1、 - 1 -学生编号 学生姓名 授课教师辅导学科 九年级数学 教材版本 下教课题名称 相似三角形 课时进度 总第（ ）课时 授课时间 10 月 23 日教学目标 掌握相似三角形的概念、性质及判定方法，能够灵活应用相似三角形的性质和判定方法方法解决实际问题。重点难点 重点：相似三角形的概念、判定定理和相似三角形的性质难点：如何根据问题的结论，在较复杂的图形中找到所要证明的相似三角形同步教学内容及授课步骤知识点归纳：知识点1、 有关相似形的概念(1)、形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
2、边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)知识点2 比例线段的相关概念（1）、如果选用同一单位量得两条线段 的长度分别为 ，那么就说这两条线段的比是ba, nm,，或写成 注：在求线段比时，线段单位要统一。nmbanmba:（2）、在四条线段 中，如果 的比等于 的比，那么这四条线段 叫做dc,ba和 dc和 dcba,成比例线段，简称比例线段注：比例线段是有顺序的，如果说 是 的第四比例项，那么应得比例式为： a、d叫比例外adc()acbd在 比 例 式 ： ： 中 ，项，b、c叫比例内项, a、c叫比例前项，b、d叫比例后项，d叫第四比例项，如果b=c，即 那么b叫做a、d的比例
3、中项， 此时有 。： ： 2- 2 -（3）、黄金分割：把线段 分成两条线段 ，且使 是 的比例AB)(,BCAABC和中项，即 ，叫做把线段 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点，2C其中 0.618 ，即 ， 简记为：15AB512512长 短 全 长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3、 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）、 基本性质：、 ；、 bcadcba: 2:abcac注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如 除bcad了可化为 ，还可化为 ， ， ， ，db:cad:b:， ， :（
4、2） 、更比性质(交换比例的内项或外项)：()()cadbabc， 交 换 内 项， 交 换 外 项 同 时 交 换 内 外 项（3） 、反比性质(把比的前项、后项交换)： adb（4） 、合、分比性质： accdbd注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立如： 等等dcbadcb（5） 、等比性质：如果 ，那么 )0(nfnmfedcba banfbmeca注：、此性质的证明运用了“设 法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法应用等比性质时，要考虑到分母是否为零可利用分式性质将连等式
5、的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立如： ；其中 bafdbecafedcbafedcba 3232 032fd- 3 -知识点4 、比例线段的有关定理1、三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 由DEBC可得： ACEBDAECDB或或注意：、重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 、三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明
6、两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.、平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知ADBECF, 可得 等. ABDEBCEFABCCFADEF或 或 或 或注意：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。知识点5 、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示，读作“相似于” 相似三角形对应边的比叫
7、做相似比(或相似系数)相似三角形对应角相等，对应边成比例注意：、对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的FEDCBAEAB CD- 4 -、两个三角形形状一样，但大小不一定一样全等三角形是相似比为1的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例知识点6 、 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)、相似三角形的等价关系：、反身性：对于任一 有 ABCABC、对称性：若 ，则 、传递性：若 ，且 ，则 ABC(2) 、三角形相似的判定定理的预备定
8、理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似定理的基本图形：用数学语言表述是： ， BCDE/ADEBC知识点7 、三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两
9、三角形相似5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1)、以上各种判定均适用(2)、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(3)、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似(1)EAB CD(3)DB CAE (2)CD EAB- 5 -知识点8 、相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)、如图：其中1=
10、2，则ADEABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)、如图：1=2，B=D，则ADEABC，称为“旋转型”的相似三角形。 EE1242ECAB DEAB C(D)EA DCB(1)EAB CD(3)DB CAE (2)CD EAB- 6 -2、几种基本图形的具体应用：（1）、若DEBC（A型和X型）则ADEABC（2）、射影定理 若CD为RtABC斜边上的高（双直角图形） 则RtABCRtACDRtCBD且AC2=ADAB，CD2=ADBD，BC
11、2=BDAB；EADCB EADCB A DCB（3）、满足1、AC2=ADAB，2、ACD=B，3、ACB=ADC，都可判定ADCACB（4）、当 或ADAB=ACAE时，ADEACBAECADCB EADCB知识点9：全等与相似的比较：三角形全等 三角形相似两角夹一边对应相等(ASA)两角一对边对应相等(AAS)两边及夹角对应相等(SAS)三边对应相等(SSS)直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL)相似判定的预备定理两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例直角三角形中斜边与一直角边对应成比例知识点10 、相似三角形的性质(1)、相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)、相似
12、三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)、相似三角形周长的比等于相似比(4)、相似三角形面积的比等于相似比的平方- 7 -注意：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等知识点11 、相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法：(1)、线段成比例的定义 (2)、三角形相似的预备定理 (3)、利用相似三角形的性质(4)、利用中间比等量代换 (5)、利用面积关系知识点12 、相似多边形的性质(1)、相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比(2)、相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比(3)、相
13、似多边形面积比等于相似比的平方注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键知识点13 、位似图形有关的概念与性质及作法1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形. 2、 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 注意： （1）、位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2）、位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3）、 位似图形的对应边互相平行或共线.3、位似图形的性质： 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 注
14、：位似图形具有相似图形的所有性质.4、 画位似图形的一般步骤： （1）、确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点） （2）、分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）. （3）、根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置. （4）、 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. 注意：、位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。、外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”- 8 -（即同向位似图形）、内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5）、 在平面直角坐标系中
15、，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),- 9 -相似三角形经典例题透析类型一、相似三角形的概念1、判断对错： (1)、两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2)、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？(3)、两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？(4)、两个等边三角形一定相似吗？为什么？(5)、两个全等三角形一定相似吗？为什么？思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相 似，则只要否定其中的一个条件.解：(1)、不一定相似.
16、反例直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不 一定相似.(2)、不一定相似.反例等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似.(3)、一定相似.在直角三角形ABC与直角三角形ABC中- 10 -(4)、一定相似.因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似.(5)、一定相似.全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且相似比为1.【变式2】下列能够相似的一组三角形为
17、( )A、所有的直角三角形 B、所有的等腰三角形C、所有的等腰直角三角形 D、所有的一边和这边上的高相等的三角形类型二、相似三角形的判定1、如图所示，已知 中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 2、已知在RtABC中，C=90，AB=10，BC=6.在RtEDF中，F=90，DF=3，EF=4，则ABC和EDF相似吗？为什么？ 举一反三【变式1】、已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点求证：ADQQCP- 11 -.【变式3】、已知：如图，AD是ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点求
18、证：DFEABC类型三、相似三角形的性质1、ABCDEF，若ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是DEF中一边的长度，你能求出DEF的另外两边的长度吗？试说明理由. 2、如图所示，已知ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积. 举一反三【变式1】ABC中，DEBC，M为DE中点，CM交AB于N，若 ，求 .- 12 -类型四、相似三角形的应用举一反三【变式1】、如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距
19、离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m【变式2】、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？ 类型五、相似三角形的周长与面积1、已知：如图，在ABC与CAD中，DABC，CD与AB相交于E点，且AEEB=12，EFBC交AC于F点，ADE的面积为1，求BCE和AEF的面积 - 13 -【变式2】、如图，已知：ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ/AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上(1)、当PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求
20、CP的长；(2)、当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；类型六、综合探究1、如图，ABCD，A=90，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PEBP，P为垂足，PE交DC于点E， (1)、设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)、请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由.- 14 -中考链接：例 1、 如图，已知等腰ABC 中，AB AC，ADBC 于 D，CGAB，BG 分别交 AD，AC 于 E、 F，求证：BE2EFEG证明：如图，连结 EC，ABAC，AD B
21、C ，ABCACB，AD 垂直平分 BCBE EC，12 ，ABC-1ACB-2，即34，又 CGAB，G3，4 G又CEGCEF，CEFGEC ， EC=FEC 2 EG EF，故 EB2=EFEG【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明而其中利用线段的垂直平分线的性质得到 BE=EC，把原来处在同一条直线上的三条线段 BE，EF，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。- 15 -例 2 、 已知：如图，AD 是 RtABC 斜 BC 上的高，E 是 AC 的中点，ED 与 AB 的延长线相交于 F，求证
22、：BAF= CD证法一：如图，在 RtABC 中，BACRt，AD BC，3C，又 E 是 RtADC 的斜边 AC 上的中点，ED= 21ACEC，2 C，又12，1 3 ，DFB AFD，DFBAFD， FDB A （1 ）又 AD 是 RtABC 的斜边 BC 上的高，Rt ABDRt CAD， DB= AC （2 ）由（1）（2）两式得 FDB= AC，故 =证法二：过点 A 作 AGEF 交 CB 延长线于点 G，则 =FD（1 ）E 是 AC 的中点， EDAC，D 是 GC 的中点，又 ADGC ，AD 是线段 GC 的垂直平分线，AGAC （2 ）由（1）（2）两式得： BAF
23、= C，证毕。【解题技巧点拨】- 16 -本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“ ADB”过渡，使问题得证，证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证一、如何证明三角形相似例 1、如图：点 G 在平行四边形 ABCD 的边 DC 的延长线上,AG 交 BC、BD 于点 E、F，则AGD 。例 2、已知ABC 中，AB=AC ，A=36，BD 是角平分线，求证：ABC BCD例 3：已知，如图，D 为ABC 内一点连结 ED、AD，以 BC 为边在ABC 外作CBE=ABD，BCE= BAD求证：D
24、BEABC例 4、矩形 ABCD 中，BC=3AB，E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例 5、ABC 中，在 AC 上截取 AD，在 CB 延长线上截取 BE，使 AD=BE，求证：DF AC=BC FE例 6、已知：如图，在ABC 中，BAC=90 0，M 是 BC 的中点，DM BC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D。B G - 17 -求证：（1）MA 2=MD ME；（2）MDEA2例 7、如图ABC 中，AD 为中线， CF 为任一直线，CF 交 AD 于 E，交 AB
25、 于 F，求证：AE： ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相 等。例 8、已知：如图 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点，且 。求证：31ADFBEAEF=FBD例 9、在平行四边形 ABCD 内，AR、BR、CP、DP 各为四角的平分线， 求证：SQAB，RP BC例 10、已知 A、C、E 和 B、 F、D 分别是O 的两边上的点，且 ABED，BCFE，求证：AFCD例 11、直角三角形 ABC 中，ACB=90，BCDE 是正方形，AE 交 BC 于 F，FGAC 交 AB 于 G，求证：FC=FGAB CDEFGAB CDE
26、M12 - 18 -例 12、Rt ABC 锐角 C 的平分线交 AB 于 E，交斜边上的高 AD 于 O，过 O 引 BC 的平行线交 AB 于 F，求证：AE=BF课后作业学生姓名 所属年级 九年级 辅导学科 数学任课教师 作业时限 90 分钟 布置时间 月 日 一、填空题1、已知：在ABC 中，P 是 AB 上一点，连结 CP，当满足条件ACP= 或APC= 或 AC2= 时， ACPABC2、两个相似三角形周长之比为 49 ，面积之和为 291，则面积分别是 。3、如图，DEFG 是 RtABC 的内接正方形，若 CF8，DG4 2，则 BE 。4、如图，直角梯形 ABCD 中，AD
27、BC，ADCD，ACAB，已知 AD4，BC9，则 AC 。5、 ABC 中，AB15，AC9，点 D 是 AC 上的点，且 AD=3，E 在 AB 上， ADE 与ABC 相似，则 AE的长等于 。6、如图，在正方形网格上画有梯形 ABCD，则BDC 的度数为 。7、 ABC 中，ABAC ，A 36，BC1，BD 平分 ABC 交于 D，则 BD ，AD ， - 19 -设 ABx,则关于 x 的方程是 .8、如图，已知 D 是等边ABC 的 BC 边上一点，把ABC 向下折叠，折痕为 MN，使点 A 落在点 D 处，若BDDC23，则 AMMN= 。二、选择题9、如图，在正ABC 中，D
28、、E 分别在 AC、AB 上，且 ACD= 31，AE=BE ，则有（ ）A、AEDBED B、AEDCBDC、AED ABD D、BADBCD10、如图，在ABC 中，D 为 AC 边上一点，DBC A ，BC= 6，AC3 ，则 CD 的长为（ ）A、1 B、 23C、2 D、 2511、如图， ABCD 中，G 是 BC 延长线上一点，AG 与 BD 交于点 E，与 DC 交于点 F，则图中相似三角形共有（ ）A、3 对 B、4 对 C、5 对 D、6 对- 20 -12、 P 是 RtABC 的斜边 BC 上异于 B、C 的一点，过点 P 作直线截ABC，使截得的三角形与ABC 相似，
29、满足这样条件的直线共有（ ）A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条13、如图，在直角梯形 ABCD 中，AB 7，AD2，BC=3，若在 AB 上取一点 P，使以 P、A、D 为顶点的三角形和以 P、B、C 为顶点的三角形相似，这样的 P 点有（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个三、解答下列各题14、如图，长方形 ABCD 中，AB=5，BC10，点 P 从 A 点出发，沿 AB 作匀速运动，1 分钟可以到达 B 点，点 Q 从 B 点出发，沿 BC 作匀速直线运动，1 分钟可到 C 点，现在点 P 点 Q 同时分别从 A 点、B 点出发，经过多少时间，线段 PQ 恰与
30、线段 BD 垂直？- 21 -15、已知：如图，正方形 DEFG 内接于 RtABC，EF 在斜边 BC 上，EHAB 于 H求证：（1）ADGHED；（2）EF 2BEFC（答案）例 1 分析：关键在找“角相等” ，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角G 外,由 BCAD 可得1=2，所以AGDEGC。再1=2（对顶角） ，由 ABDG 可得4=G ，所以EGC EAB。例 2 分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明：A=36，A
31、BC 是等腰三角形，ABC= C=72又 BD 平分ABC，则DBC=36 在ABC 和BCD 中，C 为公共角，A=DBC=36ABCBCD例 3 分析： 由已知条件ABD=CBE ，DBC 公用。所以DBE= ABC ，要证的DBE 和ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到CBEABD ，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。- 22 -证明：在CBE 和ABD 中， CBE= ABD, BCE=BADCBEABD = 即：BCAED=BCEADDBE 和ABC 中，CBE=ABD, DBC 公用C
32、BE+DBC=ABD+DBCDBE= ABC 且= DBEABC例 4 分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形 E(2)如图：其中1= 2，则 ADEABC 称为“相交线型 ”的相似三角形。 EE1242(3)如图：1=2，B= D，则ADEABC，称为 “旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF 与ECA解：设 AB=a，则 BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得 AE= ， 在EAF 与ECA 中，AEF 为公共角，且 所以a2 2
33、AECFEAF ECA例 5 分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及 DF：FE=BC ：AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：证明：过 D 点作 DKAB，交 BC 于 K，DKAB，DF ：FE=BK：BE又AD=BE，DF ：FE=BK ：AD，而 BK：AD=BC ：AC即 DF：FE= BC ：AC ，DF AC=BC FE例 6 证明：（1）BAC=90 0，M 是 BC 的中点，MA=MC ，1= C，DMBC ，C= D=90 0-B，1= D ，2= 2，MAE MDA， ，MA 2=MD ME，AE（2）MAEMDA ， ， AMMDEA2评注：命题 1 如图，
34、如果1= 2，那么ABDACB，AB 2=AD AC。命题 2 如图，如果 AB2=AD AC，那么ABDACB，1= 2 。 - 23 -例 7 分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：ED”的特征，作 DGBA 交 CF 于 G，得AEF DEG ，。与结论 相比较，显然问题转化为证 。DGAFEBFAE21FBD21证明：过 D 点作 DGAB 交 FC 于 G 则AEFDEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似） （1）DD 为 BC 的中点，且 DG B
35、FG 为 FC 的中点则 DG 为CBF 的中位线， （2 ）将（2）代入（1）BFDG得： FBAE21例 8 分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，证明：作 FG BD，垂足为 G。设 AB=AD=3k 则 BE=AF=k，AE=DF=2k，BD= k23ADB=45 0，FGD=90 0DFG=45 0DG=FG= BG= kDF2k221BFAE又A=FGB=90 0
36、AEFGBF AEF=FBD例 9 分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明 SQAB，只需证明AR：AS=BR ：DS 。证明：在ADS 和ARB 中。 DAR=RAB= DAB，DCP=PCB= ABCADS ABR 2121DSBRA但ADS CBQ，DS=BQ，则 ，SQAB，同理可证，RP BCBQRAS例 10 分析：要证明 AFCD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明 AFCD ，只要证明 即可，因
37、此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成ODFC功。证明：ABED，BCFE ， 两式相乘可得：EBODFCA例 11 分析：要证明 FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明 FC=FG，首先要找出与 FC、FG 相关的比例线段，图中与 FC、FG 相关的比例式较多，则应选择与 FC、FG 都有联系的比作为过渡，最终必须得到 （“？”代表相同的线段或相等的线段）?FG，便可完成。证明： FGAC BE，ABEAGF 则有 而 FCDE AEDAFCAEB则有 又BE=DE （正方形的边长相等） ，即 GF=CF。A
38、EFDCGCAFBDE DFBE- 24 -例 12 证明：CO 平分C，2=3，故 RtCAERtCDO， CDAOE又 OFBC， 又 RtABDRt CAD， ，即 AE=BF。ADBOFBF一、B、ACB、APAB 2.48,243 3.4 4.6 5.5 或 1.8 6.135 7.1,1,x2-x-1=0 8.78二、9.B 10.C 11.D 12.C 13.C三、14. 1/5 分钟 15.(1)（略） （2）证GFCBED 16.(1)证BFDDGC 和BADDAC；（2 ）证ABDABE。 17.50m 40m 18.证ABCACP 和证ABDADP 19.（1 ）略 （2
39、）由（1）的结论和证 RtADCRtCDB 即得。 20.(1)略 （2）36cm 21.先探索 AD 只能与 BC 成对应边，则 ADBC= = ，得 BD=100，BC=64 ，故 ABDBDC22.在ABC 中，作ACG=E，CG 交 AB 于点 G，在DEF 中，作EFH=A，FH 交 DE 于点 H，直线CG、FH 就是所求的分割线。8、BD：DC=2：3，设 BD=2a，则 CD=3a，ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=5a，ABC=ACB=BAC=60，由折叠的性质可知：MN 是线段 AD 的垂直平分线，AM= DM，AN=DN，BM+MD+BD=7a，DN+NC+DC=8
40、a ， MDN=BAC=ABC=60，NDC+MDB=BMD+MBD=120，NDC=BMD，ABC=ACB=60，BMDCDN，（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD ）=AM ：AN ，即 AM：AN=7：8 ，故答案为 7：8 9、AD：AC=1：3，AD：DC=1：2；ABC 是正三角形，AB=BC=AC；AE= BE，AE：BC=AE：AB=1：2AD：DC=AE ：BC ；A 为公共角，AEDCBD ；11、解：在ABCD 中，ABCD，所以，ABEFDE，ABGFCG，ADBC，所以，ADEGBE ，FDAFCG，所以ABGFDA ，ABDBCD 故图中相似三角形有 6 对故选
41、：D12、由于ABC 是直角三角形，过 P 点作直线截 ABC，则截得的三角形与 ABC 有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与 RtABC 相似，过点 P 可作 AB 的垂线、AC 的垂线、BC 的垂线，共 3 条直线故选：C- 25 -13、分两种情况进行分析，DAPCBP 或DAPPBC，从而可求得点 P 的个数解答：解：当DAPCBP 时，AD：AP=BC：BP，将已知代入得 AP=14/5；当DAPPBC 时，AD ：AP=PB：BC，将已知代入得 AP=1 或 AP=6，所以这样的点有 3 个故选 C设 APx，则 PB7x. (1)若PADPBC，则 ，即 ，得 x
42、 7，符合条件(2)若PADCBP，即 ，x 27x60，解得 x11，x 26 也符合条件，故满足条件的点 P 有 3 个14、AB=5,BD=10BDA=30QPBD PQB=60沿 AB 做匀速运动,1 分钟可以到 B 点；点 Q 从 B 点出发,沿 BC 做匀速运动,1 分钟可以到 C 点P 速度为 5 每分钟,Q 速度为 10 每分钟设：PQ 运动了 x 分.5-5x=10x(根号 3)15、证明：（1）DEFG 为正方形，EDG=90，1+2=90EHAB，2+3=90，1=3又A=EHD=90，DG=DE，ADGHED（2）在 RtABC 中，B+C=90在 RtBDE 中，B+2=902=CRtBDERtGCF，DE：FC=BE：GF又DE=GF=EF，FCEFEFBEEF2 BEFC
