1、13.2 古典概型学习目标 重点难点1知道基本事件的特点2理解古典概型的定义3会应用古典概型的概率公式解决实际问题.重点：理解古典概型的定义难点：会用古典概型的概率公式解决实际问题.1基本事件(1)在 1 次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件(2)若在 1 次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件预习交流 1在掷一枚质地均匀的硬币 2 次的试验中，其基本事件是什么？每个事件出现的可能性相同吗？提示：该试验的基本事件是“出现正面向上，正面向上” 、 “出现正面向上，反面向上” 、“出现反面向上，正面向上” 、 “出现反面向上，反面向上” 每个事件出现的可
2、能性相同2古典概型(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件的发生都是等可能的我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型古典概型的特征是有限性和等可能性预习交流 2“在区间0,5上，任取一个数，求这个数恰好为 1 的概率” 这个概率模型是古典概型吗？提示：不是因为在区间0,5上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型3古典概型的概率计算公式如果 1 次试验的等可能基本事件共有 n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是 .如果某个事件 A 包含了其中 m 个等可能基本事件，那么事件 A 发生的概率为 P(A)1n.m预习交流 3古典概型的概率计
3、算公式与随机事件频率的计算公式有什么区别？提示：古典概型的概率公式 P(A) ，与随机事件 A 发生的频率 有本质的区别，其中mn mnP(A) 是一个定值，且对同一试验的同一事件， m， n 均为定值，而频率中的 m， n 均随试mn验次数的变化而变化，但频率总接近于 P(A)预习交流 4(1)袋中装白球和黑球各 3 个，从中任取 2 个，则取出的全是白球的概率是_(2)在两个袋内，分别装着写有 0,1,2,3,4,5 六个数字的 6 张卡片今从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于 5 的概率为_(3)掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率为_提示：(1) (2) (3)15 16
4、 122一、古典概型概念的理解下列试验是否属于古典概型？(1)一个盒子中有三个除颜色外完全相同的球，其中红球、黄球、黑球各一个，从中任取一球， “取出的是红球” 、 “取出的是黄球” 、 “取出的是黑球” ；(2)向一个圆内随机的投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的思路分析：由题目可获取以下主要信息：给出两个具体的试验模型；判断两试验是否属于古典概型解答本题可根据古典概型的两个特征进行判断解：(1)中给出三个随机事件，由于球除颜色外完全相同，因此这三个事件是等可能的，且试验结果个数是有限的，因此属于古典概型(2)试验的所有可能结果是圆内的所有点，是无限的，因此这个试验不属于古典概型1下列
5、属于古典概型的是_任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件；求任意一个正整数平方的个位数字是 1 的概率，将取出的正整数作为基本事件；从甲地至乙地共有 n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率；抛掷一枚质地均匀的硬币到首次出现正面为止的次数答案：解析：中两枚骰子的点数之和出现的机会不均等，不满足等可能性；中的基本事件数是无限的；中到首次出现正面是不确定的，有可能一直抛下去不出现正面，不满足有限性2掷一枚质地均匀的骰子，观察掷出的点数，写出所有的基本事件，并判断其是否是古典概型解：有 6 个基本事件，分别是“出现 1 点” 、 “出现 2 点”“出现 6 点” 因为骰子的质地均匀，所以每个基本
6、事件的发生是等可能的，故它是古典概型3一个袋子中装有 10 个大小、形状都相同的球，其中 3 个黑球，7 个白球，从中随机取一个球，求这个球是黑球的概率这样的问题可以用古典概型来处理吗？请说明理由解：可以满足古典概型的两个基本特征：(1)可以摸出的球的结果只有 10 个，即 10 个球中的任意一个；(2)每个球被摸到的可能性是相同的所以可以用古典概型来处理古典概型是最简单而又最基本的概率模型，判断一个随机试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：一是对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；二是对于上述所有不同试验结果而言，它们出现的可能性是相等的基本事件是试
7、验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来表示在等可能基本事件中每个基本事件的发生的可能性都相同，并且在同一个试验中任意两个基本事件都不可能同时发生二、基本事件的计数问题一只口袋内装有大小相同的 5 个球，其中 3 个白球，2 个黑球，从中一次摸出两个球(1)共有多少个基本事件？(2)事件“两个都是白球”包含几个基本事件？思路分析：解答本题可先列出摸出两球的所有基本事件，再数出“两个均为白球”的基本事件数解：(1)方法一：采用列举法分别记白球为 1,2,3 号，黑球为 4,5 号，有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3
8、,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 个基3本事件(其中(1,2)表示摸到 1 号、2 号球)方法二：采用列表法设 5 个球的编号为： a， b， c， d， e，其中 a， b， c 为白球， d， e 为黑球列表如下：由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而( b， a)与( a， b)是相同的事件，故共有 10 个基本事件(2)方法一中“两个都是白球”包括(1,2)，(1,3)，(2,3),3 个基本事件方法二中，包括( a， b)，( b， c)，( c， a),3 个基本事件1某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2 个，则基本事件共有_个答案
9、：3解析：该学生选数学、计算机，或数学、航空模型，或计算机、航空模型，共有 3 个基本事件2从分别写有字母 A， B， C， D， E 的 5 张卡片中任取 2 张， “这 2 张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻”这一事件包含的基本事件是_答案：取到的是 AB、取到的是 BC、取到的是 CD、取到的是 DE解析：由题意知，取到的 2 张卡片上的字母可能为： AB， BC， CD， DE.3一个不透明的口袋中装有大小、形状都相同的 1 个白球和 3 个编有不同号码的黑球，从中任意摸出 2 个球(1)写出所有的基本事件；(2)求事件“摸出的 2 个球是黑球”包含多少个基本事件？解：4 个球的大小、
10、形状都相同，摸出每个球的可能性是相等的记 3 个黑球分别为1,2,3 号(1)从装有 4 个球的口袋中摸出 2 个球，基本事件共有 6 个：(白，黑 1)，(白，黑 2)，(白，黑 3)，(黑 1，黑 2)，(黑 1，黑 3)，(黑 2，黑 3)(2)摸出的 2 个球是黑球，有如下 3 个基本事件：(黑 1，黑 2)，(黑 1，黑 3)，(黑2，黑 3)求基本事件个数的方法：(1)列举法或列表法，此法适合于较简单的试验题目；(2)树状图法，树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件的求法不论用哪种方法，要注意不重复不遗漏三、古典概型概率的求法袋中有 6 个球，其中 4 个白球，2
11、 个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)A：取出的两球都是白球；(2)B：取出的两球 1 个是白球，另 1 个是红球4思路分析：按求古典概型的概率的计算步骤，先用列举法列举出所有的基本事件及事件 A， B 所包含的基本事件，再由公式 P(A) 求出概率mn解：设 4 个白球的编号为 1,2,3,4,2 个红球的编号为 5,6.从袋中的 6 个小球中任取两个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共 15 种(1)从袋中的 6 个球中
12、任取两个，所取的两球全是白球的取法总数，即是从 4 个白球中任取两个的取法总数，共有 6 种，为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)取出的两个球全是白球的概率为 P(A) ；615 25(2)从袋中的 6 个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共 8 种取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为 P(B) .8151有 100 张卡片(从 1 号到 100 号)，从中任取 1 张，取到卡号是 7 的倍数的概率为_答案：750解析：有 100 张卡片
13、(从 1 号到 100 号)，从中任取 1 张，有 100 种取法，而卡号是 7的倍数的有 14 种，所以所求概率为 .7502某国际科研合作项目由两个美国人、一个法国人和一个中国人共同开发，现从中随机选出两人作为成果发布人，则选出的两人中有中国人的概率是_答案：12解析：两个美国人分别用 a1和 a2表示，法国人用 b 表示，中国人用 c 表示这个试验的基本事件共有 6 个：( a1， a2)，( a1， b)，( a1， c)，( a2， b)，( a2， c)，( b， c)记事件A“选出的两人中有中国人” ，则 P(A) .36 123(2012 天津高考)某地区有小学 21 所，中学
14、 14 所，大学 7 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析，列出所有可能的抽取结果；求抽取的 2 所学校均为小学的概率(1)解：从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1.(2)解：在抽取到的 6 所学校中，3 所小学分别记为 A1， A2， A3,2 所中学分别记为A4， A5，大学记为 A6，则抽取 2 所学校的所有可能结果为 A1， A2， A1， A3， A1， A4，A1， A5， A1， A6， A2， A3， A2， A4
15、， A2， A5， A2， A6， A3， A4， A3， A5，A3， A6， A4， A5， A4， A6， A5， A6，共 15 种解：从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为 A1， A2，A1， A3， A2， A3，共 3 种所以 P(B) .315 15(1)求古典概型的概率可按下面四个步骤进行：第一，仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意第二，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 A.第三，分别求出基本事件的个数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m.5第四，利用公式 P(A) 求出事件 A 的概率mn(2)求基本
16、事件个数的基本方法是列举法基本事件的特点：是不能再分的最简单的随机事件；不同的基本事件在同一试验中不能同时发生因此求基本事件时，一定要从可能性入手，对照基本事件的含义及特征，将所有可能的基本事件一一列举出来，做到不重不漏1某小组共 9 人，分得一张演出的入场券，组长将一张写有“得票”字样和八张写有“不得票”字样的纸签混合后让大家依次各抽取一张，以决定谁得入场券，则下列说法正确的序号是_第一个抽签者得票的概率最大第五个抽签者得票的概率最大每个抽签者得票的概率相同最后抽签者得票的概率最小答案：解析：根据古典概型的特征可知， “每个抽签者得票的概率相同” ，此即抽签具有公平性原则因为抽签法是简单随机
17、抽样，所以是等概率抽样，故正确2同时投掷两枚大小相同的骰子，用( x， y)表示结果，记 A 为“所得点数之和小于5”，则事件 A 包含的基本事件总数是_答案：6解析：由题意知 1 x6,1 y6， x y5 且 xZ， yZ，所以事件 A 包含的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(1,3)，(3,1)共 6 个3利用简单随机抽样的方法抽查了某校 200 名学生，其中戴眼镜的同学有 123 人，若在这个学校随机调查一名学生，则他戴眼镜的概率是_答案：0.615解析：因为简单随机抽样是等可能抽样，所以每个个体被抽到的概率相同，即0.615.1232004从 1,2,3,
18、4 这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_答案：13解析：四个数任取两个数包含 6 个基本事件，一数是另一个数的两倍，只有 1,2 与2,4 两种情况，即包含 2 个基本事件由古典概型的概率公式知 P .mn 26 135判断下列试验是否是古典概型，并说明理由：(1)从 6 名同学中，选出 4 人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；(2)同时掷两颗骰子，点数和为 7 的概率；(3)近三天中有一天降雨的概率；(4)10 个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率解：(1)(2)(4)是古典概型因为符合古典概型的定义和特点有限性和等可能性；(3)不是古典概型因为不符合等可能性，受多方面因素影响
