1994年考研数学试题详解及评分参考.pdf-道客多多

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1、郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1994年数学试题详解及评分参考 1994年第 1页 1994年全国硕士研究生入学统一考试数学试题详解及评分参考数学（试卷一）一、填空题：（本题共 5小题，每小题 3分，满分 15分） (1) 0 11 limcot() sin x x xx -= . 【答】应填 1/6. 【解】原式 2 0 sin limcos sin x xx x xx - = 2 1 2 322 000 sin1cos1 limlimlim. 366 xxx x xxx xxx - = (2) 曲面 3 2 = + - xy e z z 在点 ) 0 , 2 , 1 (

2、处的切平面方程为 . 【答】应填 240. xy +-= 【解】记 (,)23 z Fxyzzexy =-+- ，则 (1,2,0)4 x F = ， (1,2,0)2 y F = ， (1,2,0)0 z F = 于是过点 ) 0 , 2 , 1 ( 的切平面方程为 4(1)2(2)0 xy -+-=，即 240. xy +-= (3) 设 sin x x ue y - = ，则 y x u 2 在 1 (2,) p 点处的值为 . 【答】应填 2 (). e p【解】因 11 sincos(cossin) xxx uxxxx eee xyyyyyy - =-+=- ，故 2 222

3、 11 cossin()cos() x uxxxxx e xyyyyyyyy - =- ，于是 2 22322 1 (2,) (cos22sin22cos2)(). u e xye p p pppppp - =-+= (4) 设区域 D为 222 xyR +，则 + D dxdy b y a x ) ( 2 2 2 2 = . 【答】应填 4 22 111 (). 4 R ab p + 【解】因 D关于直线 yx = 对称，故 2222 2222 ()() DD xyyx dxdydxdy abab +=+ ，于是 222222 222222 1 ()()() 2 DDD xyxyyx d

4、xdydxdydxdy ababab +=+ 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1994年数学试题详解及评分参考 1994年第 2页 2 2224 222222 00 111111111 ()()()(). 224 R D xydxdydrrdrR ababab p qp =+=+=+ (5) 已知 (1,2,3) a = ， 11 (1,) 23 b = ，设 A ab = ，其中 a是 a的转置，则 n A = . 【答】应填 11/21/3 212/3. 33/21 【解】由 (1,2,3) a = ， 11 (1,) 23 b = ，知 3 ba = ，于是有 1 ()()()(

5、)()()() nn A abababababababbaab - = LL 11 111/21/3 11 32(1)3212/3. 23 333/21 nn - = 二、选择题：（本题共 5小题，每小题 3分，满分 15分） (1) 设 434234 222 2 222 sin cos,(sincos),(sincos), 1 x MxdxNxxdxPxxxdx x ppp ppp - =+=- + 则有 (A) NPM ， 4 2 2 cos0 Pxdx p p - =- ，于是有 PMN ，故选 (D) . (2) 二元函数 (,) fxy在点 00 (,) xy处两个偏导数 ) , (

6、 , ) , ( 0 0 0 0 y x f y x f y x 存在，是 (,) fxy在该点连续的 (A) 充分条件而非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件【答】应选 (D) . 【解】取 22 22 22 ,0 (,) 0,0 xy xy xy fxy xy + + = += ，易见 (0,0),(0,0) xy ff 存在，但 (,) fxy在 (0,0)不连续，因而偏导数存在不是 (,) fxy连续的的充分条件；又取 (,) fxyxy =+，易见 (,) fxy在点

7、 ( ) 0,0 处连续，但 (0,0) x f 与 (0,0) y f 都不存在，因而偏导数存在不是 (,) fxy连续的必要条件，故选 (D) . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1994年数学试题详解及评分参考 1994年第 3页 (3) 设常数 l 0，且级数 =1 2 n n a 收敛，则级数 = + - 1 2 | | ) 1 ( n n n n a l(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与 l有关【答】应选 (C) . 【解】因 22 22 22 |1111 (1)()() 22 n nn nn

8、 aa aa nn nn l ll -=+ + + ，而级数 2 1 n n a = 与 2 1 1 n n = 均收敛，所以 = + - 1 2 | | ) 1 ( n n n n a l 绝对收敛 . 故选 (C) . (4) 设 2 0 tan(1cos) lim2 ln(12)(1) x x axbx cxde - +- = -+- ，其中 22 0 ac +，则必有 (A) 4 bd = (B) 4 bd =- (C) 4 ac = (D) 4 ac =- 【答】应选 (D) . 【解】由 2 2 2 00 tan(1cos)secsin limlim2 2 2

9、ln(12)(1) 2 12 x xx x axbxaxbxa c c cxde xde x - - +-+ =-= - -+- + - ，知 4 ac =- ，故选 (D) . (5) 已知向量组 1234 , aaaa线性无关，则向量组 (A) 12233441 , + aaaaaaaa 线性无关 (B) 12233441 , - aaaaaaaa 线性无关 (C) 12233441 , +- aaaaaaaa 线性无关 (D) 12233441 , +- aaaaaaaa 线性无关【答】应选 (C) . 【解】由于对选项 (A)，有 ()()()() +

10、-+-+= 12233441 0 aaaaaaaa ；对选项 (B)，有 ()()()() -+= 12233441 0 aaa-aa-aa-a ；对选项 (D)，有 ()()()() +-+-+-= 12233441 0 aaaaaaaa ；因此选项 (A)、 (B)、 (D)中给出的 4个向量均线性相关，故选 (C) . 三、（本题共 3小题，每小题 5分，满分 15分） (1) 设 - = = 2 1 2 1 2 2 , cos ) cos( ) cos( t u udu t t y t x ，求 dx dy , 2 2 dx y d 在 2 t p = 的值 .

11、解：因 ( ) 222 2sin(),2sin, dxdy tttt dtdt =-=- 2分郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1994年数学试题详解及评分参考 1994年第 4页故 2 22 () 1 , 2sin() t t t dydy t dxdxxtt =- , 4分所以 2 2 2 2 1 , 2 2 t t dydy dxx p p p p = = =- . 5分 (2) 将函数 x arctgx x x x f - + - + = 2 1 1 1 ln 4 1 ) ( 展开成 x的幂级数 . 解：因 4 24 1 111111 ()()11,(11) 411

12、211 n n fxxx xxxx = =+-=-=- 所围成立体表面的外侧 . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1994年数学试题详解及评分参考 1994年第 5页解：设 123 S,S,S依次为 S的上、下底和圆柱面部分，则 12 222222 0 ss xdydzxdydz xyzxyz = + . 1分记 12 S,D, xy SxOy 在面上的投影区域为则 12 222 222222222 () 0 SSDxyDxy zdxdyRdxdyRdxdy xyzxyRxyR + - =-= + . 2分 3 2 3 222 S S,0, zdxdy xyz

13、 = + 在上 3分 3 S, yz yOzD 记在平面上的投影区域为则 3 222222 222222222 2 SDyzDyzDyz RydydzRydydzRydydz xdydz xyzRzRzRz - =-= + 2 222 22 1 2,R 22 RR RR dz RydyR Rz p p - =-= + 所以原积分 . 6分五、（本题满分 9分）设 ) (x f 具有二阶连续导数， 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( = = f f ，且 0 ) ( ) ( ) ( 2 = + + - + dy y x x f dx y x f y x xy 为一全

14、微分方程 ,求 ) (x f 及此全微分方程的通解 . 解：由全微分方程的充要条件 PQ yx = ，知 2 2()()2 xxyfxfxxy +-=+ ，即 2 ()() fxfxx += . 2分解得 2 12 ()cossin2 fxCxCxx =+- . 5分由 (0)0,(0)1 ff = ,求得 12 C2,C1 = ,从而有 2 ()2cossin2 fxxxx =+- . 6分于是原方程为 22 (2cossin)2(2sincos2)0 xyxxyydxxxxxydy -+-+= ，其通解是 22 2sincos2 2 xy yxyxxy

15、C -+= . 9分六、（本题满分 8分）设 () fx在点 0 x = 的某一邻域内具有二阶连续导数，且 0 ) ( lim 0 = x x f x ，证明：级数 =1 ) 1 ( n n f 绝对收敛证：由题设推知 (0)0,(0)0 ff = . 2分 ()0 fxx = 在点的某邻域内的一阶 Taylor展开式为 22 11 ()(0)(0)()()(01) 2!2 fxffxfxxfxx qqq =+=. 5分郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1994年数学试题详解及评分参考 1994年第 6页 ,()M fx 再由题设在属

16、于该邻域内包含原点的一小闭区间上连续 ,故存在 0, 2 (),(). 2 M fxMfxx 使于是 2 111 ,() 2 M xnf nnn = 令当充分大时有 . 7分因为 2 11 11 ,(). nn f nn = 收敛所以级数绝对收敛 8分七、（本题满分 6分）已知点 A与 B的直角坐标分别为 (1,0,0)与 (0,1,1)，线段 AB绕 Z轴旋转一周所成的旋转曲面为 S，求由 S及两平面 Z=0, Z=1所围成的立体体积解：直线 AB的方程为： 1 1 , 111 xz xyz yz =- - = = -

17、即 . 2分在 z轴上截距为 z的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与 z轴交于点 Q(0,0,z),与 AB交于点 1 (1,) Mzzz - ，故圆截面半径 222 ()(1)122 rzzzzz =-+=-+ . 4分从而截面面积 2 ()(122), Szzz p =-+ 旋转体体积 1 2 0 2 V(122) 3 zzdz pp -+= = . 6分八、（本题满分 8分）设四元线性齐次方程组 (I)为 = - = + 0 0 4 2 2 1 x x x x ，又已知某线性齐次方程

18、组 (II)的通解为 k 1 ( 0, 1, 1, 0 ) T+ k 2 ( 1, 2, 2, 1 ) T . (1) 求线性方程组 (I)的基础解系 . 【 (0,0,1,0) T ， (1,1,0,1) T - 】 (2) 问线性方程组 (I)及 (II)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由 . 解： (1) 由已知， (I)的系数矩阵为 1100 0101 - ，故 (I)的基础解系可取为 (0,0,1,0)， (1,1,0,1) - . 3分 (2) 有非零公共解 . 将 (

19、II)的通解代入方程组 (I)，则有 212 122 20 20 kkk kkk -+= +-= ，解得 12 kk =- . 5分当 12 0 kk =-时，则向量 1222 (0,1,1,0)(1,2,2,1)(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1 ,1,1,1) kkkk +-=-+-=- 满足方程组 (I)（显然是 (II)的解），故方程组（ I）（ II）有非零公共解，所有非零公共解是 (1,1,1,1) k - ，其中 k是郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1994年数学试题详解及评分参考 1994年第 7页不为 0的任

21、 ( ) ( B A P AB P = ， p A P = ) ( ，则 = ) (B P . 【答】应填 1. p - 【解】因 ()()()()()()1()()() PABPAPABPAPBPABPAPBPAB =-=-=-+，故由 ) ( ) ( B A P AB P = ，知 1()()0 PAPB -= ，即 ()1() PBPA =- ，亦即 ()1 PBp =- . (2) 设相互独立的随机变量 XY 、具有同一分布律，且 X的分布律为 X 0 1 P2 12 1则随机变量 , max Y X Z = 的分布律为：【答】应填

22、 1 0 4 PZ=， 3 1 4 PZ=. 【解】因 , XY同分布，且都是只取 0,1两个数值，故 Z的所有可能取值为 0和 1，故由 , XY相互独立，知 0max(,)00,0001/4 PZPXYPXYPXPY = ， 13 1101. 44 PZPZ =-=-= 因此 , max Y X Z = 的分布律为： X 0 1 P1 43 4十一、（本题满分 6分）若随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(1,3 2 )和 N(0,4 2 )，且 X与 Y的相关系数 2 1 - = XY r ，设 2 3 Y X Z +

23、= ， (1) 求 Z的数学期望 EZ和和方差 DZ； (2) 求 X与 Z的相关系数 Z X r ； (3) 问 X与 Z是否独立？为什么？郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1994年数学试题详解及评分参考 1994年第 8页解： (1) 101 323 EZ=+=， 1分 22 22 34134 2()1423 32232 DZ=+-=+-=. 2分 (2) 因 2 11111 (,)(,)(,)3()340 32322 CovXZCovXXCovXY =+=+-=，所以 (,) 0 XZ CovXZ DXDZ r= . 4分 (3) 因 , XY均是正态

24、，故 Z也是正态，又 0 XZ r = ，所以 X与 Z相互独立 . 6分【笔者注：第 (3)问原始答案有误 .要由 0 XZ r = 推出 X与 Z独立，须以二元正态分布为前提】数学（试卷二）一、填空题：【同数学一第一题】二、选择题：【同数学一第二题】三、（ 15分）【同数学一第三题】四、 (本题共 2小题，每小题 6分，满分 12分 ) (1) 在椭圆 22 44 xy += 上求一点，使其到直线 2360 xy +-=的距离最短 . 解：设 (,) Pxy

25、为椭圆 22 44 xy += 上任意一点，则 P到直线 2360 xy +-=是距离 236 13 xy d +- = 为求 d的最小值点，只需求 2 d 的最小值点 2分令 222 1 (,)(236)(44) 13 Fxyxyxy ll =+-+- ，由 Lagrange乘数法，有 FFF 0,0,0 xyl = . 即 22 4 (236)20 13 6 (236)80 13 440 xyx xyy xy l l +-+= +-+= +-= 4分解之得 1122 8383 ,;, 5555 xyxy =-=- .于是 1122 (,)(,)

26、 111 , 1313 xyxy dd =，由问题的实际意义知最短距离是存在的 ,因此 83 (,) 55 即为所求的点 6分 (2)【同数学一第四题】郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1994年数学试题详解及评分参考 1994年第 9页五七、【同数学一第五七题】八、（本题共 2小题，满分 14分） (1) (本题满分 6分 ) 设 A是 n阶方阵， 2,4,6,2n L 是 A的 n个特征值， I是 n阶单位阵，计算行列式 3 AI - 的值 . 解：已知 n阶方阵有 n个不同的特征值，故存在可

27、逆阵 P，使得 1 2 4 2 PAP n - = O ，即 1 2 4 2 APP n - = O . 2分因此 111 22 44 333 22 AIPPIPPPP nn - -=-=- OO 4分 11 1 21 1 41 3 3 21 23 PPPP n n - - =-= - OO O(23)! n =- . 6分【笔者另解】：因 A的 n个特征值为 2,4,6,2n L ，故 3 II - 的 n个特征值为： 1,1,3,23 n - L ，所以 2113(23)(23)! AInn -=-=- L （ 2）（本题满分 8分）【同数学一第八题

28、】九、（本题满分 6分）【同数学一第九题】数学（试卷三）一、填空题：（本题共 5小题，每小题 3分，满分 15分） (1) 若 2 sin21 ,0 () ,0 ax xe x fx x ax +- = = 在 (,) -+ 上连续，则 a = . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1994年数学试题详解及评分参考 1994年第 10页【答】应填 2. - 【解】因 () fx在 (,) -+ 上连续，故 0 lim()(0) x fxfa = ，而 22 000 sin21sin21 lim()limlim()22 axax xxx xexe fxa

29、 xxx +- =+=+ ，于是 2. a =- (2) 设函数 () yyx = 由参数方程 32 ln(1) xtt ytt =-+ =+ 所确定，则 2 2 dx y d = . 【答】应填 (65)(1)/ ttt + . 【解】因 2 32 dy tt dt =+ , 1 1(1) dx t dt - =-+ , 故 2 2 1 /32 352 /1(1) dydydttt tt dxdxdtt - + =+ -+ , 于是 2 21 1(65)(1) ()(65). 1(1) dyddydttt t dxdtdxdxtt - + =+= -+(3) cos3 0 () x d

30、 ftdt dx = . 【答】应填 3sin(3)(cos3). xfx - 【解】 cos3 0 ()(cos3)(cos3)3sin(3)(cos3). x d ftdtfxxxfx dx =- (4) 2 3 x xedx = . 【答】应填 2 2 1 (1). 2 x xeC -+ 【解】 22222 32222 111 ()()(1). 222 xxxxx xedxxdexeedxxeC =-=-+ (5) 微分方程 0 ) 4 ( 2 = - + dy x x ydx 的通解为 . 【答】应填 4 . 4 x yC x = -【解】分离变量，有 (4) dyd

31、x yxx = - ，两边积分，得 11 lnlnlnC 444 x y x =+ - ，故所求通解为 4 . 4 x yC x = -二、选择题：（本题共 5小题，每小题 3分，满分 15分） (1) 设 2 ) ( ) 1 ln( lim 2 2 0 = + - + x bx ax x x ，则 (A) 5 1, 2 ab =- (B) 0,2 ab =- (C) 5 0, 2 ab =- (D) 1,2 ab =- 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1994年数学试题详解及评分参考 1994年第 11页【答】应选 (A) . 【解】由 2 ) ( ) 1 ln( li

32、m 2 2 0 = + - + x bx ax x x ，知 2 0 ln(1)() lim0 x xaxbx x +-+ = ，即 10 a -=，亦即 1 a = ；于是由洛必达法则，有 21 2 000 ln(1)(1)(1)12(12)21 limlimlim2 22(1)2 xxx xxbxxbxbbx b xxx - +-+-+- =-= + ，因而 5/2 b=- ，故选 (A) . (2) 设 3 2 2 ,1 () 3 ,1 xx fx xx = ，则 ) (x f 在 1 x = 处的 (A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在，但右导

33、数不存在 (C) 左导数不存在，但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在【答】应选 (B) . 【解】由 3 22 2 33 111 ()(1)2 limlimlim(1)2 113 xxx x fxf xx xx - - - =+= - ，及 2 2 3 11 ()(1) limlim 11 xx x fxf xx + - - = - ，知 (1)2 f - = ， (1) f + 不存在，故选 (B) . (3) 设 ) (x f y = 是满足微分方程 0 “ sin = - + x e y y 的解，且 0 ) ( 0 = x f ，则 ) (

34、x f 在 (A) 0 x 的某个邻域内单调增加 (B) 0 x 某个邻域内单调减少 (C) 0 x 处取得极小值 (D) 0 x 处取得极大值【答】应选 (C) . 【解】由题意， ) (x f 满足方程 sin ()()0 x fxfxe +-= ，故由 0 ) ( 0 = x f ，知 00 sinsin 00 ()()0 xx fxefxe =-= ，可见 ) (x f 在驻点 0 x处取得极小值 . 故选 (C) . (4) 曲线 2 1 2 1 (1)(2) x xx yearctan xx +- = +- 的渐

35、近线有 (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条【答】应选 (B) . 【解】由 0 limarctan1 4 x ye p = ，知曲线有一条水平渐近线 4 y p = ，且没有斜渐近线；又易见函数只可能在 0,1,2 xxx =-= 处间断，而 0 1 limarctan() 2 x y =+-=-， 1 limarctan() 2 x yee p - - =-=- ， 1 limarctan() 2 x yee p + - =+= ，郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1994年数学试题详解及评分参考 1994年第 12页 11

36、 44 2 limarctan() 2 x yee p - =-=- ， 11 44 2 limarctan() 2 x yee p + =+= ，所以曲线只有一条铅直渐近线 0 x = ，因而曲线共有两条渐近线，故选 (B) . (5) 【同数学一第二、（ 1）题】三、（本题共 5小题，每小题 5分，满分 25分） (1) 设 ) ( y x f y + = ，其中 f具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求 2 2 dx y d . 解： (1), 1 f yyfy f =+= - 2分 2 2 3 (1) (1),

37、1(1) yff yyfyfy ff + =+= - . 5分 (2) 计算 dx x x - 1 0 2 3 4 ) 1 ( . 解：设 2 sin xt = ，则 0 x = 时， 0 t = ； 1 x = 时， 2 t p = . 1分 3 1 44 2 2 00 1 (1)cos 2 xxdxtdt p -= 3分 133 242232 pp = . 5分 (3) 计算 ) 2 4 ( lim n tg n n + p . 解： 22 12 2 limln()limlnlimln1 22 4 11 n nnn tgtg nn tgnn n tgtg nn p + +=+ - 2

38、分 22 2 4 limlim4 222 11 nn tgtg nn n tgtg nnn = - , 4 2 lim() 4 n n tge n p += . 5分 (4) 【同数学一第三、 (4) 题】 (5) 如图 ,设曲线方程为 2 1 2 + = x y ,梯形 OABC的面积为 D，曲边梯形 OABC的面积为 D 1 ，点 A 的坐标为（ ) 0 , a ， 0 a ，证明： 2 3 1 D D . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1994年数学试题详解及评分参考 1994年第 13页证： 32 2 1 0 1(23) () 2326 a aaaa

39、Dxdx + =+=+= 2分 2 2 11 (1) 22 22 a aa Da + + = 3分 2 2 2 2 1 (1) 31 2 3 (23) 2 2 6 aa Da aa D a + + = + + . 2 2 1 13 1, 3 2 2 aD D a +x 时，方程 1 1 = + x kx 有且仅有一个解，求 k的取值范围 . 解：设 2 1 ()1 fxkx x =+- ，则 34 26 (),()0 fxkfx xx =-= . 3分 (1) 当 0 k 时， ()0 fx 时，令 ()0 fx = ，解得唯一驻点 3 2 x k =

40、，且为极小值点 . 由于 () yfx = 在 (0,) + 内是凹的，所以当极小值 3 2 () f k 为 0，即 3 3 2 2 ()10 2 k k k +-=时，原方程有且仅有一个解 .由上式解得 2 3 9 k = .而当 2 3 9 k 时，原方程无解或有两个解 . 综上所述，当 2 3 9 k = 及 0 k 时，方程有且仅有一个解 . 9分五、（本题满分 9分）设 2 3 4 x x y + = . （ 1）求函数的增减区间及极值；（ 2）函数图像的凹凸区间及拐点；（

41、 3）求其渐近线；（ 4）作出其图形 . 解： (1) 定义域 (,0)(0,) -+ U ，由 3 8 1 y x =- 得驻点 2 x = 和不可导点 0 x = .于是 x (,0) - (0,2) (2,) + y + - + y Z Z 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1994年数学试题详解及评分参考 1994年第 14页所以 (,0),(2,) -+ 为增区间 , (0,2)为减区间 , 2 x = 为极小点 ,极小值为 3 y = . 2分 (2) 由 4 24 0 y x = ，知 (-,0),(0,+) 为凹区间，

42、且无拐点 4分 (3) 由 3 2 0 4 lim x x x + =+知， 0 x = 为垂直渐近线，又由 33 32 44 lim1,lim()0 xx xx abx xx + =-= 知 yx = 为斜渐近线 . (4) 令 0 y = ，得零点 3 4 x =- . 6分于是其图形如图所示 . 9分六、（本题满分 9分）求微分方程 x y a y sin “ 2 = + 的通解，其中常数 0 a . 解：对应的齐次方程的通解为 12 cossin ycaxcax =+. 1分 (1) 当 1 a 时，设原方程的特解为

43、*sincos yAxBx =+ 2分代入原方程得22 (1)sin(1)cossin, AaxBaxx -+-= 比较等式两端对应项的系数得 22 11 ,0,*sin 11 AByx aa = - 所以 . 4分 (2) 当 1 a 时，设原方程的特解为 *(sincos) yxAxBx =+ 5分代入原方程得 2cos2sinsin, AxBxx -= 比较等式两端对应项的系数得 11 0,*cos. 22 AByxx =-=- 所以 8分综上所述，当 1 a 时，原方程的通解为 122 1 cossinsin 1 yc

44、axcaxx a =+ -当 1 a = 时，原方程的通解为 12 1 cossincos 2 ycxcxxx =+- . 9分七、（本题满分 9分）设 ) (x f 在 0， 1上连续且递减，证明：当 1 0 -，因此 12 (1)()()0 ff llxx - ，即原不等式成立 9分郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1994年数学试题详解及评分参考 1994年第 15页八、（本题满分 9分）求曲线 | 1 | 3 2 - - = x y 与 x轴围成的封闭图形绕直线 3 = y 旋转所得的旋转体体积 . 解：如图， A

45、B和 BC的方程分别为 22 2(01)4(12) yxxyxx =+=- , 3分设旋转体在区间 0,1上的体积为 1 V，在区间 1,2上的体积为 2 V，则它们的体积元素分别： 222 1 33(2) dVxdx p =-+ 222 2 33(4). dVxdx p =- 7分由对称性得 12 222222 12 01 2()233(2)233(4) VVVxdxxdx pp =+=-+- 2 24352 0 0 21488 2(82)2(8) 3515 xxdxxxx ppp =+-=+-= . 9分数学（试卷四）一、填空题：（本题共 5小题，每小题 3分，满分 15分） (1) = + + - dx x x x 2 2 2 2 | |. 【答

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