1、理数课标版,第五节定积分与微积分基本定理,1.定积分的定义如果函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0x1xi-1xixn=b将区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n),作和式f(i)x=f(i),当n时,上述和式无限接近于某个常数,教材研读,这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作f(x)dx,即f(x)dx=f(i).这里a和b分别叫做积分下限和积分上限,区间a,b叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量, f(x)dx叫做被积式.,2.定积分的运算性质(1)kf(x)dx=kf(x)dx(k为常数).(2)f1(
2、x)f2(x)dx=f1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(acb).,3.微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间a,b上的连续函数,并且F(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿-莱布尼茨公式.可以把F(b)-F(a)记为F(x),即f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a).,4.定积分的几何意义如图:设阴影部分的面积为S,则:(1)S=f(x)dx;(2)S=-f(x)dx;(3)S=f(x)dx-f(x)dx;,(4)S=f(x)dx-g(x)dx=f(x)-g(x)dx.,判断下面结论是否正确
3、(请在括号中打“”或“”)(1)设函数y=f(x)在区间(a,b)上连续,则f(x)dx=f(t)dt.()(2)定积分一定是曲边梯形的面积.()(3)若f(x)dx1),则a的值是.答案2解析由dx=(x2+ln x)=(a2+ln a)-(12+ln 1)=a2+ln a-1=3+ln 2(a1),得a2+ln a=4+ln 2,所以a=2.,3.e|x|dx的值为.答案2e-2解析=-e-x+ex=-e0-(-e)+(e-e0)=-1+e+e-1=2e-2.,4.若.答案-2解析,=-1-1=-2.,考点一定积分的计算典例1计算下列定积分:(1)dx;(2)cos xdx;(3)dx;(
4、4)dx;(5)(3x3+4sin x)dx.解析(1)因为(ln x)=,所以dx=2dx=2ln x=2(ln 2-ln 1)=2ln 2.(2)因为(sin x)=cos x,所以cos xdx=sin x=sin -sin 0=0.(3)因为(x2)=2x,=-,所以dx=2xdx+dx=x2+=.,考点突破,(4)根据定积分的几何意义,可知dx表示的是如图所示的阴影部分的面积,即圆(x-1)2+y2=1的面积的.,故dx=.(5)易知y=3x3+4sin x是R上的奇函数,所以(3x3+4sin x)dx=-(3x3+4sin x)dx.所以(3x3+4sin x)dx=(3x3+4
5、sin x)dx+(3x3+4sin x)dx=0.,方法技巧求定积分的常用方法1.利用定积分的几何意义.求定积分f(x)dx时,若被积函数的原函数不易求,而被积函数的图象与直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积易求,则用定积分的几何意义求定积分.,2.利用函数图象的对称性.设函数f(x)在闭区间-a,a上连续,则由定积分的几何意义和奇偶函数图象的对称性可得:(1)若f(x)是偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx;(2)若f(x)是奇函数,则f(x)dx=0.,1-1计算定积分|3-2x|dx=.答案,解析因为|3-2x|=,所以|3-2x|dx,=(3-2x)dx+(2x-3)d
6、x,=(3x-x2)+(x2-3x)=.,1-2设函数f(x)=ax2+c(a0),若f(x)dx=f(x0),0x01,则x0的值为.答案解析由已知可得a+c=a+c,=.又0x01,x0=.,考点二定积分几何意义的应用典例2(1)(2016唐山统一考试)过点(-1,0)的直线l与曲线y=相切,则曲线y=与直线l及x轴所围成的封闭图形的面积为;(2)(2015陕西,16,5分)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.答案(1)(2)1.2解析(1)因为y=的导数为y=,设切点为P(x0,y0),则切线的斜
7、率为,=,解得x0=1,即切线的斜率为,所以直线l的方程为y=(x+1),所以所围成的封闭图形的面积为dx+1=+=.(2)建立直角坐标系,如图.,过B作BEx轴于点E,BAE=45,BE=2,AE=2,又OE=5,A(3,0),B(5,2).设抛物线的方程为x2=2py(p0),将点B的坐标代入,得p=,故抛物线的方程为y=x2.从而曲边三角形OEB的面积为x2dx=.又SABE=22=2,故曲边三角形OAB的面积为,从而图中阴影部分的面积为.又易知等腰梯形ABCD的面积为2=16,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为=1.2.,方法技巧利用定积分求平面图形面积的一般步骤(1)画出草图;(
8、2)分析围成平面图形的各曲线与直线,求出交点坐标,确定积分的上、下限,及被积函数;(3)将平面图形的面积表示成一个定积分或若干个定积分的和;(4)计算定积分,写出答案.,2-1曲线y=x2与直线y=kx(k0)所围成的曲边图形的面积为,则k=.答案2,解析由得或则曲线y=x2与直线y=kx(k0)所围成的曲边梯形的面积为(kx-x2)dx=-k3=,即k3=8,所以k=2.,2-2若函数f(x)=Asin(A0,0)的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为.答案1-解析由图象可知A=1,=-=,所以=1,则f(x)=sin.,f(x)的图象与x轴交点的横坐标为,所以图中的阴影部分的面积为 dx
9、=cos=1-.,考点三定积分在物理中的应用典例3一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车行驶的路程(单位:m)是()A.1+25ln 5B.8+25lnC.4+25ln 5D.4+50ln 2答案C解析由v(t)=0得t=4.故所求路程为s=v(t)dt=dt=(4+25ln 5)m.,方法技巧定积分在物理中的两个应用(1)求变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=v(t)dt.(2)变力做功:一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=F(x)dx.,3-1一物体在力F(x)=(单位:N)的作用下,沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)做的功为J.答案36解析由题意知,力F(x)所做的功为,W=52+=10+=36(J).,
