高等数学教案一.doc

1、1湖南机电职业技术学院学期授课计划学 期 2008 年 9 月 至 2009 年 1 月学年度第 一 学期课 程 名 称 高 等 数 学 使 用 教 材名 称 及 版 别大学数学应用基础湖南教育出版社第二版采 用 大 纲 名称 及 拟 定 者高等数学教学大纲 校编适 用 专 业 班 级 酒管 0801、02 电 子 0801、02 网络 0801 03 软件 0801、02 ACCP/IBM0801本 课 程 总 课 时 48 本 期 前 已 授 课 时 0本 学 期 总 课 时 周 课 时 讲 课 实 验 测 验 复 习 机 动40 4 34 2 4本 计 划 制 定 教 师 谭 洁本 计

2、划 使 用 教 师 谭 洁 田 智 关 章 才 童 丽 娟 教 研 室 主 任 系 主 任 教 务 处 长本 课 程 本 学 期 教 学 目 的 及 要 求 :教 学 目 的 :通 过 本 课 程 的 学 习 使 学 生 掌 握 高 等 数 学 的 思 想 与 思 维 方 式 ,提 高 理 性思 维 的 能 力 ,全 面 改 善 学 生 的 素 质 ,加 强 分 析 问 题 的 能 力 ,应 用 意 识 和 创 新 意 识 的 培养 ,注 重 高 等 数 学 教 学 中 弘 扬 人 文 精 神 的 教 化 作 用 ,以 期 在 数 学 教 学 中 全 面 体 现 知 识 ,能 力 和 素 质

3、的 统 一 .教 学 要 求 :对 高 职 学 生 来 说 ,要 掌 握 相 关 的 高 等 数 学 的 理 论 与 知 识 ,根 据 我 校 学 生的 知 识 层 次 和 课 程 设 置 的 要 求 ,在 教 学 中 从 以 下 几 方 面 提 高 学 生 的 素 质 与 能 力 ,做到 学 有 所 用 ,学 以 致 用 .首 先 精 选 教 学 内 容 ,再 精 简 相 关 的 内 容 ,把 总 课 时 控 制 在 44左 右 ,其 次 在 教 法 上 尽 量 使 用 现 代 教 学 方 式 ,提 高 教 学 质 量 ,培 养 学 生 科 学 的 思 维 方法 和 用 数 学 的 意 识

4、,了 解 常 见 的 解 题 技 巧 与 方 法 .重 点 知 识 掌 握 函 数 的 极 限 、 函 数 的导 数 与 微 分 ,函 数 的 极 值 和 最 值 的 应 用 ,以 及 不 定 积 分 的 初 步 知 识 和 定 积 分 意 义 与 运用 。2学 期 授 课 计 划序号 周次 授 课 内 容 提 要 授课形式作业11.1-1.6 函数、函数的特性、反函数、幂函数、指数函数与对数函数、三角函数与反三角函数、复合函数、初等函数面授 P6:3 P10:4,5P12:1211.9-1.10 数列的极限、函数的极限 面授 P44:43 1.11-1.12无穷小与无穷大、极限的运算法则 面

5、授 P49:4,5421.13 极限存在准则，两个重要极限 面授 P59:35 1.14 函数的连续性 面授 P66:6,76 3 2.1 导数的概念 面授 P87:4，57 2.2-2.3 函数的和、差、积、商的求导法则复合函数的求导法则 面授 P92:1 单 P95:1 单842.4-2.5 隐函数的导数、初等函数的导数 面授 P101:29 2.7-2.8 高阶导数、函数的微分 面授 P116:3 单，410 5 3.2 罗必达法则 面授 P137:2 单11 3.3 函数单调性的判别法 面授 P140:2 单12 6 3.4 函数的极值 面授 P145:1 单13 3.5 函数的最大值

6、和最小值 面授 P148:6,714 7 3.6-3.7曲线的凹凸与拐点，函数图像的描绘 面授 p155: 1(1)(2);2(1) 15 4.1 不定积分的概念 面授 P176:316 8 4.2 不定积分的运算法则与直接积分法 面授 P181:1（1）（8）17 4.3 换元积分法 面授 P189:1（1）（8）1894.4 分部积分法 面授 P193:（1）（8）19 复习（一） 面授20 10 复习（二） 面授备注：严格按此计划组织教学，授课内容误差不得超过 2 个课时；各班级按教学进度表组织教学，如有实习周或放假周，按计划内容顺延。3湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案(一

7、)备课组长签名： 教师签名： 班 级日 期课题 ： 1.1-1.6 函数、函数的特性、反函数、幂函数、指数函数与对数函数、三角函数与反三角函数、复合函数、初等函数教学目的(知识、技能、态度 )：1、介绍高等数学学习方法，了解与初等数学之间的区别与联系；2、复习函数概念，认识几个特殊函数，掌握函数的几种特性。3、复习几个常见函数的，掌握其特性和图像性质。教学重点：函数的特性教学难点：函数与反函数的关系课 型 ：新授课主要教学方法：启发引导式 讲授法教 学 过 程 设 计（时间大体分配） 教学方法.组织教学：自我介绍，课程介绍与要求，考勤 、新课教学一、函数定义设在某一变化过程中有两个变量 x 和

8、 y，如果当变量 x 在其变化范围内任意取定一个数值时，变量 y 按照一定的法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 函数。记作 )(f。其中 x 叫自变量，y 因变量。二、函数的几种特性（1）函数的奇偶性如果函数 f(x)对于定义域内的任何 x，恒有 f(-x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。例如， ,由于 f(-x)=f(x)，所以，如果点 M(x,f(x)在函数2)(xf图形上，那么它关于 y 轴的对称点 M（-x,f(x)）也在图形上，因此，偶函数的图形关于 y 轴对称。55104（2）函数的周期性对于函数 y=f(x)，如果存在不为零的常数 T，使关系式)(xfTf对于定义域

9、内任何 x 值都成立，则称函数 f(x)为周期函数，T 叫做 f(x)的周期，一般我们所说的周期是指最小正周期。例如，sinx，cosx 是周期函数，它的周期是 2。（3）函数的单调性如果对于区间(a,b)内的任意两点 x1 和 x2，当 x1f(x2)，则称函数 f(x)在区间（a,b）内是单调减少的。单调增加的或单调减少的函数统称为单调函数。类似地，可以定义无穷区间上的单调函数。单调增加函数的图形是沿 x 轴正向逐渐上升的；单调减少函数的图形是沿 x 轴正向逐渐下降的。（4）函数的有界性设函数在区间 I 内有定义（I 可以是函数 f(x)的整个定义域，也可以只是定义域的一部分） 。如果存在

10、正的常数 M，使得对于区间 I 内的任何 x 值，恒有Mxf)(，则称函数 f(x)在区间 I 内是有界的；如果这样的 M 不存在，则称函数 f(x)在 I 内是无界的。三、反函数在自由落体运动中，我们选定时间 t 为自变量，距离 S 为函数，则距离 S 与t 的函数关系为 .我们也可以选取距离 S 作为自变量，则时间 t 作21gtS函数，这时 t 与 S 的函数关系式为 ,我们称 是gt2gSt2的反函数。当然 也是 的反函数，它们互为反函数。21gtS21tSt一般地，设给定 y 是 x 的函数 y=f(x)，如果把 y 当作自变量，x 当作函数，则由 y=f(x)所确定的函数 x=(y

11、)叫做函数 y=f(x)的反函数，而 f(x)叫直接函数。习惯上，我们总是用 x 表示自变量，y 表示因变量。因此，我们把反函数 x= (y)改写为 y= (x)，称 y=(x)和 y=f(x)互为反10156函数。四、幂函数、指数函数、对数函数幂函数：函数 ，其中 为任意实数，叫幂函数，它的义定域随 的yx不同而不同。但不论 取什么值，幂函数在（0，+）内总有定义，且图形都通过（1，1） 。 中，=1，2，3， ，-1 是最常见的幂函数。有21些幂函数具有奇偶性。例如 是（-，+）内的偶函数，而 是yx 3yx（-，+）内的奇函数。指数函数：函数 （a0，a1）叫做指数函数，它的定义域是（-

12、xya，+） 。因为恒有 0，及 =1，所以指数函数的图形总在 x 轴上方，0且通过点（0，1） 。以常数 e=2.71828为底的指数函数 ，是科技中常ye用的指数函数，关于常数 e 的意义本章将详细说明。指数函数具有单调性。例如， 在（-，+）内是单调增加的，而 在（-，+）内xye 1是单调减少的。对数函数：指数函数 的反函数，记作 ，),0(logaxya叫做对数xya函数，它的定义域是（0，） ，对数函数的图形，可以从它所对应的指数函数 的图形按反函数的作图规则作出。xya工程实际问题中常遇到的以 e 为底的对数函 叫做自然对数函数,简记logxey作 y=lnx。五、三角函数与反三

13、角函数常用的三角函数有,正弦函数 y=sinx(-0 且无限增大（记作 x） ，可以想见有同样，当 x0 而绝对值无限增大（记作 x）时，也有两种情况合起来，就是当 x时， 自变量无限接近于有限数时，函数的极限对于函数 y=f(x)，如果当自变量 x 无限接近于 x0时，函数 f(x)无限接近某个常数 A，那么常数 A 叫做函数 f(x)当 时的极限。记作xf)(lim0或 )()0Af当 ，其中 0x叫 f(x)的极限过程。关于极限概念，应注意以下几点：A 所谓“x 无限接近于 x0”是指 x 与 x0差的绝对值（在数轴上来说是距离）无限减小，至于 x 以什么方式接近于 x0，定义中并不要求

14、，x 可以从大于 x0无限接近于 x0，也可以从小于 x0无限接近于 x0，还可以从两个方向交替地无限接近于 x0。B 所谓“f(x)无限接近于某个常数 A”是指 Af)(可以任意小。C 定义中 0是不包括 0x的，故有 0x， 所以当 0x时，f(x)有没有极限与 f(x)在点 x0是否有定义无关。D 函数对于不同的极限过程，可以存在也可以不存在极限，例如)1sin(xy，当 时，可证明（性质） 0sinlm0x但当 时， )1sin(xy的值恒在-1 和 1 之间摆动，不无限接近于某个确定的常数，所以 l不存在。前面已经指出，极限概念中的 0，x 无限接近于 x0的方式是任意的。10101

15、012但有时只能或只需考虑 x 仅从小于 x0，即仅从 x0的左侧（在数轴上看）无限接近于 x0（记作 0-0）的情形，或 x 仅从大于 x0，即仅从 x0的右侧无限接近于 x0（记作 +0）的情形。当 -0 时， Af)(,A 叫做函数 f(x)当 0时的左极限，记作Axfx )(lim00或。当 0x时， f)(,A 叫做函数 f(x)当 0x时的右极限，记作 Afx)(lim00或 。根据上述极限的定义，容易证明。函数 f(x)当 0x时极限存在的必要且充分条件是左极限、右极限各自存在并且相等。即 )0()(xff例 3，讨论函数 0,1;)(xf当 0x时是否存在极限。解： lim)(

16、li,1lim)(li 000 fxf xxx由于 )(li)(li00ffxx，所以 )(li0fx不存在。自变量趋向无穷大时，函数的极限对于函数 y=f(x)，如果当自变量 x 的绝对值无限增大时，函数 f(x)无限接近某个常数 A，那么常数 A 叫做函数 f(x)当 时的极限，记作xf)(lim或 )()xA当 ，其中 x叫 f(x)的极限过程。很明显，自变量 x 的绝对值无限增大包含两种基本形式，即 x 从某个值开始取正值无限增大（记作 ）和 x 从某个值开始取负值时其绝对值无限增大（记作 ） 。如果当 ， （ ）时，函数 f(x)无限接近某个常数 A，那么常xx数 A 叫做函数 f(

17、x)当 ， （ ）时的极限，记作：15101013)(,)(,)(limxAforxfx（ ）例如，考察函数 的图象，求出下列极限：xyarctn， ， 。 xxarctnlilirtalim 作业（课后平行项目）：P38:3； P45:6 课堂小结：本节通过观察一个数列的变化趋势引入了数列极限及函数极限概念，并认真地对自变量的不同变化趋势情形，讨论了数列和函数极限的存在条件。最后介绍了无穷小量和无穷大量概念，研究了无穷小量的性质、与极限的关系以及无穷小量与无穷大量之间的关系，内容较多。 课堂情况记录及课后分析：10 下堂课预习要求：14湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（三）备课

18、组长签名： 教师签名： 班 级日 期课题 1.11-1.12 无穷小与无穷大、极限的运算法则教学目的(知识、技能、态度 )：理解无穷小量与无穷大量定义，了解它们之间的关系以及与极限间的关系；熟悉极限的四则运算法则和复合函数的极限法则；提高理解能力与运算技能。 教学重点：无穷大与无穷小概念，性质；极限的四则运算法则，复合函数的极限求解。教学难点：无穷大与无穷小的理解与运用，极限运算法则的熟练掌握。课 型 ：新授课主要教学方法：启发式教学法；讲授法。教学场所、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体分配） 教学方法.组织教学： 考勤，检查预习情况 复习引入：以极限定义及观察法求极限，一般函数的极

19、限的计算有其法则和技巧吗？、新课教学一、无穷小与无穷大 1.无穷小：在研究函数 )(xf的极限时，常常遇到这样的情况：当自变量 0x或 时，函数 )(xf的极限为零，即 0)(lim0xfx这时，我们把函数 )(f叫做当 0（或 ）时的无穷小或无穷小量。例 1 因为 01limx，所以 1 是当 x时的无穷小。例 2 因为 sn，所以 sin是当 0时的无穷小。例 3 因为 )2(lix，所以（x2） 2是当 x时的无穷小。51016应该明白，无穷小是一个以零为极限的变量，不能把它与一个很小的数混淆起来。因为一个很小的数，如 10-8，10 -26等，无论它多么小，总是不变的，因此它不能以零为

20、极限。但是零是唯一可以看作无穷小的数。无穷小的性质：（1）有限个无穷小的和是无穷小。（2）有限个无穷小的乘积是无穷小。（3）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。由（3）可以直接推得：常数与无穷小的乘积是无穷小。函数极限与无穷小的关系：定理 1：设函数 )(xf的极限为 A（ 0x或 ） ，即 Axf)(lim，则有 Aflimli)(lim=A-A=0所以，f(x)-A 是无穷小，记为 (x)，即 )()(xf。于是有 )()(xf，其中 0)(lix。因此得到：有极限的函数可以表示为它的极限与一个无穷小之和，反之，如果函数可以表示为常数与一无穷小之和，则该常数就是函数的极限。2. 无穷大定义 2

21、：如果当 0x（或 ）时，y=f(x)的对应函数值的绝对值无限增大，则应当说函数 f(x)当 0x（或 ）时为无穷大或无穷大量。这时按极限的定义，函数的极限是不存在的，但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大” ，并记作)(lim()li0 xfxf或 。如果在无穷大的定义中，对于 x0邻近的 x 或 相当大的 x，对应的函数值都是正的（或都是负的） ，则记作 )()( 00limlixxf或例如， 1li;1lim;li;1lim202020tgxxxZ 。必须注意，不是数，不可与很大的数（如 108、10 20等）混为一谈。3. 无穷大与无穷小的关系1010517定理 2

22、： 在自变量的同一变化过程中，如果 f(x)的绝对值无限增大，那么 )(1xf就会无限减小而趋于零，反之亦然。所以有：如果 f(x)是无穷大，则 )(f是无穷小；反之，如果 f(x)为无穷小 0)(xf，则 )(1xf为无穷大。4. 无穷小的比较 （1）若 ，则称 是比 高阶的无穷小，记作 。0lim )(0（2）若 ，则称 是比 低阶的无穷小。li（3）若 ，则称 是比 是同阶无穷小；若 C=1，即 ，0lic 1lim则称 与 是等价无穷小，记作 。例如 。)0(sinx例 4 因为 ，所以当 时，3x 2是比 x 高阶的无穷小，即03lim20x0x。)(,032x例 5 因为 ，所以当

23、 时， 与21)(li1li2xxx 1xx是等价无穷小，即 。x1 )(,2二、 极限的运算法则1.极限的四则运算法则。上节通过观察函数的变化趋势，求出了某些简单函数的极限，本节再给出极限的运算法则。为叙述简便起见，在下面的讨论中，记号 lim 下边不标明自变量的变化过程，意思是说对 x或0,所建立的结论都成立。设 limf(x)=A，limg(x)=B，C 是任意常数，n 是正整数。法则 )(lim)(li)(lim gfxgf BA。法则 x5151018特别地，当 g(x)=C 时，有 )(lim)(lixfCxcf。这就是说，求极限时，常数因子可以提到极限符号外面。又 nnxfxf)

24、(lim)(li。法则 )0()li)(li BAg法则 如果 f(x)g(x)，那么 AB。必须注意，上述法则成立的前提是参与运算的函数存在极限，否则法则不能使用。例 6 求 )653(lim21xx , xxcosli2, xcsin1lm0, 1263lx。例 7 求 li21x, x1li0。 、复合函数的极限法则可以证明下述复合函数的极限法则：定理 2 设函数 与函数 满足条件：（） ；)(ufy)(xAufa)(lim（）当 时， ，且 。则复合函数 当0xaaxlim0 xf时的极限存在，且 。0xAxffx )(li)(li00例 8 求382limx 作业（课后平行项目）：

25、P49:4,5 课堂小结：本节介绍了无穷大与无穷小的概念，无穷小的比较，以及它们在求极限中的应用；介绍了极限的四则运算法则与复合函数的极限法则，要熟练掌握。 课堂情况记录及课后分析：108219 下堂课预习要求：20湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（四）备课组长签名： 教师签名： 班 级日 期课题 1.13 极限存在准则，两个重要极限教学目的(知识、技能、态度)：了解极限存在准则，掌握两个重要极限; 利用法则与重要极限会求某些函数的极限.提高观察分析能力。教学重点：利用法则与重要极限求极限。教学难点：重要极限的认识与应用课 型 ：新授课主要教学方法：引导式教学法；讲授法.教学场所

26、、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体分配） 教学方法.组织教学：考勤，复习回顾: 无穷大与无穷小，极限的四则运算法则。 、新课教学1. 极限存在准则与重要极限 0sinlm1x准则 如果对于 x0的某邻域内的一切 x（可以不包含 x0） ，或者对于绝对值充分大的一切 x，有 )()(hfg；并且有 Ahg)(lim)(li ，则当 0x或 时，f(x)的极限存在，且 limf(x)=A。 sinlm1x证明： ,(0)2OABx设 单 位 圆 圆 心 角，.C上上 ,x上上,BDOA上,tan,sinCxxBD51021sinta,x即 sinco1,x.02上上,20上上xxxcos

27、1cos0in2)(,2limx,0)(li0x,cs01上 .1silmx注：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的型的极限。（2）公式形象的记为： 0sinlm1xA例 1 求 0sin3lm4x解略例 2求 0tan2lix解 ： 000tsi1sin21limllm2xxxcocoxAA例 3 求 201cosli.x解： 20sinlmx上 20)(sinl1x20)sin(lm1x21.2. 极限的存准则与重要极限 li)xxe首先来定义数列的单调性和数列的有界性。1515ACxBDo22数列的单调性:如果对任何正整数 n，总有 1ny，则称数列 ny是单调增加的；如果对任何自然

28、数 n，总有 1y，则称数列 n是单调减少的。例如，数列 3，4是单调增加的，而数列 1是单调减少的。数列的有界性:如果存在正的常数 M，对任何正整数 n，总有 ,Myn则称数列ny是有界的；否则，称数列 ny是无界的。例如，数列 1，2，3都是有界的，而数列 4则是无界的。准则 单调有界数列则必存在极限。 1lim()xxe引导学生观察书本 22 页图表，以及数列的特点,结合存在准则,得出上述极限。注：（1）上式中令 ，则有 即1tx10lim()tte10li()xxe（2）公式形象记忆为： ；li()A 10li()AA（3）此极限主要解决 型幂指函数的极限。1例 4 求 lim(1).

29、xx解：原式11li()lim.()xx xe例 5 求 3lim1+)xx（解:原式=3lixxe例 6. 求 cot0li1anxx解:设 ,则当 时 ,于是:t0t1010用到同底数的幂的运算。可以以提问的方式回顾。1523=cot0lim1anxx10lite例 7. 求 2li1xx解: =limxx31lixA=133lilim1xx ex 作业（课后平行项目）：面授 P59:3 课堂小结：本节主要介绍了极限存在准则，同时介绍了两个重要极限，除上节通过观察法能求一些简单函数外，现在可以利用它们求一些较为复杂函数的极限，特别注意重要极限的使用。能分析总结一些求极限的技巧。 课堂情况记

30、录及课后分析：10 下堂课预习要求：湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（五）24备课组长签名： 教师签名： 班 级日 期课题： 1.14 函数的连续性教学目的(知识、技能、态度 )：理解函数连续性的两个定义，了解间断点的类别,掌握初等函数在定义区间上的连续性，了解闭区间上连续函数的性质及应用；提高观察分析能力。教学重点：初等函数在定义区间上的连续性。教学难点：连续性与间断点的判别，闭区间上连续函数的性质的理解和应用。课 型 ：新授课主要教学方法：数形结合法，分析法教学场所、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体分配） 教学方法.组织教学： 上节回顾：两个重要极限公式无穷小的比较

31、；作业讲析、新课教学一、 函数的增量在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念增量定义 1 如果函数 在 的某个邻域内有定义，当自变量 从 变()yfx0 x0到 ，函数 相应地从 变到 ，因此函数相应的增0x()f0()fx量为： 00()(yfxfx强调：增量可正可负，其实是变量的改变量。例 1 设 ，求适合下列条件的自变量的增量 和函数的增2()31f x2525量 ：y（1） 由 1 变化到 0.5x（2） 由 1 变到 x（3） 由 变到0解略。二、函数连续性的概念1. 一

32、点处连续的定义。定义 2 设函数 在点 的某个邻域有定义,如果当 x 趋向于零()yfx0时，函数 y 对应的增量 y 也趋向于零，即： 那末就称函数在点 x0处连续。例 2 证明函数 在点 处连续。2()fx0x定义 3 设函数 在点 x0的某个邻域内有定义，如果有称函数 在点 x0处连续，且称 x0为函数的的连续点. 由定义，函数在 点 连续需同时满足三个条件：()yfx0（1） 函数在点 的一个邻域内有定义，即 存在0 0()fx（2） 存在，即左右极限相等0lim()xf00limli()xxf（3） 上述两个值相等，即极限值等于函数值 =00例 3 讨论函数 在 处的连续性。21()

33、xf例 4 讨论函数 在 处的连续性。,()01,fx1x例 5 讨论函数 在 处的连续性。(),fx2. 区间连续10由图形分析加强学生对定义的理解10 101526设函数 在区间(a,b内有定义，如果左极限 存在且等于 ，即： = ，那末我们就称函数 在点 b 左连续.设函数 在区间a,b)内有定义，如果右极限 存在且等于 ，即： = ，那末我们就称函数 在点 a 右连续.一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，若又在 a 点右连续，b 点左连续，则在闭区间a，b连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。三、函数的间断点分类原因

34、 包含情况 类型0lim()xf0li()xf跳跃间断点第一类间断点,0lim()xf0li()xf都存在=0li()xf0li()xf00lim()xfx可去间断点第二类间断点不属于第一类间断点的 0lim()xf无穷间断点结合前面的例子分别介绍.例 3 为无穷间断点,例 4 为可去间断点,例 5 为跳跃间断点四、初等函数的连续性1. 连续函数的和、差、积、商的连续性5527由函数在一点处连续的定义和极限的四则运算法则可知： 0 0(), ,(),()fxgxfxgfxx若 函 数 在 点 处 连 续 则 在 点 处 连 续,2. 复合函数的连续性设函数 当 xx 0时的极限存在且等于 a，

35、即： .而函数 在点 u=a 连续，那末复合函数 当 xx 0时的极限也存在且等于 .即： 。注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：0 0lim()lim()x xfgfg所以-初等函数在其定义区间内连续。例 4 求 。xn1li解：由对数函数的连续性有原式 xnxn 1010limli lne例 5 求 xncos1lim2解：由于 属于初等函数 的定义域之内，故由 的连0xfcos1ln2f续性得 0cos1lni2fx五、 闭区间上连续函数的性质 定理 1.4 （最大值和最小值定理） 如果函数 在闭区间 上连续则fba,它在 上有最大值和最小值，也就是说存在两个点 和 ，使

36、得ba, 1x212()(),fxffxab亦即 ， 1,()minxabf2,()ma()xbffM若 x0使 ，则称 x0为函数的零点0510528推论： 如果函数 在闭区间 上连续，则它在 上有界。fba, ba,定理 1.5（介值定理） 如果函数 在闭区间 上连续，则 在 上能f,fba,取到它的最大值 和最小 值 之间的任何一个中间值。推论（零点定理） 如果函数 在闭区间 上连续，且 在区间fba,f的两个端点异号： 则至少有一个零点 ，使ba, 0)(*bfa ),(0)(f例 6 证明方程 在（0，1）内至少有一个实根。324x解略 作业（课后平行项目）：P66: 6, 7 课堂

37、小结：本节主要介绍了函数的连续性，并指出了函数在某点处连续所必须具备的三个条件及所有初等函数在其定义域内都是连续的。列举了函数三种间断点类型。详细地介绍了闭区间上连续函数的性质及应用。 课堂情况记录及课后分析：53 下堂课预习要求：1xMBCmab2xyo()yfx29湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（六）备课组长签名： 教师签名： 班 级日 期课题 ： 2.1 导数的概念教学目的(知识、技能、态度 )：理解导数的定义,几何意义;掌握导数的表示方法,由定义求导的三个步骤,以及可导与连续的关系. 培养学生联系的、辩证统一的思想；培养学生解决实际问题的能力。 教学重点：导数的定义与求

38、导数的方法.教学难点：导数概念的理解和可导与连续之间的关系。课 型 ：新授课主要教学方法：讲授法、讨论法、案例教学法教学场所、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体分配） 教学方法.组织教学： 考勤，检查预习情况。 、新课教学一、两个引例。引例 1 求变速直线运动的瞬时速度。 瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度。确定物体在某一时刻 处的瞬时速度 的方法：0t0()vt从 t0到 t0+t ，这段时间是 t . 时间 t 足够短，就是 t 无限趋近于 0. 当 t 0 时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度瞬时速度 奎 屯王 新 敞新 疆0000(

39、)()limlilitttstsv引例 2 曲线的切线。如图，设曲线 c 是函数 的图象，点 是曲线 c 上一点 奎 屯王 新 敞新 疆作()yfx0(,)Pxy割线 PQ 当点 Q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 P，割线 PQ 无限地趋近于某一极21031限位置 PT 奎 屯王 新 敞新 疆我们就把极限位置上的直线 PT，叫做曲线 c 在点 P 处的切线 奎 屯王 新 敞新 疆 y=f(x)xyQMP xOy确定曲线 c 在点 处的切线斜率的方法：0(,)y因为曲线 c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了 奎 屯王 新 敞新 疆设割线 PQ 的倾斜角为

40、，切线 PT 的倾斜角为 ，既然割线 PQ 的极限位置上的直线 PT 是切线，所以割线 PQ 斜率的极限就是切线 PQ 的斜率 tan ,即tan = 奎 屯王 新 敞新 疆0limxy0lix()(fxf二、导数的定义 由于速度问题、切线问题以及其他许多问题(如电流强度、角速度、线密度等等)均导致形如 的极限,我们撇开这些量的具体意义，抓住他0limxy们在数量关系上的共性，就得出函数的导数概念定义 2.1 设函数 )(fy在点 0x的某个邻域内有定义，当自变量 x在0x处取得增量 x（点 0仍在该邻域内）时，相当函数 y取得增量)(0ffy；如果 y与 x之比当 0时的极限 存在，则称函数

41、 )(xfy在点 0处可导，并00limlixxfxAA称这个极限为函数 )(fy在点 0处的导数， 记作 )(0xf， 0|x， 0dxy，或 0()dxf。即： 00()(limlixxffAA101032函数 )(xf在点 0处可导有时也说成 )(xf在点 0具有导数或导数存在；若极限 不存在，则称函数 在点 处不可导 奎 屯王 新 敞新 疆xfx)(lim00 )(xfy0注：(1)函数应在点 的附近有定义，否则导数不存在 奎 屯王 新 敞新 疆0(2)导数 是函数 在点 的处瞬xffxf)(li)( 000/ )(xfy0时变化率，它反映的函数 在点 处变化的快慢程度 奎 屯王 新

42、敞新 疆)(fy0(3)左导数: 0limxf右导数: ()函数 在 可导 函数 在 处的左右导数存在且相等.yfx0()yfx0(4)由导数定义，上述两个引例中： 0;tan()vttkfx例 1 求 y=x2在点 x=1 处的导数 .(1)f分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求 y ，再求，最后求 .x0limx解： y =(1+x )21 2=2x +(x )2， =2+xxy2)(= (2+x )=2. 0lixy0lix (1)f2. 导函数(导数):如果函数 在开区间 内的每点处都有导数，xfy),(ba此时对于每一个 ，都对应着一个确定的导数 ，从而构成了一),(

43、bax/xf个新的函数 , 称这个函数 为函数 在开区间内的导函数，/f )(/xf)(y简称导数，也可记作 ，即 /y/ xffx)(limli00在定义式中，设 ，则 ，当 趋近于 0 时， 趋近x0于 ，因此，导数的定义式可写成0x 5 10 330000/ )(lim)(lim)( 0xffxffxf xox 函数 在 处的导数 就是函数 在开区间)(fy00/xy)(fy),(ba上导数 在 处的函数值，即 奎 屯王 新 敞新 疆所以函数),(bax/x0/x0/在 处的导数也记作 奎 屯王 新 敞新 疆fy0 )(0/xf注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数

44、，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值 奎 屯王 新 敞新 疆它们之间的关系是函数 在点 处的导数就是导函数 在点 的函数值 奎 屯王 新 敞新 疆)(xfy0 )(/xf0可导: 如果函数 在开区间 内每一点都有导数，则称函数)(xfy,ba在开区间 内可导 奎 屯王 新 敞新 疆)(xfy),(ba三、求函数导数的一般方法：（1）求函数的改变量 奎 屯王 新 敞新 疆()(yfxfx（2）求平均变化率 奎 屯王 新 敞新 疆（3）取极限，得导数 奎 屯王 新 敞新 疆/y()fxy0lim注意：( x )2括号别忘了写.例 2 已知 ,求 y.x解：略 分析：例 1 中的

45、一点处的导数与这里的任意点处的导数的关系。例 3 求函数 的导数。()log(0,1)afx解：（1） ；)llog()aaxyx（2） ；1log(l1xaax（3) 00 0limli()limog()x xaaxx xy011logi()llnxaax e 2034特别地：当 时，有1(log)lnaxae1(ln)x点评：求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法不能忘掉.四 、 导数的几何意义由导数的定义可知:函数 在点 处的导数 在几何上表示曲线 在点 处的切线斜率，即 ,其中 是切线的倾角.如下图：如果 在点 可导，则曲线 在点（ ）处的切线)(xfy0 )(xfy)(,0xf方程为 )(/0x例 2 求曲线 在点（2，8）处的切线方程和法线方程。3y解略。五、 可导与连续的关系定理 2.1 如果函数 y=f(x)在点 x0处可导，那么函数 y=f(x)在点 x0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.设函数 在点 可导,即有: ()yfx0lim()xyfx由极限与无穷小的关系得: ()yf其中 为当 时的无穷小,上式两端同乘以 ,得0xx()yfx5510