1、高二数学 学案 编号 1函数图像的切线问题要点梳理归纳1.求曲线 yf(x)的切线方程的三种类型及其方法(1)已知切点 P(x0，f(x 0)，求 yf(x)在点 P 处的切线方程：切线方程为 yf(x 0)f(x 0)(xx 0).(2)已知切线的斜率为 k，求 yf(x)的切线方程：设切点为 P(x0，y 0)，通过方程 kf(x 0)解得 x0，再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求 yf(x)的切线方程：设切点为 P(x0，y 0)，利用导数将切线方程表示为 yf(x 0)f(x 0)(xx 0)，再将A(s,t)代入求出 x0.2两个函数图像的公切线函数
2、y=f(x)与函数 y=g(x) 存在公切线，若切点为同一点 P(x0，y 0)，则有 Error!若切点分别为(x 1,f(x1),(x2,g(x2),则有 . 2121 )()(xgfxgf 题型分类解析题型一 已知切线经过的点求切线方程例 1.求过点 与已知曲线 相切的切线方程.(2,)P3:Syx解：点 不在曲线 上.设切点的坐标 ，则 ，函数的导数为 ，0,x300 23yx切线的斜率为 ， ，02xky000()(切 线 方 程 为点 在切线上， ，又 ，二者联(2,)P200(3)(x3yx立可得 相应的斜率为 或001,3,x或 k96高二数学 学案 编号 2切线方程为 或 .
3、2y963(2)x例 2. 设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为2fxgyg1,，则曲线 在点 处的切线方程为_21yxy1,f解析：由切线过 可得： ，所以 ，另一方面，, 324f，且 ，所以 ，从而切线方程为：g2fxgx1g414yy例 3. 已知直线 与曲线 切于点 ，则 的值为_kx3yxab(,3)b解析：代入 可得： ， ，(,3)2 2f所以有 ，解得1fab13b题型二 已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）例 4.已知函数 ，则：ln2fxx（1）在曲线 上是否存在一点，在该点处的切线与直线 平行420xy（2）在曲线 上是否存在一点，在该点处的切线与直线 垂
4、直fx 3解：设切点坐标为 由切线与 平行可得：0,y012fx420xy001242fx0ln1yf切线方程为：1ln4lyxx高二数学 学案 编号 3（2）设切点坐标 ，直线 的斜率为0,xy012fx30xy1而00123f0,不在定义域中，舍去03x不存在一点，使得该点处的切线与直线 垂直30xy例 5.函数 上一点 处的切线方程为 ，2lnfxabx,2Pf 32lnyx求 的值,ab思路：本题中求 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解， 在直线, P上， ，即 ，得到32lnyx32ln2l4y2=ln4f的一个等量关系，在从切线斜率中得到 的导数值，进而得到 的另一个等量,abx,
5、ab关系，从而求出 ,ab解： 在 上，P32lnyx23ln2l4f2l4f又因为 处的切线斜率为 3 2afxb, 24afbln4l2132ab例 6.设函数 ，若曲线 的斜率最小的切线与直3910fxaxyfx线 平行，求 的值126y高二数学 学案 编号 4思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为 ，进而可得导函数12的最小值为 ，便可求出 的值12a解： 2 22139393993fxxaxa直线 的斜率为 ，依题意可得： 2min1ffa6xy121933a03a题型三 公切线问题例 7.若存在过点(1,0)的直线与曲线 和 都相切,则 等于( )3yx21594
6、xaA. 或 B. 或 C. 或 D. 或125641247674思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线 含有参数，所以考虑21594yax先从常系数的曲线 入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线3yx求出 的值.设过 的直线与曲线 切于点 ,切线方21594yaxa1,03yx30,x程为 ，即 ，因为 在切线上，所以解得：3200x230yx1,0或 ，即切点坐标为 或 .当切点 时，由 与0x0,7,8,0y相切可得21594yax高二数学 学案 编号 5，同理，切点为 解得2152549064aa 327,81a答案：A小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链
7、接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系（2）在利用切线与 求 的过程中，由于曲线 为抛21594yaxa21594yax物线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的 来求解，减少了运算量.通过例 7，例 8 可以体会到导数与解析几何之间的联系：0一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）例 8.若曲线 21xyC： 与曲线 xaeyC：2存在公切线，则 a的最值情况为（ ）A最大值为 28e B最大值为
8、4 C最小值为 28e D最小值为 24e解析：设公切线与曲线 切于点 ，与曲线 切于点 ，由 可121,x22,xaxya得： ，所以有 ，所以2211xxae2112xae，即 ，设 ，则 .可知24xae24xe4xf 4xfe在 单调递增，在 单调递减，所以f1,max2f高二数学 学案 编号 62422018161412108642246830 25 20 15 10 5 5 10 15 20 25 30aex2422018161412108642246830 25 20 15 10 5 5 10 15 20 25 30aexx2la12108642246810122 1 10 1
9、1 20O题型四 切线方程的应用例 9.已知直线 与曲线 有公共点，则 的最大值为 .ykxlnyxk解：根据题意画出右图，由图可知，当直线和曲线相切时， 取得最大值.设切点坐标为 ，则 ， ， 切线方程为0,0lyxx， 原点在切线上， ， 斜率的最大值为01ln()yxx0lne.e例 10.曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）xye2,A. B. C. D. 2e224e2e思路： 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出xfe切线方程 所以切线方程为： 即 ，22yex220ey与两坐标轴的交点坐标为 21,021S例 11.一点 在曲线 上移动，设
10、点 处切线的倾斜角为 ，则角 的取P3yxP值范围是( )高二数学 学案 编号 7A. B. C. D. 0,230,243,43,24思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来. ，对于曲线 1yx上任意一点 ，斜率的范围即为导函数的值域： ，所以倾斜角的P2=31,yx范围是 .答案：B30,24例 12.已知函数 ，若过点 存在 3 条直线与曲线 相切，3fxx1,Pt yfx求 的取值范围t思路：由于并不知道 3 条切线中是否存在以 为切点的切线，所以考虑先设切点，切线斜率为 ，则满足 ，所以切线方程为0,xyk300 26yxkf，即00kx，代入 化简可得： ，所320
11、263yx1,Pt32046tx以若存在 3 条切线，则等价于方程 有三个解，即 与32046txyt有三个不同交点，数形结合即可解决24gxx解：设切点坐标 ，切线斜率为 ，则有：0,yk切线方程为：30 206yxkf32000263yxxx因为切线过 ，所以将 代入直线方程可得：1,Pt1,t3200023txx6x高二数学 学案 编号 82333200006246xxxx所以问题等价于方程 ，令46t32g即直线 与 有三个不同交点yt32gxx 211gx令 解得 所以 在 单调递减，在 单调递0xgx,010,1增1, 3gx极 大 值 极 小 值所以若有三个交点，则 31t所以当
12、 时，过点 存在 3 条直线与曲线 相切3,t,Pt yfx例 13. 已知曲线 C:x2=y，P 为曲线 C 上横坐标为 的点，过 P 作斜率为 k(k0)的直线交1C 于另一点 Q，交 x 轴于 M，过点 Q 且与 PQ 垂直的直线与 C 交于另一点 N，问是否存在实数 k，使得直线 MN 与曲线 C 相切？若存在，求出 K 的值，若不存在，说明理由.思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析.点 ，则可求出1,，从而与抛物线方程联立可解得 ，以及 点坐标，:1Pykx 2kM从而可写出 的方程，再与抛物线联立得到 点坐标.如果从 坐标入手得到QNN,N方程，再根据相切 求 ，方法可以
13、但计算量较大.此时可以着眼于 为切点，M0k考虑抛物线 本身也可视为函数 ，从而可以 为入手点先求出切线，再利2xy2yx用切线过 代入 点坐标求 ，计算量会相对小些.k解：由 在抛物线上，且 的横坐标为 1 可解得 PP,P高二数学 学案 编号 9设 化简可得： :1PQykx1ykx1,0kM消去 ： 2xy2012,1k2,1k设直线 即2:QNyx21ykxk联立方程：21ykxk210xk11QNNkxk21,k由 可得： 2yxyx切线 的斜率 MN 1|2Nxkk21:yxkkk代入 得：,0高二数学 学案 编号 102111kkk, 20k52小炼有话说：（1）如果曲线的方程可
14、以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部分），则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方程计算 简便（2）本题在求 点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知N的横坐标求出 的横坐标.这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已Q知一交点求另一交点的问题.例 14.设函数 f(x)x 32ax 2bxa，g(x)x 23x2，其中 xR，a、b 为常数，已知曲线 yf(x)与 yg(x)在点(2,0)处有相同的切线 l.(1)求 a、b 的值，并写出切线 l 的方程；(2)若方程 f(x)g(x)mx 有三个互不相同的实根 0、x
15、 1、x 2，其中 x10，即 m .14又对任意的 xx 1，x 2，f(x)g(x)0，x 1x22m0，故 00，则 f(x)g(x)mxx(xx 1)(xx 2)0，又 f(x1)g(x 1)mx 10，所以函数 f(x)g(x)mx 在 xx 1，x 2的最大值为 0.于是当 m0 时，对任意的 xx 1，x 2，f(x)g(x)m(x1)恒成立14综上，m 的取值范围是 .(14， 0)例 15.如图 31，有一正方形钢板 ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线 OC 是以直线 AD 为对称轴，以线段 AD 的中点 O 为顶点的抛物线的一部分工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩
16、余的部分成为一个直角梯形若正方形的边长为 2 米，问如何画切割线EF，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值解法一：以 O 为原点，直线 AD 为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意，可设抛物线弧 OC 的方程为y ax2(0 x2)，点 C 的坐标为(2,1)，2 2a1， a ，14故边缘线 OC 的方程为 y x2(0 x2)，14要使梯形 ABEF 的面积最大，则 EF 所在的直线必与抛物线弧 OC 相切，设切点坐标为 P (0t2)，(t，14t2) y x，直线 EF 的方程可表示为 y t2 (x t)，12 14 t2即 y tx t2.由此可求得12 14E ， F
17、 .| AF| 1 t2，(2， t14t2) (0， 14t2) | 14t2 1 | 14|BE| t2 t1.|t14t2 1 | 14设梯形 ABEF 的面积为 S(t)，则高二数学 学案 编号 12S(t) (t1) 2 ，当 t1 时， S(t) ，12 52 52 52故 S(t)的最大值为 2.5，此时| AF|0.75，| BE|1.75.答：当 AF0.75 m， BE1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m2.解法二：以 A 为原点，直线 AD 为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线的方程为 y ax21(0 x2)点 C 的坐
18、标为(2,2)，2 2a12， a ，14故边缘线 OC 的方程为 y x21(0 x2)14要使梯形 ABEF 的面积最大，则 EF 所在的直线必与抛物线弧 OC 相切，设切点坐标为 P(0t2)，(t，14t2 1) y x，直线 EF 的方程可表示为 y t21 t(x t)，12 14 12即 y tx t21，12 14由此可求得 E ， F .(2， t14t2 1) (0， 14t2 1)| AF|1 t2，| BE| t2 t1，14 14设梯形 ABEF 的面积为 S(t)，则S(t) |AB|(|AF| BE|)121 t2 t2 t214 ( 14t2 t 1) 12 (t1) 2 .12 52 52当 t1 时， S(t) ，52故 S(t)的最大值为 2.5.此时| AF|0.75，| BE|1.75.答：当 AF0.75 m， BE1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m2.【点评】 与切线有关的多边形的最值问题，首先应该面积建立关于动点 P 的函数，再选择相关的方法求解所得函数的最值，复杂函数可以用求导进行研究
