1、初一数学全等三角形1全等三角形（一）SSS【知识要点】1全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形2全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等（2）全等图形的面积相等3全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“”来表示，读作“全等于” 如全等，记作 DEFABC与 ABCDEF（2）符号“”的含义：“”表示形状相同， “=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角（4）证两个三角形全等时，通常把表示对
2、应顶点的字母写在对应的位置上4全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS” 如图，在 和 中ABCDEFAB【典型例题】例 1如图， ，点 B 与点 D 是对应点，ABC，且 ， ，求26201ACS的度数及 的面积D,例 2如图， ， ，求ABCDEFcmCEBA5,9,50的度数及 CF 的长EDF例 3如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证： CADBE例 4如图 AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：（1） ABCDEF（2）AB/DE，BC/EFAB CDE FAB DCAB E C FDABE CDAB CDFE初一数学全等三
3、角形2例 5如图，在 D、E 分别为 AC、AB 上的点，且,90CAB中BE=BC，DE=DC，求证：（1） ；AB（2）BD 平分 （角平分线的相关证明及性质）【巩固练习】1下面给出四个结论：若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）A、 B、 C、 D、2如图， ，且 AB 和 CD 是对应边，下面四个结论中不正确的是（ ）A、 的面积相等 和B、 的周长相等和C、 CBDD、AD/BC 且 AD=BC3如图， ，A 和 B 以及 C 和
4、D 分别是对应点，如果BCD，则 的度数为（ ）35,60A、 B、 8C、 D、 804如图， ，AD=8，BE=2，则 AE 等于（ ）EFA、6 B、5 C、4 D、35如图，要使 ，则下列条件能满足的是（ ）ACDBEA、AC=BC，AD=CE，BD=BE B、AD=BD，AC=CE，BE=BDC、DC=EC，AC=BC，BE=AD D、AD=BE，AC=DC，BC=EC6如图， ，点 A 和点 D、点 E 和点 F 分别是对应点，则 AB= F， ， AE= ，CE= ，AB/ ，若 ，则 DF 与 BC 的关系是 BE7如图， ，若 AEBACB则,45,30,4， ， DCAEB
5、 CDABDCA BCD第 3 题图BACEFD第 4 题图第 5 题图AB C DE ACEBFD第 6 题图B ACDE第 7 题图第 8 题图AB D E CEFDBC A第 9 题题图初一数学全等三角形38如图，若 AB=AC，BE=CD，AE=AD，则 ，所以 ABECDAEB， ， BAED9如图， ， ，则下列说法错误的是（ ）CF90A、 B、互 余与 互 补与 FC、 D、互 余与 互 余与10如图， ， ，FDBEcmCAC5.2,9,10,3求 的度数及 BC 的长11如图，在 中，AC=BD，AD=BC，求证： ABDC与 ABCD全等三角形（一）作业 1如图， ，AC
6、=7cm，AB=5cm.，则 AD 的长是（ ）ABCD A、7cm B、5cm C、8cm D、无法确定2如图， ， ，点 B、C、E 在同一直线上，ABCDE62,48A则 的度数为（ ） A、 B、 C、 D、483103如图， ，AF=2cm,CF=5cm，则 AD= DEF4如图， ， ，求 的度数ABC25,10BADCA B C DFEAD CB AB CD E初一数学全等三角形45如图，已知，AB=DE，BC=EF，AF=CD，求证：AB/CD6如图，已知 AB=EF，BC=DE，AD=CF，求证： ABCFEDAB/EF7如图，已知 AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：
7、 CAEBDA BCDEFBA CEFDAB ECD初一数学全等三角形0全等三角形（二）【知识要点】定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” ，几何表示如图，在 和 中，ABCDEF)(SA【典型例题】【例 1】 已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.【例 2】 如图，已知：点 D、E 在 BC 上，且BD=CE，AD=AE，1=2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例 3】 如图已知：AE=AF，AB=AC，A=60，B=24，求BOE 的度数.【例 4】 如图，B，C，D 在同一条直线上，ABC，ADE 是等边三角形，求证：CE=A
8、C+DC； ECD=60.【例 5】如图，已知ABC、BDE 均为等边三角形。求证：BDCD=AD。AB C EDFADBECAB D E C1 2BEAF COEAB C DDAB CE初一数学全等三角形1【巩固练习】1在ABC 和 中，若 AB= ，AC= ，还要加一个角的条件，CBABAC使ABC ，那么你加的条件是（ ）AA= B.B= C.C= D.A=B2下列各组条件中，能判断ABCDEF 的是（ ）AAB=DE，BC=EF；CA=CD B.CA=CD；C=F；AC=EFCCA=CD；B=E D.AB=DE；BC=EF，两个三角形周长相等3阅读理解题：如图：已知 AC，BD 相交于
9、 O，OA=OB，OC=OD.那么AOD 与BOC 全等吗？请说明理由.ABC 与BAD 全等吗？请说明理由.小明的解答：AODBOC21而BAD=AOD+ADB ABC=BOC+AOB所以ABCBAD（1）你认为小明的解答有无错误；（2）如有错误给出正确解答；4如图，点 C 是 AB 中点，CDBE，且 CD=BE，试探究 AD 与 CE 的关系。 5如图，AE 是 AB=AC，BAC的 平 分 线（1）若 D 是 AE 上任意一点，则ABDACD，说明理由.（2）若 D 是 AE 反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由.6如图，已知 AB=AC，EB=EC，请说明 BD=CD 的理由D
10、 C1 2OA BACB EDBCDEA 12ABED CSASOA=OBOD=OC初一数学全等三角形2全等三角形（二）作业1如图，已知 AB=AC，AD=AE ，BF=CF，求证： 。BDFCE2如图，ABC，BDF 为等腰直角三角形。求证：（1）CF=AD；（2）CEAD。3如图，AB=AC，AD=AE， BE 和 CD 相交于点 O，AO 的延长线交 BC 于点F。求证：BF=FC。4已知：如图 1，ADBC，AE=CF，AD=BC，E、F 在直线 AC 上，求证：DEBF。5. 如图，已知 ABAC，ADAE，AB=AC，AD=AE，求证：（1）BE=DC， （2）BEDC.6、已知，
11、如图 A、F、C、D 四点在一直线上， AF=CD，AB/DE，且 AB=DE，求证：（1）ABCDEF （2）CBF=FECAB CEDFAC B DEFAD ECB FO12D CA BEFDABQ CPE初一数学全等三角形37、 已知:如图,AB=AC,AD=AE, BAC= DAE. 求证:BD=CE8、如图，正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边 CE 上，连接 BE、DG，（1）观察猜想 BE 与 DG 之间的大小关系，并证明你的结论。（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。9、已知:如图,AD 是 BC 上的
12、中线 ,且 DF=DE求证:BECF10、已知 C 为 AB 上一点,ACN 和 BCM 是正三角形.求证：（ 1）AM=BN（2）求AFN 大小。11、已知如图，F 在正方形 ABCD 的边 BC 边上，E 在AB 的延长线上，FBEB，AF 交 CE 于 G，求AGC 的度数.12、 如图，ABC 是等腰直角三角形，其中 CA=CB，四边形 CDEF 是正方形，连接 AF、BD.(1)观察图形，猜想 AF 与 BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形 CDEF 绕点 C 按顺时针方向旋转，使正方形 CDEF 的一边落在ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标
13、记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.CNMBAEDFFDACE BFDACGEB初一数学全等三角形0全等三角形（三）ASA【知识要点】ASA 公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等如图，在 与 中ABCDEF)(ASEFBASA 公理推论（AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 【典型例题】【例 1】下列条件不可推得 和 全等的条件是（ ）ABCA、 AB=A B ， ， B、 AB= A B ，AC=A C ，BC= C C、 AB= A B ，AC=A C ， D、 AB= A B ， ， B【例
14、 2】已知如图，求证：BC=EFDE/,【例 3】如图，AB=AC， ，求证：AD=AECB【例 4】已知如图， ，点 P 在 AB 上，可以得出 PC=PD 吗？43,21试证明之【例 5】如图， ，AC=AE，求证：DE=BC321AB CDE FA DB E C FABD ECABCDP1 23 41 2A43BCDEO初一数学全等三角形1【例 6】如图， ，AC，BD 相交于 O，21,DA求证：AB=CD OA=OD【巩固练习】1如图，AB/CD，AF/DE，BE=CF，求证：AB=CD2如图，AD/BC，O 为 AC 中点，过点 O 的直线分别交 AD，BC 于点 M，N，求证：A
15、M=CN3求证：两个全等三角形 ABC 与 A B C 的角平分线 AD、A D 相等 4如图，AB，CD 相交于 O，E，F 分别在 AD，BC 上，若 ，求FOBED证： COFAE5如图，AB/CD，AD/BC，求证：AB=CD6已知，如图 AB=DB， ，求证：AC=DE21,ECAB CDO1 2A BCNMDOAB CDA B D CAEDOCFBCADEB12A BDCFEABDC1 324初一数学全等三角形2全等三角形（三）作业1已知，如图， ，求证：AB=DECDAFDA,21,2如图，已知 ，求证：BE=CDCADBEAED,3已知如图，AB=AD ， ，求证：AC=AEC
16、AEBD, 4已知如图，在 中，AD 平分 ，求证：ABCBCAD,DAC 5已知如图， ，求 BD 的长cmACBDDBCA10, （要求写出完整的过程）6、如图 中，BC，D，E，F 分别在 AB,BC,AC 上，且ABCBD=CE,DEF=B 求证：ED=EFAEF DCB12AB E D CABDCEABDCAC BDADE CBF初一数学全等三角形37、 (1)如图，以 的边 、 为边分别向外作正方形 和正方形ABC ABDE，连结 ，试判断ABC 与AEG 面积之间的关系，并说明理由ACFGE(2)园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成已知中间的
17、所有正方形的面积之和是 a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是 b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？8、已知：如图 , AD 为 CE 的垂直平分线 , EFBC.求证：EDNCDNEMN9、 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：OBDOCE10、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O 为 BD 中点 , 过 O 作直线分别与 DA、BC的延长线交于 E、F求证：OE=OF11、如图在ABC 和DBC 中 , 1=2 , 3=4 , P 是 BC 上任意一点求证：PA=PD.12、已知 ：如图 , 四边形 ABCD 中 , ADBC , F 是 AB 的中点
18、, DF 交 CB 延长线 于 E , CE=CD求证：ADE=EDC13、已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线 FA 与 BE交于 C , AB 和 EF 交于 O ,求证：1=2AGFCBDE（图）初一数学全等三角形4初一数学全等三角形0全等三角形（四）强化训练1、如图， 是等边三角形，点 、 、 分别是线段 、 、 上ABCDEFABC的点，（1）若 ，问 是等边三角形吗？试证明你的结论；DEF（2）若 是等边三角形，问 成立吗？试证明你的结论ABC2、如图所示，已知1=2，EFAD 于 P，交 BC 延长线于 M，求证：2M=（ACB-B）3、ABC 中，A=90，AB
19、=AC，D 为 BC 中点，E、F 分别在 AC、AB 上，且DEDF，试判断 DE、DF 的数量关系，并说明理由4、已知：如图， 中， ， 于 ， 平分 ，ABC 45CDABEABC且 于 ，与 相交于点 是 边的中点，连结 与 相BEDFH， H交于点 G（1）求证： ；（2 ）求证：F；2C A F D B E C 21 PF MDBACEFDCA BED A E F C H G B 初一数学全等三角形15、 如图，点 是等边 内一点， 将OABC 10OBC，绕点 按顺时针方向旋转 得 ，连接 BC 60D（1）求证： 是等边三角形；D（2）当 时，试判断 的形状，并说明理0由；（3
20、）探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？A B C D O 10 初一数学全等三角形27、过等腰直角三角形直角顶点 A 作直线 AM 平行于斜边 BC，在 AM 上取点 D，使BD=BC，且 DB 与 AC 所在直线交于 E，求证：CD=CE。过 A 作 AFBC 于 F，过 D 作DGBC 于 G，则DG=AF=1/2BC=1/2BD，在 RtBDG 中，DG=1/2BD =DBC=30 =BDC= BCD=1/2(180-30)=75，即EDC=75DEC=DBC+BCA=30+45=75 EDC=DEC =CD=CE8、RtABC，AB=AC,BM 是中线，ADBM 交 BC 于 D，求
21、证：AMB=CMD。9、如图，已知ABC 是等边三角形，BDC120，说明 AD=BD+CD 的理由。10、已知：如图，点 D 在ABC 的边 CA 的延长线上，点 E 在 BA 的延长线上，CF、EF 分别是ACB、AED 的平分线，且B=30，D=40，求F 的度数。11、等边三角形 ABC 和等边三角形 DEC，D 在 AC 边上。延长 BD 交 CE 延长线于 N，延长 AE 交 BC 延长线于 M。求证：CM=CN 易证BCDACE 所以DBC=EAC再证BCNACM (ASA) CM=CNECABMDCABMDAB CEMND初一数学全等三角形312、操作：如图， ABC 是正三角
22、形， BDC 是顶角 BDC120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交 AB、 AC 边于 M、 N 两点，连接 MN探究：线段 BM、 MN、 NC 之间的关系，并加以证明13、如图等边ABC 和等边CDE，点 P 为射线 BC 一动点，角 APK=60，PK 交直线 CD 于 K。（1） 试探索 AP、PK 之间的数量关系；K ECABDP（2） 当点 P 运动到 BC 延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。14、 （涉及相似三角形）若 P 为 所在平面上一点，且ABC，则点 叫做 的费马点. 如图，在锐角120APBCAB外侧作等边 连结 。 求证： 过 的费马
23、点 ，且 = . PCACBB15、如图, 是等腰直角三角形 ,C90 0,点 M,N 分别是边 AC 和 BC 的中点,AB点 D 在射线 BM 上,且 BD2BM, 点 E 在射线 NA 上,且 NE2NA.求证:BDDE.KECABDP初一数学全等三角形4MNEDCBA初一数学全等三角形5第五章 全等三角形 拓展延伸分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中” ，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等” ，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。例 1：已知 AE 既是BAC 的平分线，也是BDC 的平分线，试说
24、明 AB=AC思路：AB 在ABD 中，AC 在ACD 中，要说明 AB=AC，尝试说明ABD 与ACD 全等。1 观察图形发现两个三角形存在公共边 AD2 题目所给条件可以得到两组角相等，3 再根据三个条件的位置，利用 ASA，可得三角形全等4 再利用全等三角形的对应边相等，得到 AB=AC例 2：在ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过点 A 的直线，BDAE，CEAE，如果 CE=5，BD=11，请你求出 DE 的长度。思路：抓住题目中所给的一组相等线段 AB=AC 进行分析，对它们的位置进行分析，发现 AB、AC 分别位于一个 Rt中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个
25、 Rt全等。那么：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角.可以求证ABDACE。DCE AB EDACB初一数学全等三角形6练习 1. 小明说：“三角形一边的两个端点到这边上的中线所在直线的距离相等。 ”你认为小明的话有道理吗？为什么？分析：如图，题目的意思是要你说明哪两条线段相等呢? _我们只需要说明 _解：练习 2 在ABC 中，ACB= 900，AC=BC，直线 MN 经过点C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E。（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，ADCCEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。 FEDBCAEDCBA NM图 1 图 2EDCBANM图 3EDCBANM
