1、内切球，外接球 1内切球，外接球球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体（棱长为 a）的外接球半径 R 与内切球半径 r 之比为 R：r3：1。外接球半径： 。内切球半径：R46ar126结论：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径 ( 为hr41正四面体的高)，且外接球的半径 rR3正四面体的外接球问题：已知正四面体 ，H 为底面的中心，O 为外接ABCD球的球心，设棱长为 a，外接球半径为 R，内切球半径为 r，试求 R.方法一：易知 R+r=AH= ，由等积法得：（ 可求外接球半径和内切球63半径） ABC
2、DOABCDOADBVVV所以：故 , 11433BCDBCDHSrS 14rH3RA所以 .6Ra方法二：如图 所 ，即 ,又由 R+r=AH= 可AHMBNOA13rR63a得内切球，外接球 2.64Ra方法三： 如图设延长 AH 交球面上一点 K,则 AK=2R,在直角三角形 ABK 中由射影定理得 即 故得 .2ABHK263aR64a方法四：如图正四面体可补成一个边长为 的正方体，显然正方体的外接球2a即为正四面体的外接球，而 故可得 .3()R64四面体的内切球问题：关键是抓住球心到四面体的每个面的距离等于球的半径来找等量关系【例6】求棱长为a的正四面体内切球的体积内切球，外接球
3、3练习1.（球内接正四面体问题） （2003 年江苏卷第 12 题）一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）2 6)3)4)3) DCBA方法一：将这个正四面体放入一个正方体中，再将这个正方体放入球中与球相外接。因为正方体的对角线就是球的直径，而正四面体的棱就是正方体的侧面对角线。所以，设正方体的棱长为 a，则有 a= ，a=1，2故选 A。此题是典型的考查转化、化归思.3,2,32球SRaR想。 方法二：画图3.（球内接正四面体问题） 如果三棱锥的每条侧棱长和底面边长都是 a，那么这个三棱锥的外接球的体积是（ A ）（A） （B） （C） （D ）386a32
4、76a3968a364.（球内接正方体问题） （06 年福建卷）已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为 ，则正方体的棱长为 。32345.（球内接棱柱问题） 若一个底面边长为 ，棱长为 的正六棱柱的所有顶326点都在一个平面上，则此球的体积为 9内切球，外接球 46. （球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为 。147. （正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球 (球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的 6 个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 15 。8.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥SABC中，侧棱SC上侧面SAB，侧棱SC=2 ，则此正三棱锥的外接球的表面积为 （方法：补成长方体）3R9.（球内接正四棱锥问题）半径为 的球内接一个各棱长都相等的四棱锥求R该四棱锥的体积 32V10.（正三棱锥球内切问题） 正三棱锥的高为1，底面边长为 ，正三棱锥内62有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积 R说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径 这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决
