1、安培定律和毕奥-萨伐尔定律1.物质的磁性与电流的磁效应从天然磁体到指南针的发明人类对磁现象的最初认识，是发现天然磁体之间存在互相吸引或排斥作用，以及天然磁体对诸如铁这类物体产生吸引力.人们观察到，任何磁性物体都有两个不同的“磁极”，同性磁极互相排斥，异性磁极互相吸引.后来又发现，如果将一根条形小磁体的中心支撑起来并让它可以自由转动,小磁体的某一极总是转向北方.人们由此认识到，原来我们所居住的地球就是一个巨大的天然磁体.磁性物体中指向北方的那个极被称为“北磁极”或 N 极，指向南方的另一极称为“南磁极”或 S 极.中国人对磁现象的发现和应用，比西方人要早得多.春秋战国时期（公元前 770-221
2、 年）的文献已有“磁石吸铁”的记载，北宋时期已经利用磁针制造指南针并应用于航海.至公元 1600 年，英国人吉尔伯特（M.Gilbert）发表论磁体一书，这被认为是人类对磁现象系统而定性研究的最早著作.从库仑到奥斯特 From Coulomb To Oersted库仑（C.A.de Coulomb）大家已经知道，1785 年,法国的库仑通过实验，总结出静电相互作用的规律.大约同期，库仑也通过实验对磁力进行了测量，并指出与电力一样，磁力“与磁分子之间的距离平方成反比”.库仑的“磁分子”包含有南、北两种磁荷，它们在磁体内首尾相吸形成“磁分子纤维”,使磁荷不能象电荷那样从一个物体转移到另一个物体.
3、但是，电力与磁力有关吗？库仑和他同时代的许多物理学家都认为：虽然磁力与电力在距离关系上有相似性，但并无同一性. 奥斯特（H.C.Oersted） 然而，丹麦人奥斯特在德国哲学家康德（I.Kant）和谢林（W.J.Schelling）关于自然力转化与统一的思想影响下，经过 20 多年对电力、磁力及化学亲和力等的广泛研究，终于在 1820 年 4月发现了电流的磁效应通有电流的导线使其附近的磁针发生了偏转！奥斯特的伟大发现，轰动了当时欧洲的物理学界，由此开创了实验上与理论上研究电磁统一性的纪元.从奥斯特到安培、毕奥和萨伐尔安培（A.M.Ampere）法国物理学家安培获知奥斯特的发现之后， 很快（18
4、20 年 9 月）就发现两根通电流的导线之间也存在相互作用力，并于同年 12 月发表了这种相互作用力的定量公式现在我们称之为安培定律. (见教材 P336)安培进而用“分子电流”假说解释磁体的磁性磁性体内分子电流的有规排列，呈现出宏观磁化电流，正是宏观磁化电流使之产生宏观磁性（见教材 P336）毕奥和萨伐尔（J.B.Biot and F.Savart）也是在 1820 年，法国物理学家毕奥和萨伐尔,通过实验测量了长直电流线附近小磁针的受力规律,发表了题为“运动中的电传递给金属的磁化力”的论文，后来人们称之为毕奥-萨伐尔定律.稍后，在数学家拉普拉斯的帮助下，以数学公式表示出这一定律. 从奥斯特到
5、安培，两个引人深思的问题一个引人深思的问题是：从奥斯特发现电流磁效应（1820 年 4 月）到安培发现电流相互作用的规律（1820 年 9 月），前后只是相差 5 个月，我们可以从中获得什么教益？另一个同样引人深思的问题是：安培提出磁性的“分子电流假说”，比 1897 年汤姆孙发现电子，以及后来发现物质的原子和分子电结构，早了 70 多年以上.我们又可以从中获得什么教益？ 安培的“分子电流圈”，按现在的理解，就是分子内的电荷运动形成的磁偶极矩 m .由照经典模型，分子磁偶极矩矢量描述为其中，I 是分子电流强度， 为电流圈的面积矢量，规定它的方向与电流流向成右手螺旋关系.今天，人们对磁现象的认识
6、，已经比安培那个时代深刻得多：不仅原子和分子中的电子绕核运动形成一定的“轨道磁矩”，而且，电子、质子等“基本的”带电粒子，都有一定的自旋磁矩.分子的总磁矩是所有粒子轨道磁矩和自旋磁矩的矢量和. 磁场读者知道，电荷之间的相互作用，通过电荷的电场传递.电流之间的相互作用，则是通过电流的磁场传递的.如果我们在一块水平放置的平板上，放上一块条形磁铁，再在其周围撒上小铁粉，我们将会看到，小铁粉会呈现很有规律性的排列，如图2-1.这是由于：磁铁内分子电流（磁矩）的有规排列所形成的宏观“磁化”电流产生了宏观磁场，在这磁场作用下，小铁粉（小磁矩）发生了朝着“磁力线”方向的偏转而呈现有规律的排列. 同样的，两条
7、电流线之所以存在互作用力，是一条电流线产生的磁场，作用于另一条电流线的结果.2.安培定律（Amperes Law）（教材 P337） 现在，让我们写出安培作用定律真空中，两个稳恒的电流回路 L1和 L2 ，电流元 I1dl1 对 I2dl2的作用力为(2.2-1) 其中，I1 和 I2 是两个回路的电流强度，r 12是从 I1dl1到 I2dl2的距离， 是这方向上的单位矢量.在 MKSA 单位制中，比例常数（2.2-2）其中，m 0称为真空磁导率，它与真空介电常数 0 （真空电容率）共同构成作为基本物理常数的真空中光速 C： （2.2-3）读者将会看到，电流强度 I 的单位“安培”，是由(2
8、.2-1）来定义的.由于力的单位为牛顿，距离的单位为米，故从定义“安培”这一需要出发，真空磁导率取值为（2.2-4）这也是真空介电常数 0为什么由下式表示（ 2.2-5）的原因. 由于回路 L1的每个电流元对另一回路 L2每个电流元都将产生作用力，因此，回路 L1对回路 L2的合力应当是一个二重积分：（2.2-6)回路 L2 对回路 L1 的作用力则是（2.2-7)其中，r 21 = r12, 是电流元 I2dl2到 I1dl1的方向上的单位矢量 . 可以证明，两个稳恒电流回路之间的作用力与反作用力，大小相等方向相反：F21 = -F12（2.2-8) 但是，对于两个“孤立的稳恒电流元”，一般
9、地 dF 21 - dF 12 这是因为：稳恒电流必定构成闭合回路，既孤立又“稳恒”的电流元实际上并不存在.3.磁感应强度 (magnetic induction) （P346）前面我们已指出，电流之间的相互作用是通过磁场来传递的.因此，安培定律（2.2-6)中，电流回路 L2受到的合力，实质上是电流回路 L1产生的磁场对它施加的总作用力，因此，安培定律实质上是：（2.2-9)B 是电流回路 L1在 L2各点上产生的磁感应强度（注：这一称胃是历史上形成的，现在，有些国外的教科书已把 B 称为磁场强度magnetic field strength）. 对于任何一个稳恒的电流回路 L ，其中一个电
10、流元 Idl 在任意点 P 产生的元磁感应强度为 （2.2-10) 其中，x 是场点的位置矢量，r 是电流元到场点的距离， 是这方向的单位矢量.图中，P 点的 dB 沿什么方向？类似于电场叠加原理 , 回路 L 的全部电流元在 P 点产生的总磁感应强度,也是一个矢量积分：（2.2-11)这称为毕奥萨伐尔定律.应当注意，B 是一个与场点 P 的坐标有关的矢量函数 . 如果导线截面上的电流密度函数为 J (x )，则一个电流元是 J (x )dV (小电流管中很小一 段)，（2.2-11)将写成 （2.2-12)此处，r 是电流分布点到场点 P 的距离， 是这方向的单位矢量.磁感应强度的物理意义(
11、1) 像点电荷产生的电场强度与距离的平方成反比一样，电流元产生的磁感应强度，也与距离的平方成反比；(2）积分式（2.2-11)和（2.2-12)表示电流的磁场也遵从叠加原理(3) 电流的磁场分布于其周围空间.根据安培定律，一个电流元 I dl 在磁场中受到的作用力为dF = I dl B (2.2-13) B 是电流元所在点的磁感应强度.我们设想，在磁场中某一点有一个电流元，由上式，它受力的大小为 dF =I dl B sin (2.2-14) 是矢量 B 与电流元的夹角，显然，仅当 =/2，即电流元的方向与此处 B 的方向垂直时，它受到的力才有最大值（dF ）max = I dl B ，我们
12、就以比值 (2.2-15) 来定义该点的磁感应强度，表示单位电流元在磁场某点受到的最大作用力.（请将这个定义与由库仑定律定义的电场强度比较一下）于是 B 的单位是：牛顿/安培米（N/Am），通常把它称为特斯拉（tesla），即 1 特斯拉（T）=1 牛顿/安培米（N/Am） 你们以后将看到，B 2/2 0表示磁场能量密度(电场能量密度为 0E2/2).在有些文献中，仍然用“高斯”作为磁感应强度的单位，它与特斯拉的换算关系是 1 高斯（gauss）= 10 -4 特斯拉 习题 P351：3 题 例 2-3 直线电流的磁场(Magnetic Field of a Rectilinear Curre
13、nt)（P352） 解 我们考虑某个稳恒电流回路的一段，电流是沿着直线流动的，电流强度为 I ,设其流向沿坐标系的 z 轴正向，场点 P 到电流线的垂直距离为 r0 , 我们就以 o 为坐标原点，如下图.任意一个电流元到原点 o 的距离为 z ,到场点 P 的距离为 r, 从毕奥萨伐尔定律可知，电流元在场点 P 产生的元磁感应强度的方向，必定垂直于电流线和 P 点构成的平面，亦即图中 的方向，这正是以 r0为半径的圆周的切线方向. 因此我们有其中是电流元 与 方向的夹角，从图中我们看到对上式两边取微分，便可实现积分变量从 z 到 的变换：于是我们有 设这段直线电流的两个端点为 a 和 b ,则
14、 将从 1变到 2 ，对上式积分，便得到这段直线电流在 P 点产生的磁感应强度(2.2-16)当直线电流的长度为“无限长”，即 10， 2 时, （2.2-16 ）将给出离开电流线为 r0 的任一点处，磁感应强度为(2.2-17) 这表明，“无限长”直线电流在其周围产生的磁感应强度，与距离的一次方成反比，它的场线即 B 线按右手规则，相对于电流的流向形成一族与电流线为中心的同心圆.在实际问题中，只要电流线足够长，在它中部附近 r0 远小于电流线长度的范围内 ，就有近似于(2.2-17)的结果.请大家考虑下面两个问题：（1）对于通以稳恒电流的金属导线，通常我们只观测到它在外部产生的磁场，而没有观
15、测到它在外部产生的电场.这是为什么？（2）但是对于离子束（无论是正离子束还是负离子束），我们会同时观测到它在外部的磁场和电场，这又是为什么？练习题：假定离子束沿着直线运动并且是稳定的，电流强度为 I ，试找出离开离子束中心为 r 处的磁感应强度 B 和电场强度 E . 例 2-4平行电流线之间的互作用力.电流强度的单位“安培”的定义. （教材 P344，及 P387）解 我们在第一章的开头就指出，在 MKSA 单位制中，除了长度（单位：米）、质量（单位：千克）和时间（单位：秒）之外，电流强度（单位：安培）是第四个基本物理量. 而电流强度的单位 “安培”，正是以安培定律为依据来定义的.设两条很长
16、且平行的线电流之间，相距为 r0 ,电流强度分别为 I1和 I2 ,并且流向相同，如图.由(2.2-17)，强度为 I1的电流在另一电流线上产生的磁感应强度为于是据安培定律，电流 I2中的一个电流元 受到的作用力为： (2.2-18)负号表示此力是一个吸引力.显然，若两个电流的流向相反，则 d F12 将是排斥力.两电流线单位长度相互作用力的大小是(2.2-19)我们以前指出，m 0 的数值取为 4 10 -7,现在令 I1 = I2 =I , 上式便给出(2.2-20)于是，当 r 0 = 1 米，并且测得 f = 210-7牛顿/米时，两导线中的电流强度 I 就定义为“1安培”. 下图就是
17、用来测量平行电流线相互作用力的天平“安培秤”. 例 2-5圆电流圈的磁场（Magnetic Field of a Circular Current）（P355）解 设电流圈的半径为 a ，电流强度为 I .我们以其中心 O 为坐标原点，对称轴为 z 轴，任一电流元 到轴上 P 点的距离为 r , 是这方向上的单位矢量.显然，由于 ，故Idl = Id l,因此，一个电流元在轴上 P 点产生的磁感应强度 dB 垂直于 与 构成的平面，其值则为由于电流分布存在着 z 轴对称性，我们注意到，与 Idl 对称的另一个电流元 Idl 在 P 点产生的 dB ，与 dB 叠加后，与 z 轴垂直方向的分量为
18、零，因而只剩下 z 方向的分量. 因此，仅需对 dB 的 z 分量积分.记场点 P 到原点 O 的距离为 z = R ，则于是，轴上 P 点的磁感应强度之值为(2.2-21)显然，在电流圈的中心 O，即 R = 0 处，有(2.2-22)但在远处，即 Ra 时，(2.2-23)上面我们只求出电流圈对称轴上的场强，但大家应当注意到，这圆形电流圈的电流分布，是存在着 z 轴对称性的，因此它的磁场必定也存在着同样的对称性.电流圈的磁偶极矩（magnetic dipole moment of a current loop）（P390）和它的磁场 设小电流圈的电流强度为 I，面积为 S，我们定义这电流圈
19、的磁偶极矩矢量为(2.2-24)IS 是磁偶极矩的值.按规定，矢量 m 的方向，亦即 的方向，与电流的流向遵从右手螺旋规则，如图.对于上例的圆形电流圈，其磁偶极矩矢量为 于是，据（2.2-23）这磁矩在其轴上而且很远的 P 点处，产生的磁感应强度就是(2.2-25) 现在，让我们回过头去看看，一个位于坐标原点的电偶极矩 在远处产生的电场强度为 （2.2-26）它存在着 z 轴的对称性. 在轴线上即 = 0 的点，记 r =R，我们看到，这电偶极子的电场强度同样只有 z 分量：（2.2-27）它与上述磁偶极矩 m 在对称轴上的磁感应强度(2.2-25)十分相似只需将 p/0?与 0m 代换，便可
20、实现同一点上 E 与 B 的代换！ 事实上，由于这圆形电流圈的电流分布是存在着 z 轴对称性的，因此它的磁场必定也存在着同样的对称性.更详细的理论计算表明：一个位于坐标原点、磁矩矢量为 的磁偶极子，在远处，即当 ra （磁矩的线度）时，它所产生的磁场为(2.2-28) 这告诉我们，磁偶极子 m 的磁场，与电偶极子 p的电场存在着对称性.磁偶极子和它的磁场对于一般的闭合电流圈，其磁偶极矩由下式计算 （2.2-29）其中，I d l 是电流圈中的电流元，x 是电流元的位置矢量，积分遍及整个电流圈.在电流分布于一定体积 V 的情形，电流密度为 J，电流元 I d l 是 JdV ,于是（2.2-30
21、）积分遍及全部电流分布的区域.以后大家将会看到，带电粒子都有一定的自旋磁矩和轨道磁矩。地球磁场人们已经知道，地球的磁场很接近于磁偶极场.但是我们发现，它的磁轴相对于地球的自转轴，一直在偏离，偏离角至今已达到 110.尽管对于地球磁场起源的物理机制，已经提出了许多模型，但是都未能很清楚地描述磁轴的偏离原因及其速度！由于地核的温度高达几千摄氏度，因此我们有理由相信，地球磁场主要是由地核的高温等离子体所产生的，并且地核等离子体的转动肯定与地球的自转(地幔和地壳的自转)不同步，并且还有自己的进动，才造成磁轴不断偏离地球自转轴.例 2-6 通电螺线管的磁场（ Magnetic Field of a So
22、lenoidal Current ）(p361)解 设螺线管的截面半径为 a，长度为 L，电流强度为 I，总匝数为 N，单位长度匝数为 n= N /L , 如下图. 由上例，其中一匝在轴线上 P 点产生的磁感应强度为长度为 dR 的一段有 n dR 匝,因此这段电流在 P 点的磁感应强度是（2.2-29）从图中我们看到R = acot , dR = -acsc2d , a2 +R2 = a2csc2将上述关系代入（2.2-29）式，便有从螺线管的一端到另一端，角度 b 从 b1 变到 b2 .于是，全部电流圈在 P 点产生的总磁感应强度就由下述积分给出(2.2-30)讨论上述结果：(1) 对于
23、有限长的通电螺线管，它内部和外部都分布着磁场，如下图.（2）当螺线管的长度 L 无限大，将有 b1 p ，b2 0 ，我们得到 （2.2-31） 这种理想情况相当于忽略螺线管两个端面附近磁场的不均匀性，因而把管内的磁场看成是均匀场，磁场的 B 线平行于管轴；而在螺线管的外部，B = 0 .在实际问题中，只要螺线管的长度 L 远大于其截面半径 a ，其内部中间附近区域的磁场就近似于（2.2-31）表示的均匀场.（3）对于“半无限长” 螺线管，即当 1 = / 2 ， 2 0 ；或 1 ， 2 = / 2 ，（2.2-30）均给出（2.2-32）即“半无限长” 螺线管在其端面的 B 值，只是其中部
24、 B 值的一半.这从叠加原理可以得到解释. 习题：P367-372 7，8，11，15，16，285低速运动（非相对论的）电荷的电场和磁场 （ Electric and Magnetic FieldS of a Moving Charge-Nonrelativistic）现在，让我们考虑低速运动的带电粒子产生的电磁场.大家已经知道，由 n 个运动带电粒子形成的电流密度为 J = n q v ，其中 q 是粒子的电荷，v是它们的平均速度，这粒子束形成的电流元是 JdV= nq vdV，ndV 是体积元 dV 内的粒子数，于是据毕奥萨伐尔定律，一个运动带电粒子 q 在离它为 r 处的某点 P 产生
25、磁感应强度为（1）令粒子的运动方向沿 z 轴，如图 , 就有（2） 显然，磁场存在轴对称性，B 线是一族与粒子运动方向正交的圆；在 q = 0 即粒子运动方向上，B = 0，而在 q = / 2 即粒子所在的横向平面上，磁场分布最强.这运动电荷同时也产生电场.假定其运动速度 v 恒定不变，而且远小于真空中的光速 c，则 P 点的电场强度可表示为(3)如果我们在（1）式右方的分子和分母都乘以 0 ，并注意到 0 0 =1/c2 和（3），（1）式将给出(4)应当指出，（1）、（2）和（3）式，仅在粒子速度 v c 的情况下才近似成立，对于高速运动的带电粒子（即相对论情形），上述结果必须加以修改.
26、(4)式 告诉我们，带电粒子的电场 E 与磁场 B，只是同一种物质的两种表现形式，两者之间存在着紧密的关联.例 2-7基态氢原子中的电子在其轨道中心产生的磁感应强度.(P372 第 32 题)解按经典模型，电子围绕核运动的轨道半径 a =0.5310-10米.核和电子电荷量的绝对值均为 e =1.610-19库仑，电子质量 me=9.1110-31千克,1/4 0 = 8.99109牛顿米/库仑 2, m0 /4 =10-7牛顿/安培 2.电子受到的库仑力（牛顿）是一个向心力由此解出电子运动速度（米/秒）比光速 c 低两个数量级，于是得到它在轨道中心（核所在处）产生的磁感应强度近似值（特斯拉） 例 2-8离子束的电流强度为 I ，求离开离子束中心为 r 处的 E 和 B，并验证（4)式.解设离子束沿 z 轴方向流动，离子的电荷为 q ,平均运动速度为 v = v ，束截面积为 S ，单位体积的离子数（密度）为 n ，则单位长度的电荷量 = nqS ，电流强度就是 I= n q S v = v.假定离子束可以看成无限长，于是在离束中心的垂直距离为 r 处由此可知 某些磁场的强度例如，在地球表面附近，从赤道（equator）到磁极，随着纬度的增高，地球磁场的磁感应强度大约从 B= 3 10-5 特斯拉至 B= 7 10-5 特斯拉之间（即 0.3 高斯至 0.7 高斯）.
