1、1处理球的“内切” “外接”问题一、球与棱柱的组合体问题：1 正方体的内切球：设正方体的棱长为 ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。a（1）截面图为正方形 的内切圆，得 ；EFGH2aR（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 4 作截面图，圆为正方形 的外接圆，易得 。Oa（3） 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图 5，以对角面 作截面图得，圆 为1AO矩形 的外接圆，易得 。CA1 aOAR2312.在球面上有四个点 、 、 、 .如果 、 、 两两互相垂直，且 ,PABCPABCaPCBA求这个球的表面积是_.【构
2、造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。 】3.已知底面边长为 正三棱柱 的六个顶点在球 上，又知球 与此正三棱柱的 5 个面都a1CBA1O2相切，求球 与球 的体积之比与表面积之比。1O2分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图 6，由题意得两球心 、 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱 和它们的球心作截面，1O2 1A设正三棱柱底面边长为 ，则 ，正三棱柱aaR632的高为 ，由 中，得Rh32DAt1图 3 图 4 图 5图 62，222221 15633aaRaR
3、 aR125，1:5:2121S:2V二 棱锥的内切、外接球问题4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图 1 所示，设点 是内切球的球心，正四面体棱长为 由图形Oa的对称性知，点 也是外接球的球心设内切球半径为 ，外接球半径r为 R在 中， ，即 ，得BEt22EB223R，得aR46r3【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( 为正四面4h体的高)，且外接球的半径 ，从而可以通过截面图中 建立棱长与半径之间的关系。43hOBERt5.
4、正三棱锥 ，底面边长为 3，侧棱长为 2，则其外接球和内切球的半径是多少SABC6. 正四棱锥 ，底面边长为 2，侧棱长为 3，则其外接球和内切球的半径是多少D练习：1.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，2则此球的表面积为 2. （球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 。3设 是球 面上的四点,且 两两互相垂直,若 ,PABCO,PABCPABCa则球心 到截面 的距离是 .4.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥 中，侧棱 ，侧棱 ，SS侧 面 2S则此正三棱锥的外接球的表面积为
5、5.（球内接棱柱问题） 若一个底面边长为 ，棱长为 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，326则此球的体积为 6.（正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的 6 个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 。7.（球内接正四棱锥问题）半径为 的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥则四棱锥的体积为 R图 13 8.（正三棱锥球内切问题） 正三棱锥的高为3，底面边长为 ，正三棱锥内有一个球与其四个面相83切则球的表面积与体积分别为 9. 三棱锥 的两条棱 ,其余各棱长均为 ，求三棱锥的内切球半径.ABCD6ABC5说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径 这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法R解决1 ；2 ；3 ；4 ；5 ；6 ；7 ；8 3146a1291:532R6425;91
