1、1.1 旋转变换教学目标: 一、知识与技能：通过实例认识变换、旋转、像、列向量、线性变换、矩阵、恒等变换、中心对称变换等概念；以映射和变换的观点，认识矩阵一列向量乘法的意义，并能初步运用矩阵一列向量的乘法法则；掌握放置变换的表达式，能进行点坐标的变换运算，能将简单变换用其所对应的矩阵表示。二、方法与过程经历数学实验操作和问题探究，发现平面直角坐标系上的放置变换表达式，由特殊到一般引入线性变换的表达式。三、情感、态度与价值观通过数学实验中图形的变换，感受数学的奇异美，体会数学充满探索性；在学习活动中学会合作、学会发现知识，获得数学的解决问题的方法，使学生体验到成功的乐趣；感觉数学符号美，领会数学
2、公式的美学意义。教学重点:旋转变换表达式的推导和应用教学难点：数学实验的分析；矩阵与列向量乘法的意义教学过程一、实验操作：观察图 1-1 中的图形，其中右边的图形是由左边的图形绕原点沿逆时针方向旋转 得到的。03试自己摹仿画出图书馆-1 中的图形。先画出左边的图形。这个图形包括：与 轴平行的直线和与x轴平行的直线，以原点为中心的圆，曲线图形。 图 11y先将左边的平行直线画好，组成网格，再将圆画好再根据曲线每一部分在网格中的位置画出曲线图形。这也是实际画图的人员经常采用的方法：先画格子，再以格子为背景画出图形。右边的图形怎么画？需要将左边的图形作旋转。二、问题探究图 11 是计算机画出来的，很
3、多计算机软件都可以根据图形的方程画出图形。如果想利用计算机软件画出图 11 中的曲线图形，需要知道以下信息：曲线由两部分组成，两部的参数方程分别是：；2,05sin34.1ttyx 2,05sin3ttyx对于区间 内每一个值 ，代入参数方程就得到一点。让 取遍曲线 内所有2,0t t,的值，得到的所有的点就组成一个曲线图形，可以让计算机软件根据为个方程画出它的图形。怎样将为个曲线图形旋转 ？参数 的每一个值确定旋转前的曲线上的一个点，需要由03t这个点的坐标算出它旋转后的坐标，计算机可以根据所有这些点旋转后的坐标画出旋转后的图形。 三、新课讲解：设平面上建立了直角坐标如图 12，所有的点绕原
4、点沿逆时针方向同一个角 ，求点（ ）经过旋转之后到达的点 （ ）Pyx, P,yx这是研究平面上的二维向量空间，所以应设平面上建立了直角坐标系这个前提条件，根据前后图形性质的不变性，运用化归思想把问题转化为寻找旋转前后图形对应点的关系，即找出旋转前后对应点的坐标关系：将 点人位置用向量 和方POP向角 来表示为 抓住旋转前后对应点的长度 不sincoryx r变，方向角增加 ，利用三角函数的和角公式，用整体代入法寻找对 图 12应点的坐标关系为 cossincosinicos)sin( ico yxrtryrx因此 inyx平面上绕原点旋转 可以看成一个变换，称为旋转变换，它建立了平面上的第一
5、个点到 的对应关系。P用字母 T 来表示这个旋转变换，为了表示点 对应 ，写成 T（ ） ，称 是 在PPP变换 T 作用下的像，并且用箭头来表示 与 的这种关系；变换 T： 或变换 T： T（ ）P在平面上建立了直角坐标系之后，每个点 由坐标（ ）表示，当然点 T（ ）yx, 也用坐标（ ）表示，因此，变换 T 也建立了这两个点的坐标之间的对应变换 T：（,yx） （ ）,在式中左边的 组成点 的坐标（ ） ，可以看在 向量 的坐标排成一列,yxP,yxOP的形式，称为列向量，可以利用向量记号将关系式的两个等式全成一个向量等式yx cossiniyx表示左右两边向量的分量对应相等。为了叙述方
6、便，我们有时还用一个字母表示一个列向量。比如记 ，1yxX，用 表示它们的和， 表示实数 与 的积。2yxX12X1X1表达式的右边的两个分量，当 固定不变时， ， 都sincoyxcosiyx是自变量 的常数项为 0 的一次函数，它们的自变量 是 的坐标，可以看作 的yx, ,POP坐标，用列向量 表示。将这两个一次函数的自变量 分离出去之后，让 4 个系数排成 yx,2 行 2 列的数表 的形式，表达式就成为 cossini ycossiniyx将式右边 中的每一行的系数与 中的字母 分别对应相乘再相cossini yxyx,加，就还原成表达式一般地，如果变换 T：（ ） （ ）变换前后坐
7、标之间的关系具有如下的形式：yx,x也就是 都是 的常数项为 0 的一次函数，就将这样的变换 T 称作线dycxba ,yx,性变换。此时可以将变换表达式写成 yxdcbayx的形式，不同的线性变换的差别仅仅在于一次函数表达式中的 4 个系数 ， ， ， 的abcd不同。因此，这 4 个数排成的 2 行 2 列的数表 决定 了平面上的线性变换。我们将dcba这样由 4 个数排成的 2 行 2 列的数表称为 2 行 2 列的矩阵，也称为 22 矩阵，表达式所描述的变换完全由矩阵 决定，我们称它为这个变换的矩阵。而称这个变换是由这个dcba矩阵表示的变换。四、例题解析例 1、设变换 T 将平面上每
8、个点绕原点旋转 ，求以下点的像： 2A（0,0） ， B（2,1） ， C（ 0，1） ， D（1，2）解法一：首先要明白变换 T 作用下像的概念，变换 T 建立了两点间的坐标对应关系T：（ ） （ ）再根据旋转变换公式 得到旋转变换前后yx,yxcossiniyxy对应点的坐标关系 ，将点 A，B，C，D 的坐标分别代入可算出它们的像的坐标分xy别为 A（0,0） A （0,0） ， B（2,1） B （1,2） C（0，1） C （1，0） ， D （1，2） D （2,1） 解法二：由旋转变换的表达式可知：绕原点旋转 的变换是线性变换，它的矩阵是cossini01 010121 121例
9、 2 矩阵 表示什么变换？10解法一：这个矩阵表示的变换 T： （ ） （ ）满足条件Pyx,yx ，即 于是 ， 的坐标相同，是同一点。变换 T 将每个点yx10yx 变到自己，也就是使每个点保持不动。P解法二：将矩阵 A 与绕原点旋转 的变换矩阵 相比较，发现10cossini矩阵 A 就是 0 的情形，因此 A 表示的变换是绕原点旋转角为 0 的变换，所有的点在此变换下都不支。将平面上所有的点都保持不支的变换称为恒等变换。例 3、将直角坐标平面上所有的点 （ ）变到 关于原点的中心对称点 （Pyx, P） ，这样的变换称为中心对称变换。试求点 （ ）的中心对称点 的坐标（,yx , ）解法一： 因此中心对称变换是线性变换，它的矩阵为yx 10解法二：中心对称就是绕对称中心旋转角为 ，由旋转矩阵为cossini10五、小结1、一般地，如果变换 T：（ ） （ ）变换前后坐标之间的关系具有如下的yx,yx形式： 也就是 都是 的常数项为 0 的一次函数，就将这样的变换 Tdycxba ,称作线性变换。此时可以将变换表达式写成 ydcbay2、平面上绕原点旋转 可以看成一个变换，称为旋转变换，它建立了平面上的第一个点到 的对应关系 PPyxcossiniyx六、课后作业：课本 8 页 习题 1，2，3 ，4 ，5教学反思：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
