1、1一元二次方程的解法 【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程。 二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n0) 的方程，其解为 x=m . 例 1解方程（1） (3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=11 752配方法：用配方法解方程 ax2+bx+c=0 (a0) 先将常数 c 移到方程右边：ax
2、 2+bx=-c 将二次项系数化为 1：x 2+ x=-ba ca方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+ x+( )2=- +( )2 ba b2a ca b2a方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2= 当 b2-4ac0 时，x+ = x= (这就是求根公式) 例 2用配方法解方程 3x 2-4x-2=0 3公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式=b 2-4ac 的值，当 b2-4ac0 时，把各项系数 a, b, c 的值代入求根公式 x= (b2-4ac0)就可得到方程的根。 例 3用公式法解方程 2x 2-8x=-5 24因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一
3、边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例 4用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x 2+3x=0 (3) 6x 2+5x-50=0 (4)x 2-2( + )x+4 =0 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），
4、在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。 例 5用适当的方法解下列方程。 （1）4(x+2) 2-9(x-3)2=0 （2）x 2+(2- )x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x 2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无
5、特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。 （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。 （3）化成一般形式后利用公式法解。 （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解一元二次方程根的判别式一、知识要点： 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式 =b2-4ac。 0 时，方程有两个不相等的实数根。 =0 时，方程有两个相等的实数根。 0 时，关于 x 的方程 c(x2+m)+b(x2-m)-2 ax=0 有两个相等的实数根，求证：ABC 为 Rt。例 5若 a,b,
6、c 为实数，关于 x 的方程 2x2+2(a-c)x+(a-b)2+(b-c)2=0 有两个相等的实数根，求证 a+c=2b. 4（ 第 3题 ） 一元二次方程的应用一、握手问题1、某小组同学元旦互赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡 90 张，这个小组有几位同学？2、某校开展足球比赛，每个班组织一个班队，在第一轮比赛中，每个班队都要与其他班队比赛一场，一共进行了 120 场比赛，这个学校共有多少个班级？3、2008 年中山市“光彩杯”中学生足球赛共进行了 56 场比赛（实行主客场制） ，问有多少球队参加比赛？二、面积问题4、利用长为 18 米的墙的一边，另三边用长为 35 米的竹篱笆围成一个面积为
7、150 平方米的长方形养鸡场。求鸡场的长与宽各多少？ 5、如图所示要建一个面积为 150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为25m,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为 35m.(1)求鸡场的长与宽各为多少米?(2)题中的墙长度 25m 对题目的解起着怎样的作用?6、学校课外生物小组的试验园地是长 18 米、宽 12 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图） ，要使种植面积为 196 平方米，求小道的宽7、如图所示,某小区规划在一个长为 40 米,宽为 26 米的矩形场地 ABCD上修建三条同样宽的道路,使其中两条与 AB平行,另一条与
8、垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为 144 米 2,求道路的宽度? 8、在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，求金色纸边的宽.9、把一个正方形的一边增加 2cm，另一边增加 1cm，所得的长方形面积比正方形面积增加 14cm2,那么原来正方形的边长应是多少？10、如图,从一块长 80 厘米，宽 60 厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度.11、墙的一边，再用 13 米长的铁丝挡三边围成一个面积是 20 平方米的长方形，问
9、长方形长和宽各是多少才能刚好合适？5三、体积问题：12、有一块长 25 厘米、宽 15 厘米的长方形铁片，如果在铁成的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面积为 231 平方厘米的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长应是多少厘米？13、如图 22.2.1，一块长和宽分别为 60 厘米和 40 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为 800 平方米.求截去正方形的边长.四、增长率问题：14、某化服厂去年 4 月份生产化肥 500 吨，因管理不善，5 月份的化肥产量减少了 10%，从 6 月份起强化了管理，产量逐月上
10、升，7 月份产量达到 648 吨，求该厂 6、7 月份的月平均增长率。15、某商厦 10 月份的营业额是 50 万元，第四季度的总营业额是 182 万元，后两个月中，每月的平均增长率是多少？16、某商店四月份电扇的销售量为 500 台，随着天气的变化，六月份电扇的销售量为 720 台，问五月份、六月份平均每月电扇销售量的增长率是多少？17、某商店 4 月份销售额为 50 万元,第二季度的总销售额为 182 万元,若 5、6 两个月的月增长率相同,求月增长率.18、某电脑公司 2000 年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为 600 万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计 2002 年经营
11、总收入要达到 2160 万元，且计划从 2000 年到 2002 年，每年经营总收入的年增长率相同，问 2001 年预计经营总收入为多少万元？19、某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的 1 185 元降到了 580 元.求平均每次降价的百分率。20、某工厂计划经过两年的时间将某种产品的产量从每年 144 万台提高到 169 万台，求每年平均增长的百分率。五、利润问题：21、将进货单价为 40 元的某种商品按 50 元售出时，就能卖出 500 个，已知这种商品每个涨价 1 元，其销售量就减少 10 个，为了赚得 8000 元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？22、将进货单价为 40
12、 元的商品按 50 元售出时，就能卖出 500 个.已知这种商品每个涨价 1 元，其销售量就减少 10 个，问为了赚得 8000 元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？23、某商店进了一批服装，进价为每件 50 元.按每件 60 元出售时，可销售 800 件；若单价每提高 1 元，则其销售量就减少 20 件.今商店计划获利 12000 元，问销售单价应定为多少元？此时应进多少件服装？24、 某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每
13、件童装每降价 4 元，那么平均每天就可多售出 8 件.要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元，那么每件童装应降价多少元？六、路程及其它：25、一列车中途受阻，耽误 6 分钟，然后将每小时的速度加快 10 千米，这样运行了 20 千米，便把耽误的时间补上，求原规定的速度626、已知两个连续奇数的积是 255，求这两个奇数.27、已知：如图所示，在 ABC中， cm7,5,90BCA.点 P从点 A开始沿AB边向点 以 1cm/s 的速度移动，点 Q从点 开始沿 边向点 以 2cm/s 的速度移动.（1）如果 P,分别从 ,同时出发，那么几秒后， Q的面积等于 4cm2？（2）如果 分别从
14、 BA同时出发，那么几秒后， P的长度等于 5cm？（3）在（1）中， Q的面积能否等于 7cm2?说明理由. C QA P B一元二次方程测试题一、选择题（只有一个正确，每题 3 分，共 36 分）1、方程（m-1）x+m x -5=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 满足的条件是 （ ）（A） m1 (B) m0 (C )m1 (D) m=12、方程（3x+1） (x-1)=(4x-1)(x-1)的解是 （ ）（A） x1=1 x2=0 (B) x1=1 x2=2 (C) x1=2 x2=-1 (D) 无解3、已知方程 x+x-1=0，以它的两根的倒数为根的新方程应是（ ）(A) y-
15、y-1=0 (B) y+y+1=0 (C) y-y+1=0 (D) y-2y-1=04、下列方程没有实数根的方程是（ ）(A) x+3x=0 (B)2004 x+56x-1=0 (C)2004 x+56x+1=0 (D) (x-1)(x-2)=05、若分式 不论 x 取何值总有意义，则 m 的取值范围是（ ）m21(A)m1 (B)m1 (C)m1 (D)m （D）k2121217、已知关于 x 的方程 x-mx+2m-1=0 的两个实数根的平方和为 7，那么 m 的值是（ ）7（A） 5 （B）-1 （C）5 或-1 （D）-5 或 18、用换元法解方程 x+x-1= 时，如果设 x+x=y
16、，那么原方程可变形为（ ）26（A） y-y-6=0 （B）y -y+6=0 （C）y+y-6=0 （D）y+y+6=09、如果方程组 只有一个实数解，那么 m 的值为（ ）xm42（A）- （B） （C）-1 （D）0110、王刚同学在解关于 x 的方程 x-3x+c=0 时，误将-3x 看作+3x，结果解得 x1=1 x2=-4，则原方程的解为（ ）（A） x1=-1 x2=-4 （B） x1=1 x2=4 （C）x 1=-1 x2=4 （D）x 1=2x2=311、某饲料厂一月份生产饲料 500 吨，三月份生产饲料 720 吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，则有（ ）（A）500
17、（1+x 2）=720 （B）500(1+x) 2=720（C）500(1+2x)=720 （D）720(1+x) 2=50012、一列列车自 2004 年全国铁路第 5 次大提速后，速度提高了 26 千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了 1 小时，已知甲乙两站的路程是 312 千米，若设列车提速前的速度是 x 千米/时，则根据题意所列方程正确的是（ ）（A） - =1 （B） - =1 x3262631x(C) - =1 （D） - =11二、填空题（每题 3 分，共 30 分）13、若分式 的值为零，则 x= 。265x14、以 2+ 和 2- 为实根的关于 y 的一元二
18、次方程是315、已知关于 x 的方程 x-6x+m=0 的一个根是另一个根的两倍，则 m 的值为 。16、已知方程 x-3x+1=0 的两根为 x1、x 2，那么（1+ x1） （1+ x 2）= .17、在实数范围内分解因式：2x-8x+5=18、若方程 + = 有增根，则 m 的值是 。1x52x19、一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是 和 请写出符32yx8合条件的一个方程组 .20、如果 x-2（m+1）x+m 2+5=0 是一个完全平方式，则 m= .21、已知关于 x 的方程 x2-（a 2-2a-15）+a-1=0 的两个根是互为相反数，则 a 的值为
19、。22、要求在规定时间内修建一条公路，如由甲队单独修建恰好按规定时间完成，如由乙队单独完成则要延期 5 天完成，现由两队联合修建 2 天后，剩下的任务由乙队单独修建，则恰好在规定时间内完成，若设规定时间为 x 天，则可列出方程 .三、 解下列方程（或方程组，5 分、8 分、8 分）23、 （2x-3） （x-4）=9 24、 + =7152x0225、 10342yx四、简答题（26 题 8 分，27 题 10 分，28 题 15 分）26、已知关于 x 的方程 x-2（m+1）x+m 2=0(1) 当 m 取什么值时，元方程没有实数根？（2）对 m 选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的差的平方。
