1、10第二章 控制系统的数学模型练习题及答案2-1 试建立图2-27所示各系统的微分方程。其中外力 ，位移 和电压 为)(tF)(tx)(tur输入量；位移 和电压 为输出量； （弹性系数）， （阻尼系数）， （电阻），)(ty)(tuckfR（电容）和 （质量）均为常数。Cm解（a）以平衡状态为基点，对质块 进行受力分析（不再考虑m重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出2)(dtytftkyF整理得)(1)(2 tFmtktfdt（b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有（1）)()(11dtyxfxk对B点有（2）ktdf21)(联立式（1）、（2）
2、可得： dtxyfty2121)(11(c) 应用复数阻抗概念可写出（3）)(1)(sUIcsRUcr（4）2)(sI联立式（3）、（4），可解得： CsRsrc2112)()(微分方程为: rcc udtuRCdt21(d) 由图解2-1（d）可写出（5）sIsIsUcRr )()()(（6）1Ic（7）CsIsscRc 1)()(联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量 和，可得：)(IR132)(2ssUrc微分方程为 rrrccc uRCdttuRCdtut 2222 12-2 试证明图2-28中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。解(a) 取A
3、、B两点分别进行受力分析，如图12解2-2(a)所示。对A点有(1)()()( 122 yfyxfk对B点有 (2)11kf对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量 ，整理后得1y= )(sXY2121122()ffsskk(b) 由图可写出= sCRUc2)(sCRssUr112)(整理得= )(sUrc )(212121 ssR比较两系统的传递函数，如果设 则两系统的传递函数2,kRff相同，所以两系统是相似的。2-3 假设某容器的液位高度 与液体流入量 满足方程 ，hrQrQShdt1式中 为液位容器的横截面积， 为常数。若 与 在其工作点 附近做微量变Sr ),(0r化，试导出
4、关于 的线性化方程。hrQ解 将 在 处展开为泰勒级数并取一次近似0（1）hhdth0021|0代入原方程可得（2）)()()( 0000 rrQSSthd在平衡工作点处系统满足13（3）00rQhdt式（2），（3）相减可得 的线性化方程rtS022-4 试求图2-29所示各信号 的象函数 。)(tx)(sX解（a） )(2)0ttx= sXse1（b） )()()()( 321 tctbtabt = ssses（c） = )(tx )(4)()2(422 TttTttT1ssesX2-5 求下列各拉氏变换式的原函数。(1) 1)(se(2) )3(2X(3) )(ss解 (1) 1)(te
5、x14(2) 原式 )3(124)(83)2(41)(23 ssssx（t） 1322 tttt ee(3) 原式 1)(2)(122 sss )(tx)co(intet2-6 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 ，试求系ttetc2)(统的传递函数和脉冲响应。解 单位阶跃输入时，有 ，依题意sR1)(ssC1)2(321)( )(sGtteLtk 211 4)(2-7 已知系统传递函数 ，且初始条件为 ， ，32(ssRC1)0(c0)(c试求系统在输入 作用下的输出 。)1(tr)(tc解 系统的微分方程为（1）2(32 trtdtct考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得（2）s
6、CssC)()()( 214232 ttetc41)(2-8 求图2-30所示各有源网络的传递函数 。)(sUrc15解(a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出 12)(RsUrc(b) 21112 )()( sCsCRsrc (c) )1()( 212sRRssUrc 2-9 某位置随动系统原理框图如图2-31所示，已知电位器最大工作角度 330 0，mQ功率放大器放大系数为 。3k（1） 分别求出电位器的传递函数 ，第一级和第二级放大器的放大系数 ， ；0k 1k2（2） 画出系统的结构图；（3） 求系统的闭环传递函数 。)(sQrc16解(1) 电位器的传递函数180300mQEK根
7、据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为， 13121032K(2) 可画出系统结构如图解2-9所示：(3) )1(1)( 320323210sTKsTKsQmmtmrc321023210 smtm2-10 飞机俯仰角控制系统结构图如图2-32所示，试求闭环传递函数 。)(sQrc解 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数 68.0)42.18.()7.09(6)(23 sKsKsQrc172-11 已知系统方程组如下： )()( )( )()()(343523612 871sXGsCsGsCsRs试绘制系统结构图，并求闭环传递函数 。)(R解 系统结构图如图解2-11所示。利用结
8、构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为 84321743215436321)( GGGsR2-12 试用结构图等效化简求图2-32所示各系统的传递函数 。)(sRC18解 （a）所以： 43213243211)( GGsRC（b）所以： HGsRC21)(（c）19所以： 321321)( GGsRC（d）所以： 2413213212 41)( HGHGsRC（e）所以： 23121234)( HGGsRC202-13 已知控制系统结构图如图2-34所示，求输入 时系统的输出 。()31rtt)(tc解 由图可得 )3(12)(12)( SsssRC又有 3)则 312)(1(
9、ssSsC即 tteLtc32) 2-14 试绘制图2-36所示系统的信号流图。解2-15 试绘制图2-36所示信号流图对应的系统结构图。21解2-16 试用梅逊增益公式求2-12题中各结构图对应的闭环传递函数。解 （a）图中有1条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路， 2114321 GLGP ， 213322 )(LL 432132432111)(sRC（b）图中有2条前向通路，1个回路， HGLGPGP212211 LHsRC2121)(（c）图中有1条前向通路，3个回路， 211321 GLGP ， )(32322 LL 3213211)(sRC（d）图中有2条前向通路，5个回路22
10、， 112412321 GPGP ， 4143233 GLLHLL ， )(5421245H2413213212 411)( HsRC （e）图中有2条前向通路，3个回路， 2421321GPGP ， )(32123312 LHLLHL 21341)( HGsRC 2-17 试用梅逊增益公式求图2-37中各系统的闭环传递函数。解 （a）图中有1条前向通路，4个回路 14321，GP23)(14322434 43213121 LHGL HGHGL ， ，则有 2434321321321)(PsRC （b）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路 ， 1124321321 HGLGP ，
11、32313LHGL，2121)(则有 313213213142)()PsRC （c）图中有4条前向通路，5个回路 ， 124232121 GPG ， 215LLL ， )(43214321 则有 4321)(PsRC 212121221 3GGG（d）图中有2条前向通路，5个回路 ， 232121 PP ， 213534211 HLLHLL ，)(54321则有 )sRC213212123HGHG（e）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路24， 123421321 LGPGP， 3HLLHL，2121)(则有 21321323124)() HGsRC2-18 已知系统的结构图如图2
12、-38所示，图中 为输入信号， 为干扰信号，试)sR(sN求传递函数 ， 。)(sN解（a）令 ，求 。图中有2条前向通路,3个回路，有1对互不接触回路。0)(sN)(sRC， HGLGPGP 2123121 ， 321LH，3321)(则有 HsRC 3213212)() 令 ，求 。有3条前向通路，回路不变。0(N， 121421 GPLP， 3343G，121)(则有 HGHsNC 3213212443 )() 25（b）令 ，求 。图中有1条前向通路，1个回路。0)()(21sNs， )(sRC， 1111 2LKLKP则有 )()2()(ssRC令 ，求 。图中有1条前向通路，回路不变。02N， C， 11sP则有 )1(2)()(1 KsC令 ，求 。图中有1条前向通路，回路不变。0sNsR， 2C， 11sKP则有 )1(2)()(2 KsNC（c）令 ，求 。图中有3条前向通路，2个回路。0sR ， 111 3421324421 GPGPGP， )(32 LL则有 43422111)(sRC令 ，求 。有1条前向通路，回路不变。0N，41GP则有 43421)( GsC
