1、2015 年重庆中考数学 24 题专题练习1、如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，E 为 AD 中点，连接 BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若BEC=90 ，过点 B 作 BFCD，垂足为点 F，交 CE 于点 G，连接 DG，求证：BG=DG+CD2、如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，E 为 AB 延长线上一点，连接 ED，与 BC 交于点H过 E 作 CD 的垂线，垂足为 CD 上的一点 F，并与 BC 交于点 G已知 G 为 CH 的中点（1）若 HE=HG，求证：EBH GFC；（2）若 CD=4，BH=1 ，求 AD 的长3、如图，梯形
2、ABCD 中，ABCD，AD=DC=BC，DAB=60，E 是对角线 AC 延长线上一点，F 是 AD 延长线上的一点，且 EBAB，EF AF（1）当 CE=1 时，求BCE 的面积；（2）求证：BD=EF+CE4、如图在平行四边形 ABCD 中，O 为对角线的交点，点 E 为线段 BC 延长线上的一点，且 过点 E EFCA，交 CD 于点 F，连接 OF（1）求证：OFBC；（2）如果梯形 OBEF 是等腰梯形，判断四边形 ABCD 的形状，并给出证明5、如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，BF CD 于 F，延长 BF 交 AD 的延长线于 E，延长 CD 交 BA的延长
3、线于 G，且 DG=DE， AB= ，CF=6（1）求线段 CD 的长；（2）H 在边 BF 上，且 HDF=E，连接 CH，求证：BCH=45 EBC6、如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，D=45（1）若 AB=6cm， ，求梯形 ABCD 的面积；（2）若 E、F、G、H 分别是梯形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上一点，且满足 EF=GH， EFH=FHG，求证：HD=BE+BF7、已知：如图， ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 CD 至 F，使 DF=CD，连接 BF 交 AD 于点AE（1）求证：AE=ED；（2）若 AB=BC，求CAF
4、 的度数8、已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，分别交 BD、CD 于点 E、F（1）求证：DAE= DCE；（2）当 CG=CE 时，试判断 CF 与 EG 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论9、如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 上一点，点 F 是 CD 延长线上一点，连接 EF，若 BE=DF，点 P 是EF 的中点（1）求证：DP 平分ADC；（2）若AEB=75，AB=2 ，求 DFP 的面积10、如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，BD=BC，E 为 CD 的中点，交 BC 的延长线于 F；（1）证明：EF
5、=EA；（2）过 D 作 DGBC 于 G，连接 EG，试证明：EGAF 11、如图，直角梯形 ABCD 中，DAB=90 ，ABCD，AB=AD，ABC=60 度以 AD 为边在直角梯形 ABCD外作等边三角形 ADF，点 E 是直角梯形 ABCD 内一点，且EAD= EDA=15，连接 EB、EF（1）求证：EB=EF ；（2）延长 FE 交 BC 于点 G，点 G 恰好是 BC 的中点，若 AB=6，求 BC 的长12、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC=AD，C=60，AE BD 于点 E，F 是 CD 的中点，DG 是梯形ABCD 的高（1）求证：AE=GF；（2）设
6、AE=1，求四边形 DEGF 的面积13、已知，如图在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，DE AC 于点 F，交 BC 于点 G，交 AB 的延长线于点 E，且 AE=AC，连 AG （1）求证：FC=BE；（2）若 AD=DC=2，求 AG 的长14、如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，点 E 是 AB 边上一点，AE=BC，DEEC，取 DC 的中点 F，连接 AF、BF（1）求证：AD=BE；（2）试判断ABF 的形状，并说明理由15、 （2011 潼南县）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB CD，ADDC，AB=BC，且 AEBC（1）求证：AD=AE
7、；（2）若 AD=8，DC=4，求 AB 的长16、如图，已知梯形 ABCD 中，ADCB，E，F 分别是 BD，AC 的中点，BD 平分ABC（1）求证：AEBD； （2）若 AD=4，BC=14，求 EF 的长17、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，D=90，BE AC，E 为垂足，AC=BC （1）求证：CD=BE；（2）若 AD=3，DC=4，求 AE18、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABAC，B=45，AD=1 ，BC=4，求 DC 的长19、已知梯形 ABCD 中，ADBC，AB=BC=DC，点 E、 F 分别在 AD、AB 上，且 （1）求证：BF=EF ED；（2
8、）连接 AC，若B=80，DEC=70，求ACF 的度数20、如图，梯形 ABCD 中，ADBC，点 E 在 BC 上，AE=BE，且 AFAB，连接 EF（1）若 EFAF，AF=4，AB=6，求 AE 的长（2）若点 F 是 CD 的中点，求证：CE=BE AD21、如图，四边形 ABCD 为等腰梯形，ADBC，AB=CD，对角线 AC、BD 交于点 O，且 ACBD，DHBC （1）求证：DH= （AD+BC） ；（2）若 AC=6，求梯形 ABCD 的面积22、已知，如图，ABC 是等边三角形，过 AC 边上的点 D 作 DGBC，交 AB 于点 G，在 GD 的延长线上取点E，使 D
9、E=DC，连接 AE，BD（1）求证：AGEDAB；（2）过点 E 作 EFDB，交 BC 于点 F，连 AF，求AFE 的度数23、如图，梯形 ABCD 中，ADBC，DE=EC，EFAB 交 BC 于点 F，EF=EC，连接 DF（1）试说明梯形 ABCD 是等腰梯形；（2）若 AD=1，BC=3，DC= ，试判断DCF 的形状；（3）在条件（2）下，射线 BC 上是否存在一点 P，使PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出 PB 的长；若不存在，请说明理由24、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=BCD=60，AD=DC，E、F 分别在 AD、DC 的延长线上，且DE=CFAF
10、 交 BE 于 P（1）证明：ABEDAF；（2）求BPF 的度数25、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=AD=DC，BDDC，将 BC 延长至点 F，使 CF=CD（1）求ABC 的度数；（2）如果 BC=8，求DBF 的面积？26、如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC=10cm，AC 交 BD 于 G，且AGD=60，E、F 分别为 CG、AB的中点（1）求证：AGD 为正三角形；（2）求 EF 的长度27、已知，如图，ADBC ，ABC=90 ，AB=BC，点 E 是 AB 上的点，ECD=45，连接 ED，过 D 作 DFBC于 F（1）若BEC=75 ，FC=3，
11、求梯形 ABCD 的周长（2）求证：ED=BE+FC28、 （2005 镇江）已知：如图，梯形 ABCD 中，AD BC，E 是 AB 的中点，直线 CE 交 DA 的延长线于点 F（1）求证：BCEAFE；（2）若 ABBC 且 BC=4，AB=6，求 EF 的长29、已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BC=DC， CF 平分 BCD，DFAB，BF 的延长线交 DC 于点 E 求证：（1）BFCDFC ；（2）AD=DE；（3）若DEF 的周长为 6，AD=2，BC=5 ，求梯形 ABCD 的面积30、如图，梯形 ABCD 中，ADBCC=90，且 AB=AD连接 BD，过 A
12、点作 BD 的垂线，交 BC 于 E（1）求证：四边形 ABED 是菱形；（2）如果 EC=3cm，CD=4cm，求梯形 ABCD 的面积参考答案1、如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，E 为 AD 中点，连接 BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若BEC=90 ，过点 B 作 BFCD，垂足为点 F，交 CE 于点 G，连接 DG，求证：BG=DG+CD证明：（1）已知等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，E 为 AD 中点，AB=DC，BAE=CDE，AE=DE，BAECDE，BE=CE；（2）延长 CD 和 BE 的延长线交于 H， BFCD，HEC=90，E
13、BF+H=ECH+H=90EBF=ECH，又BEC= CEH=90，BE=CE（已证） ，BEGCEH，EG=EH，BG=CH=DH+CD，BAECDE（已证） ，AEB=GED，HED=AEB，GED=HED，又 EG=EH（已证） ，ED=ED，GEDHED，DG=DH，BG=DG+CD2、如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，E 为 AB 延长线上一点，连接 ED，与 BC 交于点H过 E 作 CD 的垂线，垂足为 CD 上的一点 F，并与 BC 交于点 G已知 G 为 CH 的中点（1）若 HE=HG，求证：EBH GFC；（2）若 CD=4，BH=1 ，求 AD 的
14、长（1）证明：HE=HG，HEG=HGE，HGE=FGC，BEH=HEG，BEH=FGC，G 是 HC 的中点，HG=GC，HE=GC，HBE=CFG=90EBHGFC；（2）解：ED 平分AEF，A= DFE=90，AD=DF，DF=DCFC，EBHGFC，FC=BH=1，AD=41=33、如图，梯形 ABCD 中，ABCD，AD=DC=BC，DAB=60，E 是对角线 AC 延长线上一点，F 是 AD 延长线上的一 点，且 EBAB， EFAF（1）当 CE=1 时，求BCE 的面积；（2）求证：BD=EF+CE（2）过 E 点作 EMDB 于点 M，四边形 FDME 是矩形，FE=DM，
15、BME=BCE=90，BEC= MBE=60，BMEECB，BM=CE，继而可证明 BD=DM+BM=EF+CE（1）解：AD=CD，DAC=DCA，DCAB，DCA=CAB， ，DCAB，AD=BC ，DAB=CBA=60，ACB=180（ CAB+CBA）=90，BCE=180ACB=90，BEAB，ABE=90，CBE=ABEABC=30，在 RtBCE 中，BE=2CE=2 ， ， （5 分）（2）证明：过 E 点作 EMDB 于点 M，四边形 FDME 是矩形，FE=DM，BME=BCE=90，BEC=MBE=60，BMEECB，BM=CE，BD=DM+BM=EF+CE（10 分）4
16、、如图在平行四边形 ABCD 中，O 为对角线的交点，点 E 为线段 BC 延长线上的一点，且 过点E 作 EFCA，交 CD 于点 F，连接 OF（1）求证：OFBC；（2）如果梯形 OBEF 是等腰梯形，判断四边形 ABCD 的形状，并给出证明解答：（1）证明：延长 EF 交 AD 于 G（如图） ，在平行四边形 ABCD 中，ADBC，AD=BC，EFCA，EG CA，四边形 ACEG 是平行四边形，AG=CE，又 ，AD=BC， ，ADBC，ADC=ECF，在CEF 和DGF 中，CFE=DFG， ADC=ECF，CE=DG，CEFDGF（AAS） ，CF=DF，四边形 ABCD 是平
17、行四边形，OB=OD，OFBE（2）解：如果梯形 OBEF 是等腰梯形，那么四边形 ABCD 是矩形证明：OFCE ，EF CO，四边形 OCEF 是平行四边形，EF=OC，又 梯形 OBEF 是等腰梯形，BO=EF，OB=OC，四边形 ABCD 是平行四边形， AC=2OC，BD=2BO AC=BD，平行四边形 ABCD 是矩形5、如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，BF CD 于 F，延长 BF 交 AD 的延长线于 E，延长 CD 交 BA 的延长线于 G，且 DG=DE，AB= ，CF=6 （1）求线段 CD 的长；（2）H 在边 BF 上，且 HDF=E，连接 CH，求
18、证：BCH=45 EBC（1）解：连接 BD，由ABC=90，AD BC 得 GAD=90，又 BFCD，DFE=90又 DG=DE，GDA=EDF，GADEFD，DA=DF，又 BD=BD，RtBADRtBFD（HL ） ，BF=BA= ，ADB=BDF又 CF=6，BC= ，又 ADBC，ADB=CBD，BDF=CBD，CD=CB=8（2）证明：ADBC，E=CBF，HDF=E，HDF=CBF，由（1）得，ADB=CBD ，HDB=HBD，HD=HB，由（1）得 CD=CB，CBDHFCBH即 =CDHCBH，DCH=BCH，BCH= BCD= = 6、如图，直角梯形 ABCD 中，ADB
19、C，B=90，D=45（1）若 AB=6cm， ，求梯形 ABCD 的面积；（2）若 E、F、G、H 分别是梯形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上一点，且满足 EF=GH， EFH=FHG，求证：HD=BE+BF解：（1）连 AC，过 C 作 CMAD 于 M，如图，在 RtABC 中，AB=6 ，sin ACB= = ，AC=10，BC=8，在 RtCDM 中， D=45，DM=CM=AB=6，AD=6+8=14，梯形 ABCD 的面积= （8+14）6=66 （cm 2） ；（2）证明：过 G 作 GNAD，如图，D=45，DNG 为等腰直角三角形，DN=GN，又 ADBC，BF
20、H=FHN，而EFH= FHG，BFE=GHN，EF=GH，RtBEFRtNGH，BE=GN，BF=HN，DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE7、已知：如图，ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 CD 至 F，使 DF=CD，连接 BF 交 AD于点 E（1）求证：AE=ED；（2）若 AB=BC，求CAF 的度数（1）证明：如图四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AB=CD DF=CD，ABDFDF=CD，AB=DF四边形 ABDF 是平行四边形，AE=DE（2）解：四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB=BC，四边形 ABCD 是菱形ACBDCOD=90四边形
21、ABDF 是平行四边形，AFBDCAF=COD=908、已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，分别交 BD、CD 于点 E、F（1）求证：DAE= DCE；（2）当 CG=CE 时，试判断 CF 与 EG 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论（1）证明：在DAE 和DCE 中，ADE=CDE（正方形的对角线平分对角） ，ED=DE（公共边） ，AE=CE（正方形的四条边长相等） ，DAEDCE （SAS） ，DAE=DCE（全等三角形的对应角相等） ；（2）解：如图，由（1）知，DAEDCE，AE=EC，EAC=ECA（等边对等角） ；又 CG=CE（
22、已知） ，G=CEG（等边对等角） ；而CEG=2EAC（外角定理） ，ECB=2CEG（外角定理） ，4EACECA=ACB=45，G=CEG=30；过点 C 作 CHAG 于点 H，FCH=30，在直角ECH 中，EH= CH，EG=2 CH，在直角FCH 中，CH= CF，EG=2 CF=3CF9、如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 上一点，点 F 是 CD 延长线上一点，连接 EF，若 BE=DF，点 P 是EF 的中点（1）求证：DP 平分ADC；（2）若AEB=75，AB=2 ，求 DFP 的面积（1）证明：连接 PCABCD 是正方形，ABE=ADF=90，AB=ADB
23、E=DF，ABEADF （SAS ）BAE=DAF，AE=AF EAF=BAD=90P 是 EF 的中点，PA= EF，PC= EF，PA=PC又 AD=CD，PD 公共，PADPCD， （SSS ）ADP=CDP，即 DP 平分ADC；（2）作 PHCF 于 H 点P 是 EF 的中点，PH= EC设 EC=x由（1）知EAF 是等腰直角三角形，AEF=45，FEC=1804575=60，EF=2x，FC= x，BE=2 x在 RtABE 中，2 2+（2x） 2=（ x） 2 解得 x1=22 （舍去） ，x 2=2+2 PH=1+ ，FD= （2+2 ） 2=2 +4SDPF= （2 +
24、4） =3 510、如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，BD=BC，E 为 CD 的中点，交 BC 的延长线于 F；（1）证明：EF=EA；（2）过 D 作 DGBC 于 G，连接 EG，试证明：EGAF （1）证明：ADBC，DAE=F，ADE= FCEE 为 CD 的中点，ED=ECADEFCEEF=EA （5 分）（2）解：连接 GA，ADBC，ABC=90，DAB=90DGBC，四边形 ABGD 是矩形BG=AD，GA=BD BD=BC，GA=BC由（1）得ADEFCE ，AD=FCGF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA由（ 1）得 EF=EA，EGA
25、F （5 分）11、如图，直角梯形 ABCD 中，DAB=90 ，ABCD，AB=AD，ABC=60 度以 AD 为边在直角梯形ABCD 外作等边三角形 ADF，点 E 是直角梯形 ABCD 内一点，且EAD=EDA=15，连接 EB、EF （1）求证：EB=EF ；（2）延长 FE 交 BC 于点 G，点 G 恰好是 BC 的中点，若 AB=6，求 BC 的长（1）证明：ADF 为等边三角形，AF=AD，FAD=60 （1 分）DAB=90， EAD=15，AD=AB（2 分）FAE=BAE=75，AB=AF， （3 分）AE 为公共边FAEBAE（4 分）EF=EB（5 分）（2）解：如图
26、，连接 EC （ 6 分）在等边三角形ADF 中，FD=FA，EAD=EDA=15，ED=EA，EF 是 AD 的垂直平分线，则EFA= EFD=30 （7 分）由（1）FAEBAE 知EBA=EFA=30FAE=BAE=75，BEA=BAE=FEA=75，BE=BA=6FEA+BEA+GEB=180，GEB=30，ABC=60，GBE=30GE=GB （8 分）点 G 是 BC 的中点，EG=CGCGE=GEB+GBE=60，CEG 为等边三角形，CEG=60，CEB=CEG+GEB=90（9 分）在 RtCEB 中，BC=2CE，BC 2=CE2+BE2CE= ，BC= （10 分） ；解
27、法二：过 C 作 CQAB 于 Q，CQ=AB=AD=6，ABC=60，BC=6 =4 12、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC=AD，C=60，AE BD 于点 E，F 是 CD 的中点，DG是梯形 ABCD 的高（1）求证：AE=GF；（2）设 AE=1，求四边形 DEGF 的面积（1）证明：AB=DC ，梯形 ABCD 为等腰梯形C=60，BAD=ADC=120，又 AB=AD，ABD=ADB=30DBC=ADB=30BDC=90 （1 分）由已知 AEBD，AEDC （2 分）又 AE 为等腰三角形 ABD 的高，E 是 BD 的中点，F 是 DC 的中点，EFBCEFA
28、D四边形 AEFD 是平行四边形 （3 分）AE=DF（4 分）F 是 DC 的中点，DG 是梯形 ABCD 的高，GF=DF， （5 分）AE=GF （6 分）（2）解：在 RtAED 中，ADB=30 ，AE=1，AD=2在 RtDGC 中 C=60，并且 DC=AD=2，DG= （8 分）由（1）知：在平行四边形 AEFD 中 EF=AD=2，又 DGBC，DGEF，四边形 DEGF 的面积= EFDG= （10 分）13、已知，如图在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，DE AC 于点 F，交 BC 于点 G，交 AB 的延长线于点 E，且 AE=AC，连 AG（1）求证：
29、FC=BE；（2）若 AD=DC=2，求 AG 的长解答：（1）证明：ABC=90，DEAC 于点 F，ABC=AFEAC=AE，EAF= CAB，ABCAFE，AB=AFAEAB=ACAF，即 FC=BE；（2）解：AD=DC=2，DF AC，AF= AC= AEAG=CG，E=30EAD=90，ADE=60，FAD=E=30，FC= ，ADBC，ACG=FAD=30，CG=2，AG=214、如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，点 E 是 AB 边上一点，AE=BC，DEEC，取 DC 的中点 F，连接 AF、BF（1）求证：AD=BE；（2）试判断ABF 的形状，并说明理
30、由（1）证明：ADBC，BAD+ABC=180，ABC=90，BAD=ABC=90，DEEC，AED+BEC=90AED+ADE=90，BEC=ADE，DAE=EBC，AE=BC，EADEBC，AD=BE（2）答：ABF 是等腰直角三角形理由是：延长 AF 交 BC 的延长线于 M，ADBM，DAF=M，AFD=CFM，DF=FC，ADFMFC，AD=CM，AD=BE，BE=CM，AE=BC，AB=BM，ABM 是等腰直角三角形，ADFMFC，AF=FM，ABC=90，BFAM，BF= AM=AF，AFB 是等腰直角三角形15、 （2011 潼南县）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB CD，
31、ADDC，AB=BC，且 AEBC（1）求证：AD=AE；（2）若 AD=8，DC=4，求 AB 的长解答：（1）证明：连接 AC，ABCD，ACD=BAC，AB=BC，ACB=BAC，ACD=ACB，ADDC，AEBC ，D=AEC=90，AC=AC， ，ADCAEC， （AAS ）AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，设 AB=x，则 BE=x4，AE=8，在 RtABE 中AEB=90 ，由勾股定理得：8 2+（x 4） 2=x2，解得：x=10，AB=10说明：依据此评分标准，其它方法如：过点 C 作 CFAB 用来证明和计算均可得分16、如图，已知梯形 ABCD
32、中，ADCB，E，F 分别是 BD，AC 的中点，BD 平分ABC（1）求证：AEBD； （2）若 AD=4，BC=14，求 EF 的长（1）证明：ADCB，ADB=CBD，又 BD 平分 ABC，ABD=CBD，ADB=ABD，AB=AD，ABD 是等腰三角形，已知 E 是 BD 的中点，AEBD（2）解：延长 AE 交 BC 于 G，BD 平分ABC，ABE=GBE，又 AEBD（已证） ，AEB=GEB，BE=BE，ABEGBE，AE=GE，BG=AB=AD，又 F 是 AC 的中点（已知） ，所以由三角形中位线定理得：EF= CG= （BCBG）= （BC AD）= （14 4）=5答
33、：EF 的长为 517、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，D=90，BE AC，E 为垂足，AC=BC（1）求证：CD=BE；（2）若 AD=3，DC=4，求 AE（1）证明：ADBC，DAC=BCE，而 BEAC，D=BEC=90，AC=BC，BCECADCD=BE（2）解：在 RtADC 中，根据勾股定理得 AC= =5，BCECAD，CE=AD=3AE=ACCE=218、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABAC，B=45，AD=1 ，BC=4，求 DC 的长解：如图，过点 D 作 DFAB，分别交 AC，BC 于点 E，F （1 分）ABAC，AED=BAC=90 度ADBC，
34、DAE=180BBAC=45 度在 RtABC 中， BAC=90， B=45，BC=4， AC=BCsin45=4 =2 （2 分）在 RtADE 中，AED=90，DAE=45 ，AD=1 ，DE=AE= CE=AC AE= （4 分）在 RtDEC 中，CED=90 ， DC= = （5 分）19、已知梯形 ABCD 中，ADBC，AB=BC=DC，点 E、 F 分别在 AD、AB 上，且 （1）求证：BF=EF ED；（2）连接 AC，若B=80，DEC=70，求ACF 的度数证明：FC=FC ，EC=EC ，ECF= BCF+DCE=ECF，FCEFCE，EF=EF=DF+ED，BF=EFED；
