1、郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2005年数学试题详解及评分参考 2005年 第 1页 2005年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考 数 学（一） 一、填空题（本题共 6小题，每小题 4分，满分 24分 . 把答案填在题中横线上 .） (1) 曲线 1 2 2 + = x x y 的斜渐近线方程为 . 【答】 应填 11 24 yx =- . 【解】 因 1 limlim 212 xx yx a xx = +， 2 11 lim()lim() 2124 xx x byaxx x =-=-=- + ， 故 1 2 2 + = x x y 的斜渐近线为 11 24 yx =- .
2、 (2) 微分方程 x x y y x ln 2 = + 满足 9 1 ) 1 ( - = y 的解为 . 【答】 应填 1 (ln) 33 x yx =- . 【解】 将原微分方程化为标准形式，有 ln 2 x yyx = + ，故其通解为 22 (ln) dxdx xx yeexdxC - =+ = 2 2 ln 1 () xxdxC x + = 23 2 11 lnx 39 1 () xxC x -+ . 故由 1 (1) 9 y =- ，得 0 C = ，于是有 1 (ln) 33 x yx =- . (3) 设函数 18 12 6 1 ) , , ( 2 2 2 z y x z y
3、x u + + + = ，单位向量 1 , 1 , 1 3 1 = n r ，则 (1,2,3) u n r = . 【答】 应填 3 3 . 【解】 因 (1,2,3)(1,2,3)(1,2,3)(1,2,3)(1,2,3)(1,2,3) 111 |,|,| 336393 xyz xyz uuu = ，故 (1,2,3) 111 |, 333 gradu = ，从而 (1,2,3) 11113 |,1,1,1 3333 3 u n = r . (4) 设 W是由锥面 2 2 y x z + = 与半球面 2 2 2 y x R z - - = 围成的空间区域， S是 W的郝海龙：考研数学复习
4、大全配套光盘 2005年数学试题详解及评分参考 2005年 第 2页 整个边界的外侧，则 S = + + zdxdy ydzdx xdydz . 【答】 应填 3 (22) R p - . 【解】 由高斯公式，得 2 2 4 000 3=3dsindr R xdydzydzdxzdxdydVdr p p qjj SW += = 3 (22) R p - . (5) 设 3 2 1 , , a a a 均为 3维列向量， 记矩阵 ) , , ( 3 2 1 a a a = A ， ) 9 3 , 4 2 , ( 3 2 1 3 2 1 3 2 1 a a a a a a a a a + + +
5、+ + + = B ， 如果 1 = A ， 那么 = B . 【答】 应填 2. 【解】 因 123 111111 (,)123123 149149 BA aaa = ，故 111 1232 149 BAA = =2. (6) 从数 1,2,3,4中任取一 个数， 记 为 X， 再 从 X , , 2 , 1 L 中任取一 个数， 记 为 Y，则 2 = Y P = . 【答】 应填 13 48 . 【解】 由全 概 公式，得 2= PY= 4 2 i2i i PXPYX = = 4 2 1113 = 4i48 i= . 二、选择题：（本题共 8小题，每小题 4分，满分 32分 . 在每小题
6、给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内 . ） (7) 设函数 n n n x x f 3 1 lim ) ( + = ，则 () fx在 ) , ( + - 内 (A ) 处处可导 . (B) 恰 有 一 个 不可导点 . (C) 恰 有 两 个 不可导点 . (D) 至少 有 三 个 不可导点 . 【答】 应 选 (C) . 【解】 因 当 1 x 时 ，有 3 lim11 n n n x += ； 而 1 x 时 ，有 1 33 3 1 lim1lim(1) n nn n nn xxx x +=+=，故 3 3 1,1 (x)lim1 ,1 n n
7、 n x fx xx =+= . 于是有 3 11 111 (1)lim3,(1)lim0 11 xx x ff xx -+ -+ - -=-= + ； 3 11 111 (1)lim0,(1)lim3 11 xx x ff xx -+ -+ - = -+ , , 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2005年数学试题详解及评分参考 2005年 第 3页 因 此 () fx在 1 x=处 均 不可导 ，因而 恰 有 两 个 不可导点 . 故 选 (C) . (8) 设 () Fx是 连续 函数 () fx的 一 个原函数， “ MN ”表示“ M的 充 分 必要条件 是 N”， 则 必 有 (A
8、) () Fx是 偶 函数 () fx是 奇 函数 . (B) () Fx是 奇 函数 () fx是 偶 函数 . (C) () Fx是 周期 函数 () fx是 周期 函数 . (D) () Fx是单 调 函数 () fx是单 调 函数 . 【答】 应 选 (A) . 【解】 取 ()cos1,()sin1 fxxFxxx =+=+ ,可见 (B), (C), (D)均 不正确 . 故 选 (A) . (9) 设函数(,)()()() xy xy uxyxyxytdt jjy + - =+-+ , 其中函数 j具 有 二阶导 数， y具 有 一阶导 数，则 必 有 (A) 2 2 2 2 y
9、 u x u - = (B) 2 2 2 2 y u x u = (C) 2 2 2 y u y x u = (D) 2 2 2 x u y x u = . 【答】 应 选 (B) . 【解】 因 ()()()() u xyxyxyxy x jjyy =+-+- ， 且 ()()()() u xyxyxyxy y jjyy =+-+- ， 故 2 2 ()()()() u xyxyxyxy x jjyy =+-+- ， 2 ()()()() u xyxyxyxy xy jjyy =+-+- ， 2 2 ()()()() u xyxyxyxy y jjyy =+-+- . 因 此 2 2 u x
10、 = 2 2 u y . 故 选 (B) . (10) 设有 三元 方程 1 ln = + - xz e y z xy ， 根据隐 函数 存在定理 ， 存在点 ( ) 0,1,1 的 一 个 邻 域， 在此邻 域 内该 方程 (A) 只能确定一 个 具 有 连续偏导 数的 隐 函数 (,) zzxy = (B) 可确定两 个 具 有 连续偏导 数的 隐 函数 (,) yyxz = 和 (,) zzxy = . (C) 可确定两 个 具 有 连续偏导 数的 隐 函数 (,) xxyz = 和 (,) zzxy = . (D) 可确定两 个 具 有 连续偏导 数的 隐 函数 (,) xxyz =
11、和 (,) yyxz = . 【答】 应 选 (D) . 【解】 令 (,)ln1 xz Fxyzxyzye =-+- ， 知 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2005年数学试题详解及评分参考 2005年 第 4页 z e y F xz x + = ， y z x F y - = ， x e y F xz z + - = ln ，于是有 (0,1,1)20 x F =， (0,1,1)10 y F =-， 0 ) 1 , 1 , 0 ( = z F . 因 此根据隐 函数 存在定理 ，由 此 可确定相 应的 隐 函数 (,) xxyz = 和 (,) yyxz = . 故 选 (D) . (
12、11) 设 2 1 ,l l 是 矩阵 A的 两 个 不同 的 特征值 ， 对 应的 特征 向量分 别 为 2 1 ,a a ，则 1 a， 12 () Aaa + 线 性无关 的 充 分 必要条件 是 (A) 0 1 l (B) 0 2 l (C) 0 1 = l (D) 0 2 = l . 【答】 应 选 (B) . 【解 法一 】 因 2 1 ,a a 是 属 于 不同特征值 的 特征 向量，故 2 1 ,a a 线 性无关 . 而 = + = + 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 0 1 , , ) ( , l l a a a l a l a a a a A ， 所以 1
13、 a , ) ( 2 1 a a + A 线 性 无关 的 充要条件 是 . 0 0 1 2 2 1 = l l l故 选 (B) . 【解 法二 】 由题 意 ， 知 111222 , AA alaala = . 设 0 ) ( 2 1 2 1 1 = + + a a a A k k ，则有 0 2 2 2 1 1 2 1 1 = + + a l a l a k k k ， 即 有 0 ) ( 2 2 2 1 1 2 1 = + + a l a l k k k . 因 2 1 ,a a 是 属 于 不同特征值 的 特征 向量，故 2 1 ,a a 线 性无关 ，于是有 121 0 kk l
14、+= ， 22 0 k l = . 因 此当 0 2 l 时 ，有 0 , 0 2 1 = = k k ， 此时 1 a , ) ( 2 1 a a + A 线 性无关； 反之 ， 若 112 ,() A aaa + 线 性无关 ，则 必然 有 0 2 l （否 则，由 2 0 l = ， 可见 2 k 可以不 为 0， 即 1 a 与 ) ( 2 1 a a + A = 1 1 a l 线 性相关 ， 矛盾！ )，故 选 (B) . (12) 设 A为 n ( 2 n )阶可逆矩阵 ，交 换 A的第 1行 与第 2行 得 矩阵 B . * * , B A 分 别 为 , AB的 伴随 矩阵
15、，则 (A) 交 换 * A 的第 1列与第 2列得 * B (B) 交 换 * A 的第 1行 与第 2行 得 * B . (C) 交 换 * A 的第 1列与第 2列得 * B - (D) 交 换 * A 的第 1行 与第 2行 得 * B - . 【答】 应 选 (C). 【解】 由题 意 ，有 (1)(2) EAB = . 于是 *111*1* (1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)12 ()() BEAEAEAAAEAEAE - =-=-=- ， 即 * 12 * B E A - = ，故 选 (C). (13) 设 二 维 随机变 量() , XY的 概 率
16、分 布 为 Y X 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2005年数学试题详解及评分参考 2005年 第 5页 已 知 随机事 件 0 = X 与 1 = + Y X 相 互独立 ，则 (A) 0.2, 0.3 ab = (B) 0.4, 0.1 ab = (C) 0.3, 0.2 ab = (D) 0.1, 0.4 ab = 【答】 应 选 (B) . 【解】 由 联合 概 率 分 布 的 性 质 ，有 0.40.11 ab += ， 即 0.5 ab += . 又 由 0 = X 与 1 = + Y X 相 互独立 ， 知 0,101 PXXYPXPX
17、Y =+=+=， 即 (0.4)() aaab =+ . 于是 可 解得 0.4, 0.1 ab = ，故 选 (B) . (14) 设 ) 2 ( , , , 2 1 n X X X n L 为 来自总体 (0,1) N 的 简 单 随机样本 ， X为 样本 均 值 ， 2 S 为 样本 方 差 ，则 (A) ) 1 , 0 ( N X n (B) ). ( 2 2 n nS c (C) ) 1 ( ) 1 ( - - n t S X n(D) ). 1 , 1 ( ) 1 ( 2 2 2 1 - - = n F X X n n i i【答】 应 选 (D) . 【解】 根据正 态总体抽样
18、分 布 理 论 ，有 (0,1) nXN， 22 (1)(1) nSn c - ， (1) nX tn S - ，故 排除 选 项 (A)、 (B)、 (C)； 又 由 2 c 分 布 的 产生模 式， 知 22 1 (1) X c ， 22 2 (1) n i i Xn c = - ， 且 2 1 X 与 2 2 n i i X = 相 互独立 ，于是由 F分 布 的 产生模 式，有 2 1 2 2 /1 (1,1) /(1) n i i X Fn Xn = - - ， 即 2 1 2 2 (1) (1,1) n i i nX Fn X = - - . 故 选 (D) . 三 、 解答题（本
19、题共 9小题，满分 94分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ） (15)（本题满分 11分） 设 0 , 0 , 2 ) , ( 2 2 + = y x y x y x D ， 1 2 2 y x + + 表示 不 超过 2 2 1 y x + + 的 最 大整数 .计算 二 重积 分 + + D dxdy y x xy . 1 2 2解法 1 4 2 2232 20 0 1sincos1 D xyxydxdydrrdr p qqq +=+ 3分 4 2 32 20 0 sincos1 drrdr p qqq =+ 5分 4 12 330 1 1 (2) 2 rdrrdr =+
20、 10分 3 8 = 11分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2005年数学试题详解及评分参考 2005年 第 6页 解法 2 记 22 1 (,)|1,0,0 Dxyxyxy =+ 时 ，原 级 数 发散 ，因 此 原 级 数的 收敛 半 径 为 1， 收敛 区间为 ( 1,1) 3分 记 1 2 1 (1) (),(1,1) 2(21) n n n Sxxx nn - = - =- - ， 则 1 21 1 (1) (),(1,1) 21 n n n Sxxx n - - = - =- - ， 122 2 1 1 ()(1),(1,1) 1 nn n Sxxx x - = =-=- +
21、. 6分 由于 (0)0,(0)0 SS = ， 所以 2 00 1 ()()arctan, 1 xx SxStdtdtx t = + 2 00 1 ()()arctanarctanln(1). 2 xx SxStdttdtxxx =-+ 9分 又 2 12 2 1 (1),(1,1), 1 nn n x xx x - = -=- + 11分 从而 2 2 ()2() 1 x fxSx x =+ + 2 2 2 2arctanln(1),(1,1). 1 x xxxx x =-+- + 12分 (17)（本题满分 11分） 如 图 ，曲线 C的方程为 () yfx = ， 点 (3,2) 是
22、它 的 一 个 拐 点 ， 直 线 1 l与 2 l 分 别 是曲线 C在点 (0,0)与 (3,2)处 的 切 线，其 交点 为 (2,4).设函数 () fx具 有 三阶连续导 数， 计算 定 积 分 + 3 0 2 . ) ( ) ( dx x f x x . 解： 3 3 0 ()() xxfxdx + 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2005年数学试题详解及评分参考 2005年 第 7页 3 23 0 0 ()()|(21)() xxfxxfxdx =+-+ 2分 3 0 (21)() xfxdx =-+ 4分 3 3 0 0 (21)()|2() xfxfxdx =-+ 6分 +
23、 - - - = 3 0 ) ( 2 2 ) 2 ( 7 dx x f 8分 3 0 162()| fx =+ 20 4 16 = + = 11分 (18)（本题满分 12分） 已 知 函数 () fx在 0,1上 连续 ， 在 (0,1)内可导 ， 且 (0)0 f = ， (1)1 f = . 证明 ： (I) 存在 ), 1 , 0 ( x 使 得 x x - = 1 ) ( f ； (II) 存在两 个 不同 的 点 ) 1 , 0 ( , z h ， 使 得 . 1 ) ( ) ( = z h f f 证： (I) 令 ()()1 gxfxx =+-，则 () gx在 0,1上 连续
24、 ， 且 (0)10,(1)10 gg =- 所以存在 (0,1) x ， 使 得 ()()10 gf xxx =+-= 3分 即 ()1 fxx =- 5分 (II) 根据 拉格朗日 中值定理 ， 存在 (0,),(,1) hxzx ， 使 得 ()(0)1 () ff f xx h xx - = ， (1)() () 11 ff f xx z xx - = - 11分 从而 1 ()()1 1 ff xx zh xx - = - 12分 (19)（本题满分 12分） 设函数 ) ( y j 具 有 连续导 数， 在 围 绕 原 点 的 任意 分 段 光 滑简 单 闭 曲线 L上 ，曲线 积
25、 分 + + L y x xydy dx y 4 2 2 2 ) ( j 的 值 恒 为 同一 常 数 . (I) 证明 ： 对 右 半 平 面 x0内 的 任意 分 段 光 滑简 单 闭 曲线 C，有 0 2 2 ) ( 4 2 = + + C y x xydy dx y j ； (II) 求 函数 ) ( y j 的 表 达 式 . (I) 证： 如 图 ，设 C是半 平 面 0 x 内 的 任一 分 段 光 滑简 单 闭 曲线， 在 C上 任意取定两点 , MN， 作 围 绕 原 点 的 闭 曲线 MQNRM， 同时 得 到另 一 围 绕 原 点 的 闭 曲线 MQNPM . 根据 题设
26、 可知 2424 ()2()2 0 22 MQNRMMQNPM ydxxydyydxxydy xyxy jj + -= + 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2005年数学试题详解及评分参考 2005年 第 8页 根据 第 二 类 曲线 积 分 性 质 ， 利用上 式 可 得 24 ()2 2 c ydxxydy xy j + + 2424 ()2()2 22 NRMMPN ydxxydyydxxydy xyxy jj + =+ + 2424 ()2()2 22 NRMNPM ydxxydyydxxydy xyxy jj + =- + 2424 ()2()2 0 22 MQNRMMQNPM y
27、dxxydyydxxydy xyxy jj + =-= + 4分 (II) 解： 设 2424 ()2 , 22 yxy PQPQ xyxy j = + 在 单 连 通区域 0 x 内具 有 一阶连续偏导 数 . 由 (I)知 ，曲线 积 分 24 ()2 2 L ydxxydy xy j + + 在该 区域 内 与 路径 无关 ，故 当 0 x 时 总 有 QP xy = 6分 2425 242242 2(2)4242 (2)(2) Qyxyxxyxyy xxyxy +-+ = + 243243 242242 ()(2)4()2()()4() (2)(2) Pyxyyyxyyyyy yxyx
28、y jjjjj +-+- = + 9分 比较、 两 式 右端 的 系 数，得 435 ()2 ()4()2 yy yyyyy j jj =- -= 由 得 2 () yyc j =-+，将 () y j 代入 得 535 242 ycyy -= 11分 所以 0 c = ，从而 2 () yy j =- 12分 (20)（本题满分 9分） 已 知二 次型 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ) , , ( x x a x x a x a x x x f + + + - + - = 的 秩 为 2. (I) 求 a的 值； (II) 求 正交
29、变换 Qy x = ， 把 ) , , ( 3 2 1 x x x f 化成标准形 ； (III) 求 方程 ) , , ( 3 2 1 x x x f =0的解 . 解： (I) 由于 二 次型 f的 秩 为 2， 对 应的 矩阵 110 110 002 aa Aaa -+ =+- 的 秩 为 2， 所以 有 11 40 11 aa a aa -+ =-= +- ，得 0 a = . 2分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2005年数学试题详解及评分参考 2005年 第 9页 (II) 当 0 a = 时 ， 110 110 002 A = ， EA l -= 110 110 002 l
30、l l - - - 2 (2) ll =- 4分 可知 A的 特征值 为 123 2,0 lll = . A的 属 于 12 2 ll = 的线 性无关 的 特征 向量为： TT 12 (1,1,0),(0,0,1) hh =； A 的 属 于 3 0 l = 的线 性无关 的 特征 向量为： T 3 (1,1,0) h =- . 易 见 123 , hhh两两正交 . 将 123 , hhh单位化得： TTT 121 11 (1,1,0),(0,0,1),(1,1,0) 22 eee =- . 取 123 (,) Qeee = ，则 Q为 正交矩阵 . 令 xQy = ,得 22222 12
31、311223312 (,)22 fxxxyyyyy lll =+=+ 7分 (III) 解法 1 在正交 变换 xQy = 下 ， 123 (,)0 fxxx= 化成 22 12 220 yy += ，解 之 得 12 0 yy = ， 从而 T 12333 33 00 0(,)0(1.1.0) xQeeeyek yy =- , 其 中 k为 任意 常 数 . 9分 解法 2 由于 22222 12312312123 (,)22()20 fxxxxxxxxxxx =+=+= ， 所以 12 3 0 0 xx x += = . 其通解为 T (1,1,0) xk =- ，其 中 k为 任意 常
32、数 . 9分 (21)（本题满分 9分） 已 知 3阶矩阵 A的第 一 行 是 c b a c b a , , ), , , ( 不 全为 零 ， 矩阵 = k B 6 3 6 4 2 3 2 1 (k为 常 数 )， 且 0 AB = ， 求 线 性 方程 组 0 Ax = 的通解 . 解： 由 0 AB = ，故 3 ) ( ) ( + B r A r ， 又 , abc不 全为 零 ， 可知 ()1 rA . 当 9 k 时 ，则 2 ) ( = B r ，于是 ()1 rA= ； 当 9 k = 时 ，则 1 ) ( = B r ，于是 ()1 rA= ； 或 ()2 rA= . 2分
33、 对 于 9 k ，由 0 AB = 可 得： 1 20 3 A = 和 3 60 A k = 由于 TT 12 (1,2,3),(3,6,) k hh =线 性无关 ，故 2 , hh为 0 Ax = 的 一 个 基础 解 系 ， 于是 0 Ax = 的通解为： 1122 xcc hh =+，其 中 12 , cc为 任意 常 数 . 5分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2005年数学试题详解及评分参考 2005年 第 10页 对 于 9 k = ，分 别 就 ()1 rA= 和 ()2 rA= 进 行 讨 论 . 如果 ()2 rA= ，则 0 Ax = 的 基础 解 系 由 一 个向
34、量 构 成 . 又 因为 1 20 3 A = ，所以 0 Ax = 的通解为 T 1 (1,2,3) xc = ，其 中 1 c为 任意 常 数 . 7分 如果 ()1 rA= ，则 0 Ax = 的 基础 解 系 由 两 个向量 构 成 .又 因为 A的第 一 行 为 (,) abc且 , abc不 全为 零 ， 所以 0 Ax = 等价 于 123 0 axbxcx += .不 妨 设 0 a ， TT 12 (,0),(,0,) baca hh =-=- 是 0 Ax = 的 两 个线 性无关 的解，故 0 Ax = 的通解为 1122 xcc hh =+，其 中 12 , cc为 任
35、意 常 数 . 9分 (22)（本题满分 9分） 设 二 维 随机变 量() , XY的 概 率 密度 为 1,01,02 (,) 0, xyx fxyL 为 来自总体 (0,1) N 的 简 单 随机样本 ， X 为 样本 均 值 ， 记 ,1,2, ii YXXin =-= L ， 求 ： (I) i Y的方 差 ,1,2, i DYin = L ； ( II) 1 Y与 n Y的 协 方 差 ). , ( 1 n Y Y Cov 解： 【参 见 数学 三（ 23） 题 (I)和 (II)， 只 需 将其 中 的 2 s 当 作 1】 数 学（二） 一、填空题 :（本题 6小题，每小题 4
36、分，满分 24分 . 把答案填在题中横线上 . ） (1) 设 (1sin) x yx =+ ，则 x dy p = = . 【答】 应填 dx p - . 【解】 根据对 数 恒 等 式， 知 ln(1sin) (1sin) xxx yxe + =+= ) sin 1 ln( x x e + ，故 sin 1 cos ) sin 1 ln( ) sin 1 ln( x x x x e y x x + + + = + ，于是 () x dyydxdx p pp = =- . (2) 曲线 3/2 (1) x y x + = 的斜渐近线方程为 . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2005年数学
37、试题详解及评分参考 2005年 第 11页 【答】 应填 . 2 3 + = x y 【解】 因 3/2 3/2 ()(1)1 limlimlim(1)1 xxx fxx a xx xx + + =+= ， 且 3/23/23/2 3 2 00 (1)(1)13 lim()limlimlim 2 xxtt t xxt bfxax tt x + + +-+- =-= ， 故 所 求 斜渐近线方程为 . 2 3 + = x y (3) 1 0 22 (2)1 xdx xx - = . 【答】 应填 4 p . 【解】 令 t x sin = ，则有 cos dxtdt = ， 且当 0 x = 时
38、 ， 0 t = ；当 1 x = 时 ， /2 t p = ， 故 1 /2 22 0 22 22 000 sincoscos arctan(cos) (2sin)cos1cos4 (2)1 xdxttdt dtt ttt xx pp p p =-=-= -+ - . (4) 【 同 数学 一（ 2） 题 】 (5) 当 0 x 时 , 2 () xkx a = 与 ()1arcsincos xxxx b =+-是 等价 无 穷小 ，则 k = . 【答】 应填 3 . 4【解】 由题 意 ， 2 2 00 1arcsincosarcsin1cos 1limlim (1arcsincos)
39、xx xxxxxx kx kxxxx +-+- = +2 0 1arcsin1cos3 lim 24 x xxx kxk +- = ，故 . 4 3 = k (6)【 同 数学 一（ 5） 题 】 二、选择题：（本题共 8小题，每小题 4分，满分 32分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 . ） (7)【 同 数学 一（ 7） 题 】 (8)【 同 数学 一（ 8） 题 】 (9) 设函数 () yyx = 由参数方程 2 2 ln(1) xtt yt =+ =+ 确定 ，则曲线 () yyx = 在 3 x = 处 的 法 线与 x 轴
40、交点 的 横坐 标是 (A) 1 ln23 8 + (B) 1 ln23 8 -+ (C) 8ln23 -+ (D) 8ln23 + 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2005年数学试题详解及评分参考 2005年 第 12页 【答】 应 选 (A) . 【解】 由 3 x = ，有 3 2 2 = + t t ，解得 1,3 tt =- . 由于 3 t =-时 ， y无意 义 ，故有 1 t = . 于是 在 3 x = 处 ，有 ln2 y = ， 且该点处法 线的斜 率 为 11 22 8 1/(1) tt dxt dyt = + -=-=- + ， 因 此法 线方程为 ) 3 ( 8
41、2 ln - - = - x y . 令 0 y = , 即可 解得 法 线与 x轴 交点 的 横坐 标为 3 2 ln 8 1 + . 故 选 (A) . (10) 设区域 22 (,)|4,0, Dxyxyxyo =+ ， () fx为 D上 的 正值连续 函数， , ab为 常 数，则 ()() ()() D afxbfy d fxfy s + = + (A) abp (B) 2 ab p (C) () ab p + (D) 2 ab p +【答】 应 选 (D) . 【解】 因 积 分区域 D关 于 直 线 yx = 对 称 ，故由 轮 换 对 称 性 ，有 = + + s d y f
42、 x f y f b x f a D ) ( ) ( ) ( ) ( s d x f y f x f b y f a D + + ) ( ) ( ) ( ) ( ， 于是，原式 = s d x f y f x f b y f a y f x f y f b x f a D + + + + + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1= . 2 2 4 1 2 2 2 p p s b a b a d b a D + = + = + 故 选 (D) . 注： 本 题 也 可以 采 用 特 殊 值法 进 行求 解， 只要取 ()1 fx= ， 即知 应 选 (D) .
43、(11)【 同 数学 一（ 9） 题 】 (12) 设函数 1 1 () 1 x x fx e - = - ，则 (A) 0,1 xx = 都 是 () fx的第 一 类 间 断 点 (B) 0,1 xx = 都 是 () fx的第 二 类 间 断 点 (C) 0 x = 是 () fx的第 一 类 间 断 点 ， 1 x = 是 () fx的第 二 类 间 断 点 (D) 0 x = 是 () fx的第 二 类 间 断 点 ， 1 x = 是 () fx的第 一 类 间 断 点 【答】 应 选 (D) . 【解】 易 见 函数 () fx在 0 x = 和 1 x = 点处无定 义 ，故 0
44、 x = 与 1 x = 为间 断 点 . 又 由 = ) ( lim 0 x f x ， 知 0 x = 是第 二 类 间 断 点； 而由 0 ) ( lim 1 = + x f x 及 1 ) ( lim 1 - = - x f x ， 知 1 x = 是第 一 类 间 断 点 ，故 选 (D) . (13)【 同 数学 一（ 11） 题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2005年数学试题详解及评分参考 2005年 第 13页 (14)【 同 数学 一（ 12） 题 】 三、解答题（本题共 9小题，满分 94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） (15)（本题满分 11分）
45、 设函数 () fx连续 ， 且 (0)0 f ， 求 极限 0 0 0 ()() lim () x x x xtftdt xfxtdt - - . 解： 原式 00 0 0 ()() lim () xx x x xftdttftdt xfxtdt - = - 2分 00 0 0 ()() lim () xx x x xftdttftdt xtu xfudt - -= 设 4分 00 0 0 ()()()lim () xx x x ftdtxfxtftdt xfudt +- 洛 必 达 法 则 7分 (0) 0 () lim ()() x xf xfxfx x x x + 微分 中值定理 10分 (0) (0)(0) f ff = + 1 2 = 11分 (16)（本题满分 11分） 如 图 ， 12 CC 和 分 别 是 1 (1) 2 xx yeye =+= 和 的 图 像 ， 过 点 (0,1) 的曲线 3 C 是 一 单 增 的函数 图 像 .过 1 C上 任意一点 (,) Mxy分 别 作 垂
