1、文数课标版,第一节数列的概念及简单表示法,1.数列的定义按照一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.,教材研读,2.数列的分类,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)所有的数列都有通项公式,且通项公式在形式上一定是唯一的.()(2)数列是一种特殊的函数.()(3)根据数列的前几项归纳出来的数列的通项公式可能不止一个.()(4)如果数列an的前n项和为Sn,则nN*,都有an+1=Sn+1-Sn.()(5)若已知数列an的递推公式为an+1=,且a2=1,则可以写出数列an,的任何一项.(),1.已知nN*,给出4个表达式:an=an=,an=,an=.其
2、中能表示数列:0,1,0,1,0,1,0,1,的通项公式的是()A.B.C.D.答案A检验知都可以是所给数列的通项公式.,2.已知数列an的通项公式为an=n2-8n+15,则3()A.不是数列an中的项B.只是数列an中的第2项C.只是数列an中的第6项D.是数列an中的第2项或第6项,答案D令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列an中的第2项或第6项.,3.数列an中,若an+1=,a1=1,则a6等于()A.13B.C.11D.答案Dan+1=,a1=1,a2=,a3=,a4=,a5=,a6=,故选D.,4.已知数列an的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列an
3、的通项公式为()A.an=2n-3B.an=2n+3C.an=D.an=答案C当n=1时,a1=S1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-3,由于n=1时,a1=1不适合上式,故an=选C.,5.数列an满足:a1=2,an=1-(n=2,3,4,),则a12=.答案-1解析 由a1=2,a2=1-=,a3=1-=-1,a4=1-=2,可知an是周期为3的周期数列,则a12=a34=a3=-1.,考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式典例1根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,;(2)0.8,0.88,0.888,;(3),-,-,;(4),1,.
4、解析(1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1来调整,原数列各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面一个数的绝对值大6,故原数列的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5).,考点突破,(2)将数列变形为(1-0.1),(1-0.01),(1-0.001),故原数列的一个通项公式为an=.(3)各项的分母分别为21,22,23,24,易看出第2,3,4,项的分子分别比分母少3,因此把第1项变为-,则原数列可化为-,-,原数列的一个通项公式为an=(-1)n.(4)将数列变为,对于分子3,5,7,9,是相应项数的2倍加1,可得分子的一个通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10
5、,17,联想到数列1,4,9,16,即数列n2,可得分母的一个通项公式为cn=n2+1,原数列的一个通项公式为an=.,方法指导(1)根据所给数列的前几项求其一个通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项符号特征.(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.,1-1根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1)1,3,5,7,;(2)2,5,10,17,;(3),
6、;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,;(5)1,2,2,4,3,8,4,16,5,.解析(1)数列的前4项1,3,5,7都是项数的2倍减1,所以原数列的一个通项公式为an=2n-1.(2)如果数列的前4项分别减去1,则变为1,4,9,16,所以原数列的一个通项公式为an=n2+1.(3)分子为12,22,32,分母为13,35,57,故原数列的一个,通项公式为an=.(4)该数列可变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,则原数列的一个通项公式为an=n+.(5)奇数项为1,2,3,4,5,偶数项为2,4,8,16,从而原数列的一个通项公式为an=,考点二由an与Sn的关系求通项公
7、式an典例2已知下面数列an的前n项和Sn,求an的通项公式.,(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.,解析(1)当n=1时,a1=S1=-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5,又a1=-1也适合上式,因此an=4n-5(nN*).(2)当n=1时,a1=S1=3+b,当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1.当b=-1时,a1适合上式;当b-1时,a1不适合上式.当b=-1时,an=23n-1(nN*);当b-1时,an=,方法指导已知Sn求an的三个步骤:(1)先利用a1=S1求出a1;(2
8、)用n-1替换Sn中的n得出Sn-1,利用an=Sn-Sn-1(n2)便可求出当n2时an的表达式;(3)看a1是否符合n2时an的表达式,若符合,则可以把数列的通项公式合写;若不符合,则应该分n=1与n2两段来写.,2-1已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则an=.答案解析Sn=2an+1,当n2时,Sn-1=2an,an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n2),3an=2an+1(n2),又易知a2=,an0(n2),=(n2).an=(n2).当n=1时,a1=1=,an=,考点三由递推关系求数列的通项公式典例3在数列an中,a1=2,an+1=an+n+1,
9、则an=.答案解析由条件知an+1-an=n+1,则an=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)+a1=(2+3+4+n)+2=.,方法指导由数列的递推关系求通项公式的常用方法已知数列的递推关系,求数列的通项公式时,通常用累加、累乘、构造法求解.当出现an=an-1+m(n2)时,构造等差数列;当出现an=xan-1+y(n2)时,构造等比数列;当出现an=an-1+f(n)(n2)时,用累加法求解;当出现=f(n)(n2)时,用累乘法求解.,变式3-1若将本例中的条件“an+1=an+n+1”改为“an+1=an”,如何求解?解析an+1=an,=,an=a1=2
10、=.,变式3-2若将本例中的条件“an+1=an+n+1”改为“an+1=2an+3”,如何求解?解析设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-t,解得t=-3.故an+1+3=2(an+3).令bn=an+3,则b1=a1+3=5,且=2.所以bn是以5为首项,2为公比的等比数列.,所以bn=52n-1,故an=52n-1-3.,变式3-3若将本例中的条件“an+1=an+n+1”改为“an+1=”,如何求解?解析an+1=,a1=2,an0,=+,即-=,又a1=2,则=,是以为首项,为公差的等差数列.=+(n-1)=,an=.,变式3-4若
11、将本例中的条件换为“a1=1,an+1+an=2n”,如何求解?解析an+1+an=2n,an+2+an+1=2n+2.故an+2-an=2,即数列an的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.当n为偶数时,易求得a2=1,故an=a2+2=n-1.当n为奇数时,an+1+an=2n,an+1=n(n+1为偶数),故an=n.综上所述,an=nN*.,考点四数列的性质典例4已知数列an的前n项和为Sn,常数0,且a1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.(1)求数列an的通项公式;(2)设a10,=100.当n为何值时,数列的前n项和最大?,解析(1)当n=1时,=2S1=2a1,a1(a1-2
12、)=0.若a1=0,则Sn=0,当n2时,an=Sn-Sn-1=0-0=0,所以an=0.若a10,则a1=.当n2时,2an=+Sn,2an-1=+Sn-1,两式相减得2an-2an-1=an,所以an=2an-1(n2),从而数列an是等比数列,所以an=a12n-1=2n-1=.综上,当a1=0时,an=0;当a10时,an=.(2)当a10且=100时,令bn=lg,由(1)有,bn=lg=2-nlg 2.所以数列bn是单调递减的等差数列(公差为-lg 2).,b1b2b6=lg=lglg 1=0,当n7时,bnb7=lg=lg0数列an是单调递增数列;an+1-an0时,1数列an是单调递增数列;1数列an是单调递减数列;1数列an是单调递增数列;=1数列an是常数列.,求数列最大项或最小项的方法(1)利用不等式组(n2)找到数列的最大项;(2)利用不等式组(n2)找到数列的最小项.,4-1若数列an满足:a1=19,an+1=an-3(nN*),则数列an的前n项和最大时,n的值为()A.6B.7C.8D.9答案Ba1=19,an+1-an=-3,数列an是以19为首项,-3为公差的等差数列,an=19+(n-1)(-3)=22-3n.令则解得n,nN*,n=7,故当数列an的前n项和最大时,n的值为7.,
