1、1因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法
2、.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a 2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (ab) 2 = a22ab+b2 -a22ab+b2=(ab)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a3+b3-a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(
3、a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知 是 的三边，且 ，abc，ABC2abcabc则 的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解： 22222cccca2()()()0abab2三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： bnma分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= )()(bna= 每组之间还有公因式！= )(nm例 2、分解因式： xyx
4、5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式=)()(bay)(bxa= =52x )2(5)(bayx= =)(52ba练习：分解因式 1、 2、bca2 1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： yx2分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式= )()(2a= yxyx=例 4、分解因式： 22cba解：原式= )(= (练习：分解因式 3、 4、yx3922 yzx22综合练习：（1） （2）23baxbax2（3） （4）18692y
5、 aba491262（5） （6）234 yxyx24（7） （8）2zaba（9） （10）)1()(my )()(abca（11） （12）bcc2)(222b33四、十字相乘法.（一）二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式 进行分解。)()(2 qxpqxpx特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知 0 5，且 为整数，若 能用十字相乘法分解因a23xa式，求符合条件的 .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式 ax2+bx+c，都要求0 而且是一个完全平方数。24bc于是 为完全平方数，98a
6、1例 5、分解因式： 652x分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有 23的分解适合，即 2+3=5。 1 2解： = 1 3 2x32)(2x= 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： 672x解：原式= 1 -1 )6()(1= 1 -6 )(（-1）+（-6 ） = -7练习 5、分解因式(1) (2) (3)242x352a542x4练习 6、分解因式(1) (2) (3)2x152y24102x（二）二次项系
7、数不为 1 的二次三项式 cbxa2条件：（1） 2a11（2） c22（3） 11b分解结果： =x2 )(2cxa例 7、分解因式： 0分析： 1 -23 -5 （-6）+（-5）= -11解： =32x)5(2x练习 7、分解因式：（1） （2）6752732x（3） （4）3102 106y（三）二次项系数为 1 的齐次多项式例 8、分解因式： 228ba分析：将 看成常数，把原多项式看成关于 的二次三项式，利用十字相ba乘法进行分解。1 8b1 -16b 8b+(-16b)= -8b解： =228ba)16(8)16(bab= )(练习 8、分解因式(1) 223yx(2) (3)8
8、6nm26ba（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式例 9、 例 10、227yx 232xy1 -2y 把 看作一个整体 1 -1 xy2 -3y 1 -2 5(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=)32)(yx)(1xy练习 9、分解因式：（1） （2）224715yx862a综合练习 10、 （1） （2）36x 22151yx（3） （4）10)()(2yx 34)(ba（5） （6）2y42 nmnm（7） （8）34x 222 )(10)(3)(5ba（9） （10）1062yx22 )()(1)(y思考：分解因式： abcxabcx2
9、五、换元法。(1)、换单项式例 1 分解因式 x6 + 14x3 y + 49y2.分析：注意到 x6=（x 3） 2，若把单项式 x3 换元，设 x3 = m，则 x6= m2，原式变形为m2 + 14m y + 49y2= (m + 7y)2 = ( x3 + 7y)2.(2)、换多项式例 2 分解因式(x 2+4x+6) + (x2+6x+6) +x2.分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设 x2 +6= m，则 x2+4x+6= m+4x，x 2+6x+6= m+6x，原式变形为(m+4x)(m+6x)+x2= m2 +10mx+24x2+x2= m2 +
10、10mx+25x2= (m+5x)2= ( x2 +6+5x)26= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”. 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”. 比如，设 x2+4x+6=m，则 x2+6x+6=m+2x，原式变形为m(m+2x)+ x2 = m2+2mx+x2= (m+x)2= ( x2+4x+6+x)2= ( x2+5x+6)2= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法” ，可以
11、借用平方差公式简化运算. 对于本例，设 m= (x2+4x+6) + (x2+6x+6)= x2+5x+6，则 x2+4x+6=m-x，x 2+6x+6=m+x， 12(m+x)(m-x)+x2= m2-x2+x2 = m2= (x2+5x+6)2= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.例 3 分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积. 无论如何分组，最高项都是 x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同. 因此，把 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为(x
12、-1) (x+2)(x-3)(x+4) = (x2+x-2) (x2+x-12)，从而转化成例 2 形式加以解决. 我们采用“均值换元法” ，设 m= (x2+x-2)+ (x2+x-12)=x2+x-7，则12x2+x-2=m+5，x 2+x-2= m-5，原式变形为(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=( x2+x-7+1)( x2+x-7-1)= ( x2+x-6)( x2+x-8)= (x-2)(x+3)( x2+x-8).(3)、换常数例 1 分解因式 x2(x+1)-20032004x.分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效. 注意到 200
13、3、2004 两7个数字之间的关系，把其中一个常数换元. 比如，设 m=2003，则2004=m+1. 于是，原式变形为x2(x+1) m(m+1)x= xx(x+1)-m(m+1) = x(x2+x-m2-m)= x(x2 -m2) +(x-m)= x(x+m) (x-m)+(x-m)= x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).例 13、分解因式（1） 205)1205(xx（2） 63)1(解：（1）设 2005= ，则原式=aa(= )= 2051205x（2）型如 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相ebcd乘
14、。原式= 222)6)(7(xx设 ，则A65xA7原式= = =2)(2)(练习 13、分解因式（1） )(42yyx（2） 90383x（3） 22)5()1(aa例 14、分解因式（1） 6234xx观察：此多项式的特点是关于 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称” 。这种多项式属于“等距离多项式” 。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式= =)12(2xx6)1()(2x设 ，则t1t原式= =6)2（ 02= =5tx 215xx8= =2152xx1252xx= )()1(（2） 4234x解：原式= =21xx 1412xx设 ，则y
15、12y原式= =2(43)x(1)3= =x122x练习 14、 （1） 6776234（2） )(12x六、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（1） 432x解法 1拆项。 解法 2添项。原式= 原式=23x 43xx= = )1()1)( )()(= = =11=42)2= =)(x (x（2） 369解：原式= )1()()1(369x= )1()(33xx= 3= 2)()(62练习 15、分解因式（1） （2）893x 424)1()()1(xx（3） （4）1724 2a（5） （6）)(y422 cbacab9七、待定系数法。例 16、分解因式 613622yxyx分析：原式
16、的前 3 项 可以分为 ，则原多项)2(yx式必定可分为 )(nm解：设 =22 )(nm =)(yxyx myx)3(622 =136nn)(22对比左右两边相同项的系数可得 ，解得6132m32原式= )3)(23(yx例 17、 （1）当 为何值时，多项式 能分解因式，并分652yx解此多项式。（2）如果 有两个因式为 和 ，求 的值。823bxa12ba（1）分析：前两项可以分解为 ，故此多项式分解的形式)(yx必为 )(by解：设 =652mxba则 = ay)()(2比较对应的系数可得： ，解得： 或6ab13m2当 时，原多项式可以分解；1当 时，原式= ；m)(2(yx当 时，
17、原式=3（2）分析： 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相823bxa乘，因此第三个因式必为形如 的一次二项式。c解：设 = )(2)1(x则 =23 c23310 解得 ，823cba417cba =21练习 17、 （1）分解因式 2910322yxxy（2）分解因式 675（3） 已知： 能分解成两个一次因p4式之积，求常数 并且分解因式。p（4） 为何值时， 能分解成两个一k 2322yxkxy次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做把这个多项式分解因式。2 分解因式： m 3-4m= .3.分解因式： x 2
18、-4y2= _ _.4、分解因式： 4x=_ _。5.将 xn-yn 分解因式的结果为(x 2+y2)(x+y)(x-y)，则 n 的值为 . 6、若 5,6y，则2x=_，2xy=_。二、选择题7、多项式 3223150mnn的公因式是( )A、 B、 C、 5 D、 2m8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )11A、 239aaB、 2ababC、 24545D、2 332mm10.下列多项式能分解因式的是（ ）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+411把（xy） 2（yx）分解因式为（ ）A （xy） （xy1） B （yx） （xy1）C
19、 （yx） （yx1） D （yx） （yx1）12下列各个分解因式中正确的是（ ）A10ab 2c6ac 22ac2ac（5b 23c）B （ab） 2（ba） 2（ab） 2（ab1）Cx（bca）y（abc）abc（bca） （xy1）D （a2b） （3ab）5（2ba） 2（a2b） （11b2a）13.若 k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么 k 应为（ ）A.2 B.4 C.2y2 D.4y2三、把下列各式分解因式：14、 nxy 15、 294nm16、 mn 17、 32ab 18、 2416xx19、1222)(16)(9nm； 五、解答题20、如图，在一块边长 a=
20、6.67cm 的正方形纸片中，挖去一个边长b=3.33cm 的正方形。求纸片剩余部分的面积。21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径 45dcm，外径 75Dc，长 3lm。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？( 取 3.14，结果保留 2 位有效数字)22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。ldD132428416842() 1(3) 1(5) _xxxxx经典二：1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1. 分解因式 xx54321分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取x54
21、321和公因式后，再进一步分解；也可把 ， ， 分别看成一x54x321组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式 ()()x5432114xx3222211()()()()解二：原式= xx5431xx2422111()()()()(2. 通过变形达到分解的目的例 1. 分解因式 x324解一：将 拆成 ，则有2原 式 xx32221()()()解二：将常数 拆成 ，则有 43原 式 xxx322114()()()3. 在证明题中的应用例：求证：多项式 的值一定是非负数()x24102分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数
22、，需要变形成完全平方数。证明： ()xx2410215()()()()xx237107251456设 ，则yx2原 式无 论 取 何 值 都 有 的 值 一 定 是 非 负 数() ()()()yyyxx1460816422224. 因式分解中的转化思想例：分解因式： ()()()abcabc333分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察 a+b，b+c 与a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B原 式 ()()()ABABabcabc3322332说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨例 1.在
23、 中，三边 a,b,c 满足ABCabcabc221610求证： acb2证明： b16016abcbacbabcac222691050358802即 ， 即于 是 有即 ()()说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例 2. 已知： _xx1213， 则解： 3()x1212说明：利用 等式化繁为易。xx221()题型展示1. 若 x 为任意整数，求证： 的值不大于 100。()()7342x解： 104)3(72x()()()()(xx51568140732222说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于 100，即要求它们的差小于零，把它
24、们的差用因式分解等方法恒等变形17成完全平方是一种常用的方法。2. 将aa222 221 674()()分 解 因 式 ， 并 用 分 解 结 果 计 算 。解： a2()a2221()()67436143892()说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟1. 分解因式：（ ）（ ）1308310825542xxxaa()()（ ）（ ）47623yyx2. 已知： 的值。xyxy613， ， 求 ：183. 矩形的周长是 28cm，两边 x,y 使 ，求矩形的xy3230面积。4. 求证： 是 6 的倍数。 （其中 n 为整数）n355. 已知：a、b、c 是非零实数，且，求 a+b+c
25、 的值。abcabca21113， ()()()6. 已知：a、b、c 为三角形的三边，比较 的大小。abcab2224和19经典三：因式分解练习题精选一、填空：（30 分）1、若 是完全平方式，则 的值等于_。16)3(2xmx m2、 则 =_ =_2nn3、 与 的公因式是2yx614、若 = ，则nm)(422yxym=_，n=_。205、在多项式 中，可以用平方差公式分解因式的2351yy有_ ，其结果是 _。6、若 是完全平方式，则 m=_。6)3(2xmx7、 _)(2_x8、已知 则,015042x ._26x9、若 是完全平方式 M=_。)(62Mba10、 ， 22)3(_
26、xx2)3(9_x11、若 是完全平方式，则 k=_。229yk12、若 的值为 0，则 的值是_。42x5123x13、若 则 =_。)(152aa14、若 则 _。6,42yxx15、方程 ，的解是_。02二、选择题：（10 分）1、多项式 的公因式是（ ）)()(xbabxaA、a、 B、 C、 D、 )(ax2、若 ，则 m，k 的值分别是（ ）22)3(9xkmx21A、m=2，k=6，B、m=2 ，k=12，C 、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、下列名式： 中能422222 ,)(, yxxyxy 用平方差公式分解因式的有（ ）A、1 个，B、2 个，C、3 个， D、
27、4 个4、计算 的值是（ ）)10(9)1(22A、 B、2.,0三、分解因式：（30 分）1 、 2345xx2 、 263 、 22)(4)(5xyx4、 221y5、 x6、 137、 2axabxb8、 81249 、 2436yx2210、 24)(3)2(1xx四、代数式求值（15 分）1、 已知 ， ，求 的值。312yx2x434yx2、 若 x、y 互为相反数，且 ，求 x、y 的值4)1()(22yx3、 已知 ，求 的值2ba)(8)(22baba五、计算： （15）（1） 0.75 6.243.（2） 0201（3） 224568六、试说明：（8 分）1、对于任意自然数
28、 n， 都能被动 24 整除。22)5()7(n2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。七、利用分解因式计算（8 分）231、一种光盘的外 D=11.9 厘米，内径的 d=3.7 厘米，求光盘的面积。 （结果保留两位有效数字）2、正方形 1 的周长比正方形 2 的周长长 96 厘米，其面积相差 960 平方厘米求这两个正方形的边长。八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：甲：这是一个三次四项式乙：三次项系数为 1，常数项为 1。丙：这个多项式前三项有公因式丁：这个多项式分解因式时要用到公式法若这四个同学描述
29、都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。 （4 分）经典四：因式分解一、 选择题1、代数式 a3b2 a2b3, a3b4a 4b3,a4b2a 2b4的公因式是（ 1）A、a 3b2 B、a 2b2 C、a 2b3 D、a 3b3 2、用提提公因式法分解因式 5a(xy)10b(x y)，提出的公因式应当为（ ）24A、5a10b B、5a10b C 、5(xy) D、yx3、把8m 312m 24m 分解因式，结果是（ ）A、4m(2m 23m) B、4m(2m 23m 1) C、 4m(2m23m1) D、2m(4m 26m 2)4、把多项式2x 44x 2分解因式，
30、其结果是（ ）A、2(x 42x 2) B、2(x 42x 2) C、x 2(2x24) D、 2x 2(x22)5、 （2） 1998（2） 1999等于（ ）A、2 1998 B、2 1998 C、2 1999 D、2 19996、把 16x 4分解因式，其结果是（ ）A、(2x) 4 B、(4x 2)( 4x 2) C、(4x 2)(2x)(2x) D、(2x) 3(2x)7、把 a42a 2b2b 4分解因式，结果是（ ）A、a 2(a22b 2)b 4 B、(a 2b 2)2 C、(ab) 4 D、(ab) 2(ab) 28、把多项式 2x22x 分解因式，其结果是（ ）1A、(2x
31、 )2 B、2( x )2 C、(x )2 D、 (x1)112 9、若 9a26(k 3)a1 是完全平方式，则 k 的值是（ ）A、4 B、2 C、3 D、4 或 210、（2xy）(2xy) 是下列哪个多项式分解因式的结果（ ）A、4x 2y 2 B、4x 2y 2 C、4x 2y 2 D、4x 2y 2 11、多项式 x23x54 分解因式为（ ）25A、(x6)(x9) B、(x6)(x9)C、(x6)(x9) D、 (x6)(x9)二、填空题1、2x 24xy2x = _(x2y1)2、4a 3b210a 2b3 = 2a2b2(_)3、(1a)mna1=(_)(mn1)4、m(m
32、n) 2(nm) 2 =(_)(_)5、x 2(_)16y 2=( )26、x 2(_) 2=(x5y)( x5y)7、a 24(a b)2=(_)(_)8、a( xyz)b(xyz)c(xyz)= (xy z)(_)9、16( xy) 29(xy) 2=(_)(_)10、(a b) 3 (ab)=(ab)(_)(_)11、x 23x2=(_)(_)12、已知 x2px12=(x2)(x6)，则 p=_.三、解答题1、把下列各式因式分解。(1)x22x 3 (2)3y36y 23y(3)a2(x2a) 2a(x2a) 2 (4)(x2) 2x2(5)25m210mnn 2 (6)12a2b(x
33、y)4ab(yx)26(7)(x1) 2(3x2)(23x) (8)a 25a6(9)x211x24 (10)y 212y28(11)x24x5 (12)y 43y 328y 22、用简便方法计算。（1）999 2999 （2）202 254 2256352(3) 198619723、已知：xy= ,xy=1.求 x3y2x 2y2xy 3的值。227四、探究创新乐园1、若 ab=2,ac= ,求(bc) 23(bc) 的值。1492、求证：11 1111 1011 9=119109五、证明(求值)1已知 ab=0，求 a32b3a2b2ab2 的值2求证：四个连续自然数的积再加上 1，一定是
34、一个完全平方数283证明：(acbd) 2(bcad) 2=(a2b 2)(c2d 2)4已知 a=k3，b=2k2，c=3k1，求a2b2c22ab2bc2ac 的值5若 x2mxn=(x3)(x4)，求(mn) 2的值6当 a 为何值时，多项式 x27xyay 25x43y24 可以分解为两个一次因式的乘积297若 x，y 为任意有理数，比较 6xy 与 x29y 2的大小8两个连续偶数的平方差是 4 的倍数经典五：因式分解分类练习题因式分解提公因式法1、下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )A. B. C. D.yx2x22yx22yx302、在把 分解因式时，应提取的公因式是(
35、 )xya32A. B. C. D.axay3、下列变形是因式分解的是( )A. B.)(22yx 2)1(32xC. D.11yx1nn4、多项式 的公因式是 343424323 bababa，。5、多项式 = )()( yxzyzxy。6、已知 ，则代数式cba2。)()()( cba7、用提公因式法将下列各式因式分解： ； ； ； yx236xzyyxz43； ab1236 ； )()(yx)mxm8、若 ，求 的值。57ba )78)(12()87)(43( ababa9、利用因式分解计算：313.14+273.14+42 3.14当 时，求 的值。412075zyx， yzxxyz22因式分解公式法
