 性 无 关 ，由题 设， 含 D的一 切 1 r + 阶子 式 都 等 于 0，因 此 1 , rn + L aa 都可由 1 , r L aa 线 性 表示 ， 于 是 () rAr = ，从而 A中任意 1 r + 阶子 式 全为 0 . (5) 连续 型随机变 量取 任 何 给 定 实 数值的 概率 都 等 于 0 . 【答】 应填 . 【解】 这 是 连续 型随机变 量的一 个 结论 . 事 实 上 ，由 于连续 型随机变 量的分 布 函数都是 连续 函数 . 所 以 ()()()0 PXcFcFc - =-= . 二、选择题（每小题 2分，满分 10分 .） (1)
41、 下 列 函数 在 其 定 义 域内连续 的是 （ A） ()lnsin fxxx =+ （ B） sin,0 () cos,0 xx fx xx = 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1987年数学试题详解及评分参考 1987年 第 14页 （ C） () fx= 1,0 0,0 1,0 xx x xx + （ D） 1 ,0 | () 0,0 x x fx x = = 【答】 应 选 (A) . 【解】 因 ()lnsin fxxx =+是 初等 函数， 在 其 定 义 域内连续 . 故 选 (A) . 不 难 验证 选 项 (B) 、 (C) 、 (D)中 的函数 在 分 段 点 处 均
42、 不连续 . (2) 若 函数 ( ) fx在 区 间 (,) ab内 可 导 ， 2 1 , x x 是 区 间内任意 两点，且 2 1 x x ，则 至 少存 一点 x， 使 得 (A) ()()()(), fbfafbaab xx -=-. (B) 111 ()()()(), fbfxfbxxb xx -=-. (C) 212112 ()()()(), fxfxfxxxx xx -=- . (D) 222 ()()()(), fxfafxaax xx -=- . 【答】 应 选 (C) . 【解】 由 12 axxb ，知 ( ) fx在 12 , xx上连续 ， 在 12 (,) xx
43、内 可 导 ， 满足 拉 格 朗日 中 值 定理 的 条件 ，故 存在 一点 12 , xx xx 使 2121 ()()()(). fxfxfxx x -=- 故 选 (C) . 其 他 选 项 不 正 确 的原因是 在相 应的 闭区 间上 未 必连续 . (3) 下 列广 义 积分 收敛 的是 （ A） dx x x e + ln（ B） + e x x dx ln（ C） + e x x dx 2 ) (ln（ D） + e x x dx ln【答】 应 选 (C) . 【解】 由 22 11 (ln)1 (ln)(ln)ln e ee dx dx xxxx + + =-= ，知应 选
44、(C) . 同理 ， 易 见其 他 三 个 都 发散 . (4) 设 A是 n阶 方 阵 ，其 秩 , rn 那么 在 A的 n个 行向量 中 (A) 必 有 r个 行向量线 性 无 关 (B) 任意 r个 行向量线 性 无 关 (C) 任意 r个 行向量都 构 成极大线 性 无 关 向量 组 (D) 任意 一 个 行向量都可 以 由其 它 r个 行向量线 性 表示 【答】 应 选 (A) . 【解】 由 A的 秩 () rAr = ，知 A有 r个 行向量线 性 无 关 ，故 选 (A) . 注： 选 项（ B） 、 （ C） 、 （ D） 可 通 过 反例 11 00 A = 排除 . 郝
45、海龙：考研数学复习大全配套光盘 1987年数学试题详解及评分参考 1987年 第 15页 (5) 若 二 事 件 A和 B同 时 出现 的 概率 ()0 PAB = ，则 (A) A和 B互 不相 容（ 互 斥） (B) AB是 不 可 能事 件 (C) AB未 必 是 不 可 能事 件 (D) ()0 PA= 或 ()0 PB = 【答】 应 选 (C) . 【解】 因 概率 为 零 的 事 件 未 必 是 不 可 能事 件 ， 即 由 ()0 PAB = 不 能 推 出 AB =，故 排除 选 项 (A)和 (B)，又两 个事 件 乘 积的 概率 未 必 等 于 概率 的 乘 积，因而 选
46、 项 (D)也 明显 不 正 确 ， 故 只能 选 (C) . 注： 用 于排除 (A)、 (B)、 (D)的 反例如 下 ：设 随机变 量 X服 从 ( ) 0,2 上 的 均匀 分 布 ，取 1,1, AXBX =则 ( ) 10, PABPX =但 1 ABX = 不 是 不 可 能事 件 ， 即 A和 B不 互 斥 ，且 1 ()(). 2 PAPB = 三、计算下列各题（每小题 4分，满分 16分） (1) 求极 限 x x x xe 1 0 ) 1 ( lim + . 解： 因 1ln(1) (1) x xe x xx xee + +=， 而 ln(1) x x xe xe x + : （ 当 0 x ）， 故 000 ln(1) limlimlim1 xx x xxx xexe e xx + = ， 从而 1 0 lim(1) x x x xee += . (2) 已
