1、专题10 等腰三角形探究,等腰(边)三角形是最常见的特殊三角形在各类测试卷中，常常以它为载体，与其他知识结合编制成综合性较强的问题， 是中考中必考的一个热点问题，往往在综合题中出现，涉及函数、方程与几何的综合运用，形式广泛，在中考命题中常考常新 一是将它与图形的轴对称、旋转等变换结合探究数形结合与分类讨论的问题；二是将它与反比例函数、二次函数等函数结合探究函数、方程思想的应用问题；三是将它与运动问题结合， 涉及三角形全等、三角形相似、特殊四边形等知识，探究等腰三角形的存在性问题 等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类,3在ABC中，ABC30，BAC70
2、.在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( ) A7条 B8条 C9条 D10条,C,4在ABC中，C是最小内角若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC的关于点B的伴侣分割线例如：如图1，ABC中，A90，C20，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且DBC20，则直线BD是ABC的关于点B的伴侣分割线 (1)如图2，ABC中，C20，ABC110.请在图中画出ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度； (2)ABC中，设B的度数为y，最小内角C的度数为x.试探
3、索y与x应满足什么要求时，ABC存在关于点B的伴侣分割线,由于等腰三角形边或角的不确定性，在没有明确哪两条边是腰、哪两个角是底角时，就需要分类，一般分类时可以按边分类,5如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把EBF沿EF折叠，点B落在B处，若CDB恰为等腰三角形，求DB的长 解析：若CDB恰为等腰三角形，判断以CD为腰或为底边分为三种情况：DBDC；CBCD；CBDB，针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解,解：若CDB恰为等腰三角形需分三种情况讨论：(1)若DBDC时，则DB16(易知点F在BC上且不与点C，B重合)
4、(2)当CBCD时，EBEB，CBCB.点E，C在BB的垂直平分线上，EC垂直平分BB，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去,(1)求AE和BE的长； (2)如图，将ABE绕点B顺时针旋转一个角(0180)，记旋转中的ABE为ABE，在旋转过程中，设AE所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q.是否存在这样的P，Q两点，使DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由,画出各种变化中的图形，以边或角进行分类，探究等腰三角形存在的可能,7(2017预测)如图，抛物线yax2bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴
5、，交x轴于点H.(1)求抛物线的表达式； (2)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN的面积 解析：第(2)题分别以点C，M，N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算,用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验,9如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)解
6、析：利用等腰三角形的性质，分别以长度为3的边为等腰三角形的底边和腰长进行分类 解：满足条件的所有等腰三角形如下图所示：,10在等腰RtABC中，C90，AC1，过点C作直线lAB，F是l上的一点，且ABAF，求点F到直线BC的距离,转化为图形，通过画图，找出存在等腰三角形的所有可能情况,11(2017预测)如图，已知抛物线yax2bxc(a0)经过A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴 (1)求抛物线的函数关系式； (2)点M是直线l上的动点，且MAC为等腰三角形，求出所有符合条件的点M的坐标,解析：由于MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：MAAC；M
7、AMC；ACMC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解,12(2017预测)如图1，抛物线yax26xc与x轴交于点A(5，0)，B(1，0)，与y轴交于点C(0，5)，点P是抛物线上的动点，连结PA，PC，PC与x轴交于点D.(1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2，APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由,解：(1)设抛物线解析式为ya(x5)(x1)，把C(0，5)代入得a515，解得a1，所以抛物线解析式为y(x5)(x1)，即yx26x5,1确定定点、动点、运动方向，即弄清楚三角形中，哪些点是动点，哪些点是定点，动点在哪条线上运动，运动方向是怎样的 2. 画出动态三角形形成等腰三角形的截图(“动”中取“静”)按照运动时间先后的顺序，往往存在三种情况 3在函数与数形结合的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程,根据等边三角形的性质表示出有关线段的长度、点的坐标等，通常转化为方程解决,
