1、三角函数公式推导和应用大全三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。三角函数看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在中文名三角函数公式 外文名Formulas of trigonometric functions 应用学科数学、物理、地理、天文
2、等 适用领域范围几何，代数变换，数学、物理、地理、天文等 适用领域范围高考复习 目录1 定义式 2 函数关系 3 诱导公式 4 基本公式 和差角公式 和差化积 积化和差 倍角公式 半角公式 万能公式 辅助角公式 5 三角形定理 正弦定理 余弦定理 三角函数公式定义式编辑锐角三角函数 任意角三角函数图形直角三角形 任意角三角函数 正弦（sin）余弦（cos）正切（tan或 tg）余切（cot或 ctg）正割（sec）余割（csc）表格参考资料来源：现代汉语词典三角函数公式函数关系编辑倒数关系：；商数关系：；平方关系：；三角函数公式诱导公式编辑公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等
3、：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限即形如（2k+1）90，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如 2k90，则函数名称不变。诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：k/2a(kz) 的三角函数值(1) 当 k 为偶数时，等于 的同名三角函数值，前面加上一个把 看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当 k 为奇数时，等于 的异名三角函数值，前面加上一个把 看作锐角时原三
4、角函数值的符号。记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：记忆方法二：无论 是多大的角，都将 看成锐角以诱导公式二为例：若将 看成锐角（终边在第一象限） ，则 十 是第三象限的角（终边在第三象限） ，正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值这样，就得到了诱导公式二以诱导公式四为例：若将 看成锐角（终边在第一象限） ，则 - 是第二象限的角（终边在第二象限） ，正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值这样，就得到了诱导公式四诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步
5、骤：特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：熟记特殊角的三角函数值；注意诱导公式的灵活运用；三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。三角函数公式基本公式编辑三角函数公式和差角公式二角和差公式证明如图，负号的情况只需要用- 代替 即可cot(+)推导只需把角 对边设为 1，过程与 tan(+)相同证明正切的和差角公式 证明正弦、余弦的和差角公式 三角和公式三角函数公式和差化积口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦三角函数公式积化和差三角函数公式倍角公式二倍角公式三倍角公式证明：sin3a=sin(a+2a)=sin2ac
6、osa+cos2asina=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina(3/2)-sina(3/2)+sina=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos60+a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-
7、a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosacos2a-(3/2)2=4cosa(cosa-cos30)(cosa+cos30)=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得：tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)四倍角公式sin4a=-4*co
8、sa*sina*(2*sina2-1)cos4a=1+(-8*cosa2+8*cosa4)tan4a=(4*tana-4*tana3)/(1-6*tana2+tana4)五倍角公式n 倍角公式应用欧拉公式：.上式用于求 n 倍角的三角函数时，可变形为：所以，其中，Re 表示取实数部分，Im 表示取虚数部分而所以，n 倍角的三角函数 三角函数公式半角公式（正负由所在的象限决定）三角函数公式万能公式三角函数公式辅助角公式证明：由于，显然，且故有：三角函数公式三角形定理编辑三角函数公式正弦定理详见词条：正弦定理在任意ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c ，三角形外接圆的半径为 R则有：正弦定理变形可得：三角函数公式余弦定理详见词条：余弦定理在如图所示的在ABC 中，有余弦定理 或
