1、第 1 页（共 31 页）相似三角形专题一选择题（共 10 小题）1已知 5x=6y（y0） ，那么下列比例式中正确的是（ ）A B C D2已知 = = = ，则 a+c+e=6，则 b+d+f=（ ）A12 B9 C6 D43如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是 OD 的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF：FC=（ ）A1 ：4 B1：3 C1：2 D1：14如图，ABC 中，AB=AC=12，ADBC 于点 D，点 E 在 AD 上且 DE=2AE，连接 BE 并延长交 AC 于点 F，则线段 AF 长为（ ）A4 B3 C2.4 D2
2、5如图.ABC 中，DEBC，AC=9 ，CE=6，AD=4，则 BD 的值为（ ）A4 B6 C8 D126如图，已知 AD 为ABC 的角平分线，DEAB 交 AC于 E，如果 = ，那么 等于（ ）A B C D7如图，ABCD，AD 与 BC 相交于点 O，若AO=2，DO=4，BO=3，则 BC 的长为（ ）A6 B9 C12 D158已知ABC DEF，S ABC ：S DEF =1：4若 BC=1，则EF 的长为（ ）第 2 页（共 31 页）A1 B2 C3 D49如果ABC 与DEF 的相似比为 1：5，则ABC 与DEF的面积比为（ ）A1 ：25 B1：5 C1：2.5
3、D1：10如图，正方形 ABCD 中，AB=2，E 为 BC 中点，两个动点 M 和 N 分别在边 CD 和 AD 上运动且 MN=1，若ABE 与以 D、M 、N 为顶点的三角形相似，则 DM 为（ ）A B C 或 D 或二填空题（共 10 小题）11若 ，则 = 12已知三个数 1， ， 2，请再添上一个数，使它们构成一个比例式，满足这样条件的数是 13已知线段 a=3cm，b=4cm ，那么线段 a、b 的比例中项等于 cm14已知线段 a=9，c=4 ，如果线段 b 是 a、c 的比例中项，那么 b= 15如图，ABGHCD，点 H 在 BC 上，AC 与 BD交于点 G，AB=2，
4、CD=4 ，则 GH 的长为 16如图，ABCDEF，如果 AC=2，AE=6 ，DF=3，那么 BD= 17如果两个相似三角形对应角平分线的比是 4：9，那么它们的周长比是 18若两个相似三角形的周长之比为 2：3，较小三角形的面积为 8cm2，则较大三角形面积是 cm 219如图，P 是 RtABC 的斜边 BC 上异于 B、C 的一点，过点 P 作直线截 ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有 条20如图，在ABC 中， C=90，BC=16cm，AC=12cm，点 P 从点 B 出发，沿第 3 页（共 31 页）BC 以 2cm/s 的速度向点 C 移动，点 Q 从
5、点 C 出发，以 1cm/s 的速度向点 A 移动，若点 P、 Q 分别从点 B、C 同时出发，设运动时间为 ts，当 t= 时，CPQ 与CBA 相似三解答题（共 10 小题）21如图所示，在 44 的正方形方格中，ABC 和DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上（1）填空：ABC= ， BC= ；（2）判断ABC 与DEF 是否相似？并证明你的结论22如图，在ABC 中， ABC=80 ，BAC=40，AB 的垂直平分线分别与 AC、AB 交于点 D、E，连接 BD求证：ABCBDC23如图，已知正方形 ABCD，点 E 在 CB 的延长线上，联结 AE、DE，DE 与边AB 交
6、于点 F，FGBE 且与 AE 交于点 G（1）求证：GF=BF（2）在 BC 边上取点 M，使得 BM=BE，联结 AM 交 DE 于点 O求证：FOED=ODEF第 4 页（共 31 页）24如图，已知 ACBD，AB 和 CD 相交于点 E，AC=6，BD=4，F 是 BC 上一点，SBEF ： SEFC =2：3 （1）求 EF 的长；（2）如果BEF 的面积为 4，求ABC 的面积25如图，操场上有一根旗杆 AH，为测量它的高度，在 B 和 D 处各立一根高1.5 米的标杆 BC、DE，两杆相距 30 米，测得视线 AC 与地面的交点为 F，视线AE 与地面的交点为 G，并且 H、B
7、、F 、D、G 都在同一直线上，测得 BF 为 3 米，DG 为 5 米，求旗杆 AH 的高度？26如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行并使直角边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE=0.5 米，EF=0.25 米，且测点 D 到地面的距离 DG=1.5 米，到旗杆的水平距离 DC=25 米，求旗杆 AB 的高度第 5 页（共 31 页）27小亮和小颖想用下面的方法测量学校教学楼的高度：如图，小亮蹲在地上，小颖站在小亮和教学楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部 M、小颖的头部
8、B 及小亮的眼睛 A 恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、 D，然后测出两人之间的距离 CD=2m，小颖与教学楼之间的距离DN=38m， （C、D、M 在同一直线上） ，小颖的身高 BD=1.6m，小亮蹲地观测时眼睛到底面的距离 AC=1m请你根据以上测量数据帮助他们求出教学楼的高度28ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=180mm，高 AD=120mm，要把它加工成矩形零件，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边 AB、AC 上（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的 2 倍，则边长是多 少？第 6 页（共 31 页）29如图，在ABC 中， B=
9、90，AB=6cm，BC=12cm ，点 P 从点 A 开始，沿AB 边以 1cm/s 的速度向点 B 运动：点 Q 从点 B 开始，沿 BC 边以 2cm/s 的速度向点 C 运动，当点 P 运动到点 B 时，运动停止，如果 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发（1）几秒后PBQ 的面积等于 8cm2？（2）几秒后以 P、B、Q 为顶点的三角形与ABC 相似？30如图，在ABC 中， AB=AC=1，BC= ，在 AC 边上截取 AD=BC，连接BD（1）通过计算，判断 AD2 与 ACCD 的大小关系；（2）求ABD 的度数第 7 页（共 31 页）2017 年 05 月 15 日 186
10、03672681 的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1 （2017繁昌县模拟）已知 5x=6y（y0） ，那么下列比例式中正确的是（ ）A B C D【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案【解答】解：A、 = ，则 5y=6x，故此选项错误；B、 = ，则 5x=6y，故此选项正确；C、 = ，则 5y=6x，故此选项错误；D、 = ，则 xy=30，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积2 （2017兰州模拟）已知
11、 = = = ，则 a+c+e=6，则 b+d+f=（ ）A12 B9 C6 D4【分析】由 = = = 得 a= b、c= d、e= f，代入到 a+c+e=6 可得答案【解答】解：由 = = = 得 a= b、c= d、e= f，则 b+ d+ f=6，即 （b+d+f）=6，第 8 页（共 31 页）b+d+f=6 =9，故选：B【点评】本题主要考查比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质和等式的性质是解题的关键3 （2017东平县一模）如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点O，E 是 OD 的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF：FC=（ ）A1 ：4
12、 B1：3 C1：2 D1：1【分析】首先证明DFEBAE，然后利用对应边成比例，E 为 OD 的中点，求出 DF：AB 的值，又知 AB=DC，即可得出 DF：FC 的值【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，AB DC ，则DFEBAE， ，O 为对角线的交点，DO=BO，又E 为 OD 的中点，DE= DB，则 DE：EB=1：3，DF：AB=1：3，DC=AB，DF：DC=1：3，DF：FC=1： 2；第 9 页（共 31 页）故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明DFEBAE，然后根据对应边成比例求值4 （2017
13、太原一模）如图，ABC 中，AB=AC=12，ADBC 于点 D，点 E 在 AD上且 DE=2AE，连接 BE 并延长交 AC 于点 F，则线段 AF 长为（ ）A4 B3 C2.4 D2【分析】作 DHBF 交 AC 于 H，根据等腰三角形的性质得到 BD=DC，得到FH=HC，根据平行线分线段成比例定理得到 = =2，计算即可【解答】解：作 DHBF 交 AC 于 H，AB=AC，AD BC，BD=DC，FH=HC，DH BF， = =2，AF= AC=2.4，故选：C第 10 页（共 31 页）【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理，掌握等腰三角形的三线合一、平行
14、线分线段成比例定理是解题的关键5 （2017河南模拟）如图所示，ABC 中，DEBC ，AC=9，CE=6，AD=4 ，则BD 的值为（ ）A4 B6 C8 D12【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可【解答】解：DEBC， = ，即 = ，解得，BD=8，故选：C【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键6 （2017河北一模）如图，已知 AD 为ABC 的角平分线，DEAB 交 AC 于E，如果 = ，那么 等于（ ）第 11 页（共 31 页）A B C D【分析】由平行线分线段成比例定理得出 = ，再由角平分线性质即可得出结论
15、【解答】解：DEAB， = ，AD 为ABC 的角平分线， = ；故选：B【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、角平分线的性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理和角平分线的性质是解决问题的关键7 （2017西华县二模）如图，AB CD，AD 与 BC 相交于点 O，若AO=2，DO=4，BO=3，则 BC 的长为（ ）A6 B9 C12 D15【分析】由平行线分线段成比例定理，得到 = ；利用 AO、BO 、DO 的长度，求出 CO 的长度，再根据 BC=BO+CO 即可解决问题【解答】解：ABCD， = ；AO=2，DO=4，BO=3， = ，解得：CO=6，BC=BO+CO=3+6=
16、9故选 B【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题掌握平行于第 12 页（共 31 页）三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例是解题的关键8 （2017徐州一模）已知ABCDEF，S ABC ：S DEF =1：4若 BC=1，则 EF的长为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得相似比后即可求得线段 EF 的长【解答】解：ABCDEF，S ABC ：S DEF =1：4，BC ： EF=1：2，BC=1，EF=2，故选 B【点评】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的面积的比等于相似比的平
17、方，难度不大9 （2017沙坪坝区一模）如果ABC 与DEF 的相似比为 1：5，则ABC 与DEF 的面积比为（ ）A1 ：25 B1：5 C1：2.5 D1：【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论【解答】解：ABC 与DEF 的相似比为 1：5，ABC 与DEF 的面积比为 1：25故选 A【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的一半是解答此题的关键10 （2017长清区一模）如图，正方形 ABCD 中，AB=2，E 为 BC 中点，两个动点 M 和 N 分别在边 CD 和 AD 上运动且 MN=1，若ABE 与以 D、M 、N 为顶点第 13 页（共
18、 31 页）的三角形相似，则 DM 为（ ）A B C 或 D 或【分析】根据勾股定理求出 AE，分ABEMDN 和ABENDM 两种情况，根据相似三角形的性质计算即可【解答】解：E 为 BC 中点，BE=1，由勾股定理得，AE= = ，当ABEMDN 时， = ，即 = ，解得，DM= ，同理，当ABENDM 时，DM= ，DM 为 或 ，故选：D【点评】本题考查的是相似三角形的性质、正方形的性质，掌握相似三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键二填空题（共 10 小题）11 （2017高台县模拟）若 ，则 = 【分析】设 a=3k，b=4k，则代入计算即可【解答】解： ，设 a=3
19、k，b=4k， = = 第 14 页（共 31 页）故答案为： 【点评】本题是基础题，考查了比例的性质，比较简单设出 a=3k，b=4k 是解此题的关键12 （2017杭州一模）已知三个数 1， ，2，请再添上一个数，使它们构成一个比例式，满足这样条件的数是 ， ，2 【分析】根据比例的性质，可得答案【解答】解： ：1=2： ； ：2= ：1， ：1=2 ：2 ，故答案为： ， ，2 【点评】本题考查了比例的性质，利用内项的积等于外项的积是解题关键13 （2017浦东新区一模）已知线段 a=3cm，b=4cm，那么线段 a、b 的比例中项等于 2 cm【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即
20、可得解【解答】解：线段 a=3cm，b=4cm ，线段 a、b 的比例中项= =2 cm故答案为：2 【点评】本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数14 （2017徐汇区一模）已知线段 a=9，c=4，如果线段 b 是 a、c 的比例中项，那么 b= 6 【分析】根据比例中项的定义，若 b 是 a，c 的比例中项，即 b2=ac即可求解【解答】解：若 b 是 a、 c 的比例中项，即 b2=ac则 b= = =6故答案为：6【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负第 15 页（共 31 页）15 （2017历城区模拟）如图，A
21、B GHCD，点 H 在 BC 上，AC 与 BD 交于点G，AB=2，CD=4 ，则 GH 的长为 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ， ，将两个式子相加，即可求出 GH 的长【解答】解：ABCH CD， ， ， + = + =1，AB=2，CD=4， + =1，解得：GH= ；故答案为： 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键16 （2017泰州一模）如图，AB CD EF，如果 AC=2，AE=6 ，DF=3，那么BD= 1.5 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可【解答】解：ABCDEF，第 16 页（共 3
22、1 页） = ，即 = ，解得，BD=1.5，故答案为：1.5【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键17 （2017奉贤区一模）如果两个相似三角形对应角平分线的比是 4：9，那么它们的周长比是 4：9 【分析】由两个相似三角形对应角平分线的比是 4：9，根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，周长的比等于相似比，即可求得答案【解答】解：两个相似三角形对应角平分线的比是 4：9，它们的相似比为 4：9，它们的周长比为 4：9故答案为：4：9【点评】此题考查了相似三角形的性质注意熟记定理是解此题的关键18 （20
23、17东莞市一模）若两个相似三角形的周长之比为 2：3，较小三角形的面积为 8cm2，则较大三角形面积是 18 cm 2【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可【解答】解：两个相似三角形的周长之比为 2：3，两个相似三角形的相似比是 2：3，两个相似三角形的面积比是 4：9，又较小三角形的面积为 8cm2，较大三角形的面积为 18cm2，故答案为：18【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的第 17 页（共 31 页）比、对应角平分线的比都等于相似
24、比19 （2017平南县一模）如图，P 是 RtABC 的斜边 BC 上异于 B、C 的一点，过点 P 作直线截 ABC ，使截得的三角形与ABC 相似，满足这样条件的直线共有 3 条【分析】过点 P 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以【解答】解：由于ABC 是直角三角形，过 P 点作直线截ABC ，则截得的三角形与ABC 有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与 RtABC 相似，过点 P 可作 AB 的垂线、AC 的垂线、BC 的垂线，共 3 条直线故答案为：3【点评】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用解题时运用了两角法（有两组
25、角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似20 （2017南开区校级模拟）如图，在ABC 中，C=90 ，BC=16cm，AC=12cm，点 P 从点 B 出发，沿 BC 以 2cm/s 的速度向点 C 移动，点Q 从点 C 出发，以 1cm/s 的速度向点 A 移动，若点 P、Q 分别从点 B、C 同时出发，设运动时间为 ts，当 t= 4.8 或 时，CPQ 与CBA 相似第 18 页（共 31 页）【分析】分 CP 和 CB 是对应边，CP 和 CA 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解【解答】解：CP 和 CB 是对应边时，CPQCBA，所以， = ，即
26、= ，解得 t=4.8；CP 和 CA 是对应边时，CPQCAB，所以， = ，即 = ，解得 t= 综上所述，当 t=4.8 或 时，CPQ 与CBA 相似故答案为 4.8 或 【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论三解答题（共 10 小题）21 （2017无锡一模）如图所示，在 44 的正方形方格中，ABC 和DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上（1）填空：ABC= 135 ，BC= 2 ；（2）判断ABC 与DEF 是否相似？并证明你的结论第 19 页（共 31 页）【分析】 （1）根据已知条件，结合网格可以求出ABC 的度数
27、，根据，ABC和DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段 BC 的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明ABC 与DEF 相似【解答】 （1）解：ABC=90+45=135 ，BC= = =2 ；故答案为：135；2 （2）ABC DEF证明：在 44 的正方形方格中，ABC=135， DEF=90+45=135，ABC=DEF AB=2，BC=2 ，FE=2，DE= = = ， = = ABCDEF【点评】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系22
28、 （2017益阳模拟）如图，在ABC 中，ABC=80，BAC=40，AB 的垂直平分线分别与 AC、AB 交于点 D、E，连接 BD求证：ABCBDC第 20 页（共 31 页）【分析】由线段垂直平分线的性质，得 DA=DB，则ABD=BAC=40，从而求得CBD=40，即可证出 ABCBDC【解答】证明：DE 是 AB 的垂直平分线，AD=BDBAC=40 ，ABD=40 ，ABC=80 ，DBC=40，DBC=BAC，C=C，ABCBDC【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质，题目难度不大23 （2017金山区一模）如图，已知正方形 ABCD，点 E 在 CB
29、的延长线上，联结 AE、DE ，DE 与边 AB 交于点 F，FGBE 且与 AE 交于点 G（1）求证：GF=BF（2）在 BC 边上取点 M，使得 BM=BE，联结 AM 交 DE 于点 O求证：FOED=ODEF第 21 页（共 31 页）【分析】 （1）根据已知条件可得到 GFAD，则有 = ，由 BFCD 可得到= ，又因为 AD=CD，可得到 GF=FB；（2）延长 GF 交 AM 于 H，根据平行线分线段成比例定理得到 ，由于BM=BE，得到 GF=FH，由 GFAD ，得到 ，等量代换得到，即 ，于是得到结论【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是正方形，ADBC，ABCD，A
30、D=CD，GFBE，GFBC，GFAD， ，ABCD， ，AD=CD，GF=BF ；（2）延长 GF 交 AM 于 H，GFBC，FH BC， ，第 22 页（共 31 页） ，BM=BE，GF=FH，GFAD， ， ， ，FOED=ODEF【点评】本题主要考查平行线分线段成比例及正方形的性质，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意利用比例相等也可以证明线段相等24 （2017松江区一模）如图，已知 ACBD ，AB 和 CD 相交于点E， AC=6，BD=4，F 是 BC 上一点，S BEF ：S EFC =2：3（1）求 EF 的长；（2）如果BEF 的面积为 4，求ABC
31、的面积【分析】 （1）先根据 SBEF ：S EFC =2：3 得出 CF：BF 的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；（2）先根据 ACBD，EFBD 得出 EFAC，故BEFABC ，再由相似三角形的性质即可得出结论【解答】解：（1）AC BD，第 23 页（共 31 页）AC=6，BD=4，BEF 和CEF 同高，且 SBEF ：S CEF =2：3， ， EF BD， ， ，（2）AC BD，EFBD，EF AC，BEFABC， ， S BEF =4， ，S ABC =25【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键25 （2016 秋
32、建湖县期末）如图，操场上有一根旗杆 AH，为测量它的高度，第 24 页（共 31 页）在 B 和 D 处各立一根高 1.5 米的标杆 BC、DE ，两杆相距 30 米，测得视线 AC 与地面的交点为 F，视线 AE 与地面的交点为 G，并且 H、B 、F、D、G 都在同一直线上，测得 BF 为 3 米，DG 为 5 米，求旗杆 AH 的高度？【分析】根据 AHCBDE，可得AHFCBF，AHGEDG，可得= ， = ，即可求得 AH 的值，即可解题【解答】解：解：由题意知，设 AH=x，BH=y，AHFCBF，AHGEDG， = ， = ，3x=1.5（ y+3） ，5x=1.5（y +30+
33、5）解得 x=24m答：旗杆 AH 的高度为 24m【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行线的性质等知识，本题中列出关于 AH、BH 的关系式是解题的关键26 （2016 秋 盐都区期末）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行并使直角边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE=0.5 米，EF=0.25 米，且测点 D 到地面的距离 DG=1.5 米，到旗杆的水平距离 DC=25 米，求旗杆 AB 的高度【分析】求出ACD 和FED 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出第 25 页
34、（共 31 页）AC，再求出 BC=DG，然后根据旗杆的高度 AB=AC+BC 代入数据计算即可得解【解答】解：ADC= FDE，ACD=FED=90，ACDFED， = ，即 = ，解得 AC=12.5，ABBG，DGBG，DCAB，ABG= BGD= DCB=90，四边形 BGDC 是矩形，BC=DG=1.5，AB=AC+BC=12.5+1.5=14 米答：旗杆 AB 的高度是 14 米【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，主要利用了相似三角形对应边成比例27 （2015 秋 兴宁区校级月考）小亮和小颖想用下面的方法测量学校教学楼的高度：如图，小亮蹲在地上，小颖站在小亮和教
35、学楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部 M、小颖的头部 B 及小亮的眼睛 A 恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置 C、D ，然后测出两人之间的距离 CD=2m，小颖与教学楼之间的距离 DN=38m， （ C、D、M 在同一直线上） ，小颖的身高 BD=1.6m，小亮蹲地观测时眼睛到底面的距离 AC=1m请你根据以上测量数据帮助他们求出教学楼的高度第 26 页（共 31 页）【分析】过 A 作 CN 的平行线交 BD 于 E，交 MN 于 F，由相似三角形的判定定理得出ABEAMF，再由相似三角形的对应边成比例即可得出 MF 的长，进而得出结论【解答】解：过 A 作 CN 的平行线
36、交 BD 于 E，交 MN 于 F由已知可得 FN=ED=AC=0.8m，AE=CD=1.25m ，EF=DN=30m，AEB=AFM=90又BAE=MAF，ABEAMF = ，即 = ，解得 MF=12mMN=MF+FN=12+1=13（m） 教学楼的高度为 13m【点评】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答；此题需要转化为相似三角形的问题，利用相似三角形的判定与性质求解28 （2015 秋 长沙校级月考）ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=180mm，高 AD=120mm，要把它加工成矩形零件，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边 AB、A
37、C 上（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的 2 倍，则边长是多少？第 27 页（共 31 页）【分析】 （1）设出边长为 xmm，由正方形的性质得出 PNBC，PQAD，根据平行线的性质，可以得出比例关系式， = 、 = ，代入数据求解即可（2）设宽为 xmm，则长为 2xmm，同（1）列出比例关系求解，但是要注意有两种情况，PQ 可以为长也可以为宽，分两种情况分别求解即可【解答】解：（1）设边长为 xmm，矩形为正方形，PNBC，PQAD，根据平行线的性质可以得出： = 、 = ，由题意知 PQ=x，BC=180mm，AD=120mm，PN=x ，即 = ，
38、= ，AP+BP=AB， + = + =1，解得 x=72答：若这个矩形是正方形，那么边长是 72mm（2）设边宽为 xmm，则长为 2xmm，四边形 PNMQ 为矩形，PNBC，PQAD，根据平行线的性质可以得出： = 、 = ，PQ 为长，PN 为宽：由题意知 PQ=2xmm，AD=120mm，BC=180mm，AN=xmm，第 28 页（共 31 页）即 = ， = ，AP+BP=AB， + = + =1，解得 x=45，2x=90即长为 90mm，宽为 45mmPQ 为宽，PN 为长：由题意知 PQ=xmm，AD=120mm，BC=180mm，PN=2xmm ，即 = ， = ，AP+
39、BP=AB， + = + =1，解得 x= ，2x= 即长为 mm，宽为 mm答：矩形的长为 90mm，宽是 45mm 或者长为 mm，宽为 mm【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，熟记性质并列出比例式是解题的关键29 （2016 秋 青龙县期末）如图，在ABC 中，B=90 ，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 开始，沿 AB 边以 1cm/s 的速度向点 B 运动：点 Q 从点 B 开始，沿 BC 边以 2cm/s 的速度向点 C 运动，当点 P 运动到点 B 时，运动停止，如果 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发（1）几秒后PBQ
40、的面积等于 8cm2？第 29 页（共 31 页）（2）几秒后以 P、B、Q 为顶点的三角形与ABC 相似？【分析】 （1）设 t 秒后 PBQ 的面积等于 8cm，此时， AP=t，BP=6t，BQ=2t，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）设 x 秒后以 P、B、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，此时，AP=x，BP=6 x，BQ=2x，再分BPQBAC 与BPQBCA 两种情况进行讨论即可【解答】解：（1）设 t 秒后 PBQ 的面积等于 8cm，此时，AP=t，BP=6t，BQ=2t，S PBQ = BPBQ，即 （6 t）2t=8 ，即 t2+6t+8=0，解得 t1=2，t 2
41、=42 秒或 4 秒后，PBQ 的面积等于 8cm2；（2）设 x 秒后以 P、B、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，此时，AP=x，BP=6 x，BQ=2x，若BPQ BAC，则 = ，即 = ，解得 x=3；若BPQ BCA，则 = ，即 = ，解得 x=1.2综上所述，1.2 秒或 3 秒后，以 P、B 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键30 （2016福州）如图，在ABC 中，AB=AC=1，BC= ，在 AC 边上截取AD=BC，连接 BD（1）通过计算，判断 AD2 与 ACCD 的大小关系；第 30 页
42、（共 31 页）（2）求ABD 的度数【分析】 （1）先求得 AD、 CD 的长，然后再计算出 AD2 与 ACCD 的值，从而可得到 AD2 与 ACCD 的关系；（2）由（1）可得到 BD2=ACCD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明BCDABC，依据相似三角形的性质可知 DBC=A，DB=CB ，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得ABD 的度数【解答】解：（1）AD=BC，BC= ，AD= ，DC=1 = AD 2= = ，ACCD=1 = AD 2=ACCD（2）AD=BC ，AD 2=ACCD，BC 2=ACCD，即 又C=C，BCDACB ，DBC=ADB=CB=AD A=ABD，C=BDC 设A=x，则 ABD=x，DBC=x ，C=2xA+ABC+C=180，x+2x+2x=180 解得：x=36ABD=36
