1、2016 年上海市高中数学竞赛试题及答案一、填空题（本题满分 60 分，前 4 小题每小题 7 分，后 4 小题每小题 8 分）1.已知函数 （ ， 均为常数） ，函数 的图象与函数2fxabc0a,bc1fx的图象关于 轴对称，函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，fy2fx1fy则函数 的解析式为 2x答案： 2.fabxc解 在函数 的表达式中用 代替 ，得 ，在函数yfx21fxabc的表达式中用 代替 ，得1yfx2y22.fabc2.复数 满足 ， 在复平面上对应的动点 所表示曲线的普通方程是z23wzW答案：21.5yx解 设 ，则 ，,zabiwxyi21ab22 2233
2、10.abixyii iiabab从而 ，于是2,10xy22241.5yxab3.关于 的方程 的解是 arctnrta6x答案： 2log3.x解 因为 ，所以 ，tarcttarct21xxxarctn2rta2xx解得 ，则n,n36xx 23,log.4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为 ，则同时掷这四颗,345,6骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于 ，共有 种可能答案：48解 四颗骰子乘积等于 36，共有四种情形：（1 ）两个 1，两个 6，这种情形共 种可能；246C（2 ）两个 2，两个 3，这种情形共 种可能；（3 ）两个 3，一个 1，一个 4，这种情形共
3、 种可能；214（4 ） ， 各一个，这种情形共 种可能,6A综上，共有 种可能285.已知函数 ，若存在 ，使1cos,20xfxga12,0,x成立，则实数 的取值范围为 12fg答案； 3,0,.解 易知 时， 只需求 的取值范围，使得 能取到 中的,1x1,.fxagx1,值（1 ）当 时， 单调递增，因为 ，故只需 ，解得0ag12gx03.2a（2 ）当 时， 单调递减，因为 ，故只需 ，解得x1g.6.如图，有 16 间小三角形的房间，甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 （用分数表示） 答案： 17.20解法一 如图 1，
4、将小三角形房间分为三类：与第一类（红色）房间相邻的房子恰有一间，与第二类（绿色）房间相邻的房间恰有两间，与第三类（白色）房间相邻的房间恰有三间，从而满足条件的安置方法共有 种从而所求31623716420概率为 20417.65解法二 我们从反面考虑问题，如图 2，每一对相邻房间对应着一条黄色的邻边，故所求概率为 831.207.在空间，四个不共线的向量 ，它们两两的夹角都是 ，则 的大小是,OABCD答案： 1arcos.3解 如图， 为正四面体，角 即为 ，设 分别为 和 的中点，则ABCDAOD,EMBCAD，则中心 在 上，从而 为 的垂心，,EOE11sinsi cos.33H所以，
5、 arco.8.已知 ，则 的取值范围为 30,1bab答案： 314解 注意到 ，及20ab23221 3,abababab我们有 ，所以331414.二、解答题（本题满分 60 分，每小题 15 分）9.如图，已知五边形 内接于边长为 1 的正五边形 求证：五边形11ABCDEABCDE中至少有一条边的长度不小于11ABCDEcos.5证 设 的长分别为11111,EABCDE121,abc则212,cde112121212 5.abcdec 由平均数原理， 中必有一个大于 ，不妨设121212,ab1，则 此时12a0.2221111121232cos cos55cos cs521cos
6、5coss.5AEaaa 所以， 命题得证1.AE10.设 和 是素数，且 ，求 的所有可能的值,pqr|1,|,|1pqrrpqr解 由题设可得 ，因为|21 1,rrrrp所以， 于是 为正整数|1.pqrp1qpq记 ，注意到 ，则 从而1kr,2r3k1.由对称性，不妨设 .pqr若 ，则 ，矛盾，故3p1k2.p若 ，则 ， ，矛盾q521若 ，则 ，也矛盾故214kr3.q最后，由 ，得365.综上， 0.pqr11.已知数列 满足递推关系 ，求所有 的值，使 为单na*123nnaN1an调数列，即 为递增数列或递减数列解 由 得， ，令 ，则123nna112nna3nba11
7、6,5nnnnbbb从而， 则1163,52n1111163352221.5352nnnnnnbaaaT若 ，注意到 ，则当 时， 与 同号，但1a2/315logaT125a正负交替，从而 正负交替， 不为单调数列2nnan当 时， 为递减数列15a123n综上，当且仅当 时， 为单调数列1na12.已知等边三角形 的边长为 5，延长 至点 ，使得 ， 是线段 上ABCBAP9ADBC一点（包括端点） 直线 与 的外接圆交于 两点，其中D,EF.E（1 ）设 ，试将 表示为关于 的函数 ；xEFxf（2 ）求 的最小值f解 （1）设 ，则,uAvDw.fxuw在 中，由余弦定理，得B22155.vxx在 的外接圆中运用相交弦定理，得PC94,.uwuvw两式相减，得 故254,vx 2205.xfxu x（2）设 ，则250tx225402045.xtf tt当且仅当 时等号成立，此时 解得0t 2,tx5.2x所以，当 时， 取到最小值52xf45.
