1、三角函数公式及证明基本定义1.任意角的三角函数值：在此单位圆中，弧 AB 的长度等于 ；B 点的横坐标 ，纵坐标 ；cosxsiny（由 三角形 OBC 面积弧形 OAB 的面积三角形 OMA 的面积 可得：（ ） ）atnsin202.正切： cosinta基本定理1.勾股定理： 1cossin221.正弦定理： = = = 2R （R 为三角形外接圆半径）AaiBbCin2.余弦定理：a =b +c -2bc 22Acosbca2cos3.诱导公试: k2cottansi奇变偶不变，符号看相线4.正余弦和差公式: sincsi)si( occo推导结论1. 基本结论 2sin1)cos(s
2、in2ta2. 正切和差公式：tan1t sincosi)cos(itan3.二倍角公式（包含万能公式）： 222tan1cossincosin2i 2222 tan1cossiiniico 2tan1sitan22tan1cossinc24.半角公式：（符号的选择由 所在的象限确定）22cos1sin2cos1in22sinco1cocs2sinco12icosnsinsc2oic1stan2sinco)2sin(cosin1 5.积化和差公式： )sin()si(2cosin)sin()si(21incos 1 coc6.和差化积公式： 2cossin2isn 2sinc2sin co i
3、oc7.三角形面积公式S = a = ab = bc = ac21hCsin21AsiBsin= Rbc4=2R2AsinBsi= = =ACBasin2Bbsin2CBAcsin2=pr= (海伦公式，证明见下文 )()(cpp(其中 , r 为三角形内切圆半径) 21ba定理结论的证明1. 勾股定理的证明：本证明选自几何原本(欧几里得)第 I 卷 命题 47.2. 正弦定理的证明：做三角形外接圆进行证明；需利用结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周角为直角；同弧所对圆周角相等的证明：本证明选自几何原本(欧几里得)第 III 卷 命题 20.直径所对圆周角为直角的证明：本证明选自几何原本(
4、欧几里得)第 III 卷 命题 31.3. 余弦定理的证明：本证明选自几何原本(欧几里得)第 II 卷 命题 12,13.4. 诱导公式的证明：同理可证 cos)2sin()2sin()23sin( incococo本证明选自人教版高中数学教材.5.正余弦和差公式的证明:可得 的结论)(sin)si()sin(本证明选自人教版高中数学教材.5. 海伦公式的证明:三角函数基础一、 诱导公式（ ） 。 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。kZ（一） sin(2)sincos(2)cosktan(2)tankcotcot（二） si()sics()csta()tactct（三） sin()sicos(
5、)stan()tacotct（四） si()sics()costa()tancot()cot（五） sin2sincos(2)costan(2)tanct()ct（六）sis2cs()si2ta()cot2cot()tan（七）sicoscs()sinta()ctct()ta2（八）3sincs3s()si23ta()cot2cot()ta（九）sicos2s()sinta()ct3ct()tan只需抓住以下三个特点，即可由左边写出右边：（1） 诱导公式右边都是角 的三角函数；（2） 判断函数名是否改变。判断依据：括号内与 相加减的角，若为 的偶数倍，2则函数名不变；若为 的奇数倍，则正变余，
6、余变正（只能弦、切、割内部2变换。如，只能正弦变余弦，余弦变正弦，不能由弦变切或割） ；（3） 判断正、负号。判断依据：将 看作锐角时，左边的函数值该取什么符号（正号或负号） ，就在右边的函数名前加上同样的符号。二、 正弦定理和余弦定理都是描述 边角关系的非常重要的定理。ABC如图所示：任意 中， , , 所对的边分别为 ，则AB,abc正弦定理： （ 为 外接圆半径） 2sinisinabcR余弦定理： 推论：2222ocscabC2222coscosbcaBb正弦定理与余弦定理是等价的，具体参见文献：对正弦定理、余弦定理一节的两点建议三、 求任意 面积的两种方法：AB1 1sinsisin
7、22ABCSabcAaB由右图容易看出此结论。2利用海伦公式。海伦公式：设任意 三边长分别为 ，半周长BC,bc，则有1()2pabc()ABCSpp四、 辅助角公式，其中 ， 的象限由 的符号确2sincossin()ababtanb,ab定。五、 弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。1 弧度记作： .1rd1 当圆心角为圆周时，所对的弧长 ，故2Lr2.Lr即 360.o一个圆周的角度 角度制；360o一个圆周的角度 弧度制。使用弧度制的好处是，用弧度制表示的角度与实数一一对应。角 的弧度数的绝对值： |.lr2. 弧长： |lr扇形面积： 21lSlr3. 10.7
8、4538oradad.18oo六、 任意角的三角函数及其符号规律1 任意角的三角函数：设 是一个任意大小的角，角 的终边上非原点的任意一点的坐标是 ， 与原点 的距离是 ，则可定义角 的三角函P(,)xyP(0,)O(0)r数：正弦： 余弦： sinyrcosxr正切： 余切：taxty正割： 余割：1secos1cssinr2. 三角函数符号规律。口诀：“函弦切余”说明：（1）符号规律见右图，第一象限角的各三角函数值均取正，第二象限只有正弦函数（及其倒数余割）取正，第三象限只有正、余切函数取正，第四象限只有余弦函数（及其倒数正割）取正。归纳起来，由第一象限至第四象限，取正的函数分别为“函弦切
9、余” 。（2）由三角函数的定义及个象限内点的坐标的符号即可确定各三角函数在各象限的符号。七、 三角函数重要公式和差的三角函数 积化和差公式sin()sicosincotantta1倍角、半角的三角函数1sincosin()si()2cscs()cos()1in2证明：si()sicosin+，得in()i()2ico1scosns()-得：i()i()cincsss()2另两式证明方法相同。和差化积公式sin2icos2222concs1i2tata12coscosin si21c将上面两式左右两边分别相除，得： 2tano1cossin2co1cossintan=2i1cos（证明： ）i2
10、nt icosissin2sincos2i万能公式2tansi1cot2stan三倍角公式 3si3i4sin3coco2tatn1cos2cos2ini证明：sin()sicosin+，得i()i()2ico令 ，则 ，代人式，得2sinsinco sincos.2另三式证明方法相同。八、 附件诱导公式 目录诱导公式诱导公式记忆口诀同角三角函数基本关系同角三角函数关系六角形记忆法两角和差公式倍角公式半角公式万能公式万能公式推导三倍角公式三倍角公式推导三倍角公式联想记忆和差化积公式积化和差公式和差化积公式推导诱导公式诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角
11、函数的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：设 为任意角，+ 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式三：任意角 与 - 的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式四：利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式五：利用公式一和公式三可以得到 2- 与 的三角函数值之间的关系：sin（2）sincos（2）costan（2）tancot（
12、2）cot公式六：/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系：sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tan(以上 kz) 诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于 k/2(kz)的个三角函数值，当 k 是偶数时，得到 的同名函数值，即函数名不改变；当 k 是奇数时，得到 相应的余函数值，即
13、 sincos;cossin;tancot,cottan. （奇变偶不变）然后在前面加上把 看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）例如：sin(2)sin(4/2)，k4 为偶数，所以取 sin。当 是锐角时，2(270，360)，sin(2)0，符号为“”。所以 sin(2)sin上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把 视为锐角时，角 k360+（kz），-、180，360- 所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦” 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一
14、个角的四种三角函数值都是“”； 第二象限内只有正弦是“”，其余全部是“”； 第三象限内切函数是“”，弦函数是“”； 第四象限内只有余弦是“”，其余全部是“” 其他三角函数知识：同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系:tan cot1sin csc1cos sec1商的关系：sin/costansec/csccos/sincotcsc/sec平方关系：sin2()cos2()11tan2()sec2()1cot2()csc2()同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1“的正六边形为模型。（1）倒数关系：对角线
15、上两个函数互为倒数；（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin（）sincoscossinsin（）sincoscossincos（）coscossinsincos（）coscossinsintantantan（）1tan tantantantan（）1tan tan 倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin22sincosco
16、s2cos2()sin2()2cos2()112sin2()2tantan21tan2()半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）1cossin2(/2)21coscos2(/2)21costan2(/2)1cos万能公式万能公式2tan(/2)sin1tan2(/2)1tan2(/2)cos1tan2(/2)2tan(/2)tan1tan2(/2)万能公式推导附推导：sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2()*，（因为 cos2()+sin2()=1）再把*分式上下同除 cos2()，可得 sin2tan2/(1tan2()然后用 /2 代替 即可。同理
17、可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin33sin4sin3()cos34cos3()3cos3tantan3()tan313tan2()三倍角公式推导附推导：tan3sin3/cos3(sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin)(2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos)上下同除以 cos3()，得：tan3(3tantan3()/(1-3tan2()sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincos2()(12sin2()sin2
18、sin2sin3()sin2sin2()3sin4sin3()cos3cos(2)cos2cossin2sin(2cos2()1)cos2cossin2()2cos3()cos(2cos2cos3()4cos3()3cos即sin33sin4sin3()cos34cos3()3cos三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3 元 减 4 元 3 角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）余弦三倍角：4 元 3 角 减 3 元（减完之后还有“余”）注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。和差化积公式三角函数的和差化积公式 sinsin2sin-
19、cos-2 2 sinsin2cos-sin-2 2 coscos2cos-cos- 2 2 coscos2sin-sin-2 2积化和差公式三角函数的积化和差公式sin cos0.5sin（）sin（）cos sin0.5sin（）sin（）cos cos0.5cos（）cos（）sin sin 0.5cos（）cos（）和差化积公式推导附推导：首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b
20、)+sin(a-b)/2同理,若把两式相减,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2c
21、osa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)
