1、1.【2017 课标 1，理 4】记 为等差数列 的前 项和若 ， ，则nSna452a648S的公差为naA1 B2 C4 D8【答案】C【解析】试题分析：设公差为 ， ，d451113274adad，联立 解得 ，故选 C.6115682Sa1,658秒杀解析：因为 ，即 ，则6634()()aSa3416a，即 ，解得 ，故选 C.4534()()18a52d【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如 为等差数列，na若 ，则 .mnpqmnpqaa2.【2017 课标 II，理 3】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七
2、层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【答案】B【解析】【考点】 等比数列的应用；等比数列的求和公式【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论。 3.【2017 课标
3、 1，理 12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是 20，接下来的两项是20，2 1，再接下来的三项是 20，2 1，2 2，依 此 类 推 .求 满 足 如 下 条 件 的 最 小 整 数 N： N100 且 该 数 列 的 前 N 项 和 为 2 的整 数 幂 .那 么该 款 软 件 的 激 活 码 是A440 B330 C220 D110【答案】A【考点】等差数列、等比数列的求和.【
4、名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.4.【2017 浙江，6】已知等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d0”是“S 4 + S62S5”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由 ，可知当 ，则dadaS)105(2102564 0，即 ，反之， ，所以为充要条件，选0564S564564S
5、C【考点】 等差数列、充分必要性【名师点睛】本题考查等差数列的前 项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知n， 结合充分必要性的判断，若 ，则 是 的充分条件，若4652Sd qp，则 是 的必要条件，该题“ ” “ ”，故为充要条件qp0d02564S5.【2017 课标 II，理 5】设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是xy3xyzxy（ ）A B C D15919【答案】A【解析】【考点】 应用线性规划求最值【名师点睛】求线性目标函数 zaxby( ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时， z 值最小；当 b0 时，直线过可
6、行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大。6.【2017 天津，理 2】设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大,xy20,3xyzxy值为（A） （B）1（C） （ D）3232【答案】 【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题. 7.【2017 山东，理 4】已知 x,y 满足xy30+5，则 z=x+2y 的最大值是（A）0 （B） 2
7、 （C） 5 （D）6【答案】C【解析】试题分析：由xy30+画出可行域及直线 20xy如图所示，平移20xy发现，当其经过直线 3x+y50与 x-3的交点 (,4)时， 2zxy最大为 3245z，选 C.【考点】 简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值8.【2017 山东，理 7】若 0ab，且 1a，则下列不等式成立的是（A） 21log
8、ab （B） 21logabab（C） 2la （D） 2l a【答案】B【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式.【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断. 9.【2017 课标 3，理 9】等差数列 的首项为 1，公差不为 0若 a2，a 3，a 6 成等比数列，na则 前 6 项的 和为naA B C3 D8243【答案】A【解析】来源:Zxxk.Com【考点】 等差数列求和公式；等差数列
9、基本量的计算【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.10.【2017 北京，理 4】若 x，y 满足 则 x + 2y 的最大值为3y， ，（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，表示斜率为 的一组平行线， 当过点 时，目标函数取得最大值2zxy123,C，故选 D.ma39【考点】线性规划【名师点睛】本题
10、主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常见的目标函数有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式：zaxbyzaxby，通过求直线的截距 b的最值间接求出 的最值；（ 2）距离型：形如z；（3）斜率型：形如 ，而本题属于截距形式.22zxaybyzxa11.【2017 浙江，4】若 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是x032xyyxz2A0，6 B0，4 C6， D4 ，)【答案】D【解析】试题分析：如图，可行域为一开放区域，
11、所以直线过 点 时取最小值 4，无最大值，选(2,1)Dxoy2xy02yx03y【考点】 简单线性规划【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式 转化为 （或 ） ， “ ”取下方， “ ”取上方，并明0CByAxbkxybkxy确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离 等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围12.【2017 天津，理 8】已知函数 设 ，若关于 x 的不等式23,1().xfaR在 R 上恒成立，则 a 的取
12、值范围是()|2xfa（A） （B） （C） （D）47,164739,1623,392,16【答案】（当 时取等号） ，22xx所以 ，3a综上 故选 A4716【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足 转化为 去解决，由于涉及分()2xfa()()22xxfaf段函数问题要遵循分段处理原则，分别对 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的 的范围. x13.【2017 课标 3，理 13】若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为xyy02xz34xy_.【答案】 1【解析】【考点】应用线性规划求最值【名师点睛】求线性目标函数 zaxby( ab0)的最值
13、，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时， z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.14【2017 课标 3，理 14】设等比数列 满足 a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，则 a4 = n_.【答案】 8【解析】试题分析：设等比数列的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得q1方程组：，由 可得： ，代入 可得 ，121233aq， ， 2q1a由等比数列的通项公式可得： .3418a【考点】 等比数列的通项公式【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数
14、列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.15.【2017 课标 II，理 15】等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 nanS3a410S1nkS。【答案】 21n【解析】【考点】 等差数列前 n 项和公式；裂项求和。【名师点睛】等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是等差
15、数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。16.【2017 天津，理 12】若 ， ，则 的最小值为_.,abR041ab【答案】 4【解析】 ， （前一个等号成立条件是214124a abba，后一个等号成立的条件是 ，两个等号可以同时取得，则当且仅当2b时取等号）.2,4a【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式， （1） ，2,abRab当且仅当 时取等号；（2） ， ，当且仅当 时取等号；首ab,
16、abR2b先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1 的妙用” 求最值.17.【2017 北京，理 10】若等差数列 和等比数列 满足 a1=b1=1，a 4=b4=8，则nan=_.2ab【答案】1【解析】【考点】等差数列和等比数列【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（ 组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 18.【2017 课标 1，理 13】设 x
17、，y 满足约束条件 ，则 的最小值为 .210xy32zxy【答案】 5【解析】试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，易求得 ，1(,),)(,3ABC由 得 在 轴上的截距越大， 就越小32zxy2zxyz所以，当直线直线 过点 时， 取得最小值A所以 取得最小值为z3(1)5【考点】线性规划.【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：直线型，转化成斜截式比较截距，要注意 前系数为负时，截距越大， 值越小；分式型，其几何意义zz是已知点与未知点的斜率；平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.19.
18、【2017 山东，理 19】已知x n是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3，x 3-x2=2（）求数列x n的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1(x1, 1)，P 2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折线 P1 P2Pn+1，求由该折线与直线 y=0， 所围成的区域的面积 nT.nx,【答案】(I) 12.nx（II） (21).nnT（II）过 123,P 1n向 x轴作垂线，垂足分别为 123,Q 1n,由(I)得 2.nx记梯形 1nQ的面积为 nb.由题意 12()()2nnb，所以 123nT+ nb= 0157+ 32(21)(
19、1)nn 又 n + 21 -得 12113(.)()nnnT= 2).n所以 (21).nnT【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 20.【2017 北京，理 20】设 和 是两个等差数列，记
20、nab，12max,ncb(1,23)其中 表示 这 个数中最大的数s12,sx（）若 ， ，求 的值，并证明 是等差数列；nn3cnc（）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；或者存在正整数 ，MmMm使得 是等差数列12,mc【答案】 （）详见解析；（）详见解析.【解析】所以 .121max,n ncbnaban所以对任意 ，于是 ，,1c所以 是等差数列 .n【考点】1.新定义；2.数列的综合应用;3. 推理与证明.【名师点睛】近年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定 义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数
21、列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值， 又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生.21.【2017 天津，理 18】已知 为等差数列，前 n 项和为 ， 是首项为 2 的na()nSNnb等比数列，且公比大于 0， , ， .231b3412a4（）求 和 的通项公式；na（）求数列 的前 n 项和 .21n()N【答案】 （1） . .（2） .3b132843nnT【解析】（II）解：设数列 的前 项和为 ，21nabnT由 ， ，有 ，26na4n21(3)4nab故
22、，23458()nT，4 1()nn 上述两式相减，得 23 14(3)4nnT 1112(4)(3)38.nn得 .132843nnT所以，数列 的前 项和为 .21nab 12843n【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数n列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和. 22.【2017 浙江，22】（ 本题满分 15 分）已知数列x n满足：x 1=1，x n=xn+1+ln(1+xn+1)（）
23、Nn证明：当 时，（）0x n+1x n；（ ）2x n+1 xn ；12（） xn 1【答案】 （）见解析；（）见解析；（）见解析【解析】（）由 得11)ln(nnxx21 14(2)l()n nx x 【考点】不等式证明【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数 ，利用函数的2()()ln1(0)fxxx单调性证明不等式；（3）由递推关系证明23.【2017 江苏，10】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 吨，运费为 6 万元/次，
24、一年的总 存储费用为 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则 的值是 .4x x【答案】30【解析】总费用 ，当且仅当 ，即 时60904()2904x90x30等号成立.【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑” 等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“ 等”(等号取得的条件) 的条件才能应用，否则会出现错误 .24. 【2017 江苏，9】等比数列 的各项均为实数,其前 项的和为 ,已知nannS,则 = .3674S,8a【答案】32【解析】当 时，显然不 符合题意；1q当 时，
25、，解得 ，则 .1q316()74aq142aq78123【考点】等比数列通项【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 25.【2017 江苏，19】 对于给定的正整数 ,若数列 满足kna111nknnkkaaa 对任意正整数 总成立，则称数列 是“ 数列”.2n()na()Pk（1）证明：等差数列 是“ 数列” ;n(3P（2）若数列 既是“ 数列” ，又是“ 数列”，证明： 是等差数列.na2)(3)na【答案】 （1）见解析（2）见解析在中，取 ，则 ，所以 ，3n12453aa12ad所以数列 是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明 为等差数列的方法：na(1)用定义证明： 为常数） ；1(d(2)用等差中项证明： ；22nna(3)通项法： 为 的一次函数；na(4)前 项和法： 2SAB
