1、教学设计32 全集与补集导入新课 问题：分别在整数范围和实数范围内解方程(x3)(x )0，其结果会相同吗？3若集合 Ax|0 x 2，x Z，B x|0x2，xR，则集合 A，B 相等吗？学生回答后，教师指明：在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题推进新课 Error!Error!用列举法表示下列集合：AError!；BError!；CError!.问题中三个集合相等吗？为什么？由此看，解方程时要注意什么？问题中，集合 Z，Q，R 分别含有所解方程所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义已知全集 U1,2,3，A1，写出全集中不属于集
2、合 A 的所有元素组成的集合 B.请给出补集的定义用 Venn 图表示 UA.活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围讨论结果：A2，B ，C .2， 13 2， 13，2不相等，因为三个集合中的元素不相同解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为 U.B2,3对于一个集合 A，全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集集合 A 相对于全集 U 的补集记为 UA，即 UA x|xU ，且 x
3、 A如图 1 所示，阴影表示 UA.图 1Error!思路 1例 1 试用集合 A，B 的交集、并集、补集分别表示图 2 中，四个部分所表示的集合.图 2活动：让学生明确全集 U 中的元素，回顾补集的定义解：部分：AB；部分：A( UB)；部分：B( UA)；部分： U(AB )或( UB)( UA)点评：常见结论： U(AB )( UA)( UB)； U(AB)( UA)( UB).变式训练1已知集合 U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5,7，B3,4,5，则( UA)( UB)等于( )A1,6 B4,5C2,3,4,5,7 D1,2,3,6,7分析：思路一：观察得( UA)( UB
4、)1,3,61,2,6,71,6思路二：AB 2,3,4,5,7 ，则( UA)( UB) U(AB)1,6答案：A2设集合 U1,2,3,4,5，A1,2,4，B2，则 A( UB)等于( )A1,2,3,4,5 B1,4C1,2,4 D3,5答案：B例 2 设全集为 R，Ax |x5，B x|x3求：(1)AB; (2)AB；(3) RA， RB; (4)( RA)( RB)；(5)( RA)( RB); (6) R(AB)；(7) R(AB) 并指出其中相等的集合活动：学生思考交集、并集、补集的运算，教师如果发现学生没有思路，那么提示学生用数轴来解决解：(1)在数轴上表示集合 A 和 B
5、如图 3(1) (1) (2)图 3ABx|x5x| x3x|3x5；(2)ABx|x 5x |x3R ；(3)在数轴上表示集合 RA 和 RB如图 3(2) RA x|x5， RBx|x 3；(4)( RA)( RB)x|x5x|x 3 ；(5)( RA)( RB)x|x5x|x 3 x|x 3，或 x5 ；(6) R(AB) x|x3，或 x5；(7) R(AB) .其中相等的集合是R(AB)( RA)( RB)；R(AB)( RA)( RB).变式训练1已知集合 Ax|3 x 8，求 RA.解： RA x|x3，或 x8 2设集合 Sx| x 是至少有一组对边平行的四边形，A x|x 是
6、平行四边形，B x|x 是菱形，Cx|x 是矩形 ，求 BC ， AB， SA.解：BCx |正方形， ABx|x 是邻边不相等的平行四边形 ， SAx|x 是梯形3已知全集 IR，集合 Ax|x 2ax12b0 ，Bx| x2ax b0，且满足( IA)B 2，( IB)A4 ，求实数 a，b 的值答案：a ，b .87 1274设全集 UR，Ax| x 2 ，B 3,4,5,6，则( UA)B 等于( )3A4 B4,5,6C2,3,4 D1,2,3,4分析：UR，Ax| x2 ， UAx|x2 而 4,5,6 都大于 2 ，( UA)3 3 3B4,5,6答案：B思路 2例 1 已知全集
7、 UR，Ax|2x4，Bx|3x3 ，求：(1) UA， UB；(2)( UA)( UB)， U(AB) ，由此你发现了什么结论？(3)( UA)( UB)， U(AB) ，由此你发现了什么结论？活动：学生回想补集的含义，教师指导学生利用数轴来解决依据补集的含义，借助于数轴求得在数轴上表示集合 A，B.解：如图 4 所示，图 4(1)由图 4，得 UAx|x 2 ，或 x4， UBx|x 3，或 x3(2)由图 4，得( UA)( UB)x| x2，或 x4 x|x3，或 x3 x|x2，或x3 A Bx| 2x 4 x|3x3 x|2 x3， U(AB) Ux|2x3 x|x2，或 x3得出
8、结论 U(AB )( UA)( UB)(3)由图 4，得( UA)( UB)x| x2，或 x4 x|x3，或 x3 x|x3，或x4 ABx| 2x 4x|3x3x|3x4， U(AB) Ux|3x4 x|x3，或 x4得出结论 U(AB )( UA)( UB).变式训练1已知集合 U1,2,3,4,5,6,7，A2,5，B4,5，则( UA)B_.答案：42设集合 Ix |x|3，xZ，A1,2，B2，1，2，则 A( IB)等于( )A1 B1,2 C 2 D 0,1,2答案：D例 2 设全集 U x|x20，xN，x 是质数，A( UB)3,5 ，( UA)B7,19 ，(UA)( U
9、B)2,17，求集合 A，B.活动：学生回顾集合的运算的含义，明确全集中的元素利用列举法表示全集 U，根据题中所给的条件，把集合中的元素填入相应的 Venn 图中即可求集合 A，B 的关键是确定它们的元素，由于全集是 U，则集合 A，B 中的元素均属于全集 U，由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多，可借助 Venn 图来解决 .图 5解：U2,3,5,7,11,13,17,19，由题意借助 Venn 图，如图 5 所示，A3,5,11,13，B 7,11,13,19点评：本题主要考查集合的运算、Venn 图以及推理能力借助 Venn 图分析集合的运算问题，使问题简捷地获得解决，将本来抽
10、象的集合问题直观形象地表现出来，这正体现了数形结合思想的优越性.变式训练1设 I 为全集，M，N，P 都是它的子集，则图 6 中阴影部分表示的集合是( )AM( IN)PBM(NP)C( IM)( IN)PDMN(NP)分析：思路一：阴影部分在集合 M 内部，排除 C；阴影部分不在集合 N 内，排除B，D.思路二：阴影部分在集合 M 内部，即是 M 的子集，又阴影部分在 P 内不在集合 N 内即在( IN)P 内，所以阴影部分表示的集合是 M( IN) P答案：A2设全集 U1,2,3,4,5,6,7,8,9，( UA)B 3,7，( UB)A2,8，( UA)( UB)1,5,6 ，则集合
11、A_，B_.分析：借助 Venn 图，如图 7，把相关运算的结果表示出来，自然地就得出集合 A，B.图 7答案：2,4,8,9 3,4,7,9Error!1设全集 UR，Ax|2 x 10，试用文字语言表述 UA 的意义解：A x|2x10即不等式 2x10 的解集， UA 中元素均不能使 2x10 成立，即 UA 中元素应当满足 2x10. UA 即不等式 2x10 的解集2如图 8 所示，U 是全集， M，P，S 是 U 的三个子集，则阴影部分表示的集合是_图 8分析：观察图可以看出，阴影部分满足两个条件：一是不在集合 S 内；二是在集合M，P 的公共部分内因此阴影部分表示的集合是集合 S
12、 的补集与集合 M，P 的交集的交集，即( US)(MP)答案：( US)(MP)3设集合 A，B 都是 U1,2,3,4的子集，已知( UA)( UB)2 ，( UA)B1 ，则A 等于( )A1,2 B2,3C3,4 D1,4分析：如图 9 所示图 9由于( UA)( UB)2 ，( UA)B1，则有 UA1,2 A3,4 答案：C4已知集合 I1,2,3,4，A1，B2,4，则 A( IB)等于( )A1 B1,3C3 D1,2,3分析： IB1,3，A( IB)11,31,3答案：BError!问题：某班有学生 50 人，解甲、乙两道数学题，已知解对甲题者有 34 人，解对乙题者有 2
13、8 人，两题均解对者有 20 人，问：(1)至少解对其中一题的有多少人？(2)两题均未解对的有多少人？解：设全集为 U，A只解对甲题的学生，B 只解对乙题的学生，C甲、乙两题都解对的学生，则 AC解对甲题的学生，BC解对乙题的学生，ABC 至少解对一题的学生， U(ABC)两题均未解对的学生由已知，AC 有 34 个人，C 有 20 个人，从而知 A 有 14 个人；B C 有 28 个人，C有 20 个人，所以 B 有 8 个人因此 ABC 有 N114 82042(人)， U(ABC )有N250 428(人)所以至少解对其中一题的有 42 个人，两题均未解对的有 8 个人Error!本节
14、课学习了：全集和补集的概念和求法常借助数轴或 Venn 图进行集合的补集运算Error!习题 13 A 组 5，B 组 2.设 计 感 想本节教学设计注重渗透数形结合的思想方法，因此在教学过程中要重点指导学生借助数轴或 Venn 图进行集合的补集运算由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合，本节对此也予以体现，可以利用课余时间学习有关解不等式的知识备 课 资 料备选例题【例 1】 已知集合 Ay|yx 24x 6，xR，yN ，B y|yx 2 2x7，xR ，yN，求 AB，并分别用描述法、列举法表示它解：yx 24x 6( x2) 222，Ay|y 2，y N又yx 22x 7(
15、x1) 288，By|y 8，y N 故 ABy|2y 8，yN 2,3,4,5,6,7,8【例 2】 设集合 S(x，y)|xy0，T (x，y )|x0，且 y0，则( )ASTS BSTTCSTS DST 分析：S(x，y)|xy0(x ，y)|x0 且 y0，或 x0 且 y0 ，则 T S，所以STS.答案：A【例 3】 某城镇有 1 000 户居民，其中有 819 户有彩电，有 682 户有空调，有 535 户彩电和空调都有，则彩电和空调至少有一种的有_户分析：设这 1 000 户居民组成集合 U，其中有彩电的组成集合 A，有空调的组成集合B，如图 10 所示有彩电无空调的有 81
16、9535284 户；有空调无彩电的有682535147 户，因此二者至少有一种的有 284147535966 户图 10答案：966差集与补集有两个集合 A，B，如果集合 C 是由所有属于 A 但不属于 B 的元素组成的集合，那么C 就叫作 A 与 B 的差集，记作 AB( 或 ABG()例如，A a， b，c，d，B c，d，e ，f，CABa，b 也可以用 Venn 图表示，如图 11 所示( 阴影部分表示差集)图 11 图 12特殊情况，如果集合 B 是集合 I 的子集，我们把 I 看作全集，那么 I 与 B 的差集IB ，叫作 B 在 I 中的补集，记作 .B例如，I1,2,3,4,5，B 1,2,3， IB4,5B也可以用韦恩图表示，如图 12 所示(阴影部分表示补集) 从集合的观点来看，非负整数的减法运算，就是已知两个不相交集合的并集的基数，以及其中一个集合的基数，求另一个集合的基数，也可以看作是求集合 I 与它的子集 B 的差集的基数
