1、有理数相关能力提高及竞赛训练练习1数形结合谈数轴一、阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面：1、利用数轴能形象地表示有理数；2、利用数轴能直观地解释相反数；3、利用数轴比较有理数的大小；4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。二、知识点反馈1、利用数轴能形象地表示有理数；例 1：已知有理数 在数轴上原点的右方，有理数 在原点的
2、左方，那么（ ）abA B C Dbab0a0a拓广训练：1、如图 为数轴上的两点表示的有理数，在 中，负数的个数有（ ）, ab,2,（“祖冲之杯”邀请赛试题）A1 B2 C3 D43、把满足 中的整数 表示在数轴上，并用不等号连接。5aa2、利用数轴能直观地解释相反数；例 2：如果数轴上点 A 到原点的距离为 3，点 B 到原点的距离为 5，那么 A、B 两点的距离为 。拓广训练：1、在数轴上表示数 的点到原点的距离为 3，则a ._a2、已知数轴上有 A、B 两点，A、B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O 的距离为 3，那么所有满足条件的点 B与原点 O 的距离之和等于 。 （北京市
3、“迎春杯”竞赛题）3、利用数轴比较有理数的大小；例 3：已知 且 ，那么有理数 的大小关系是 。 （用“0,baaba,”号连接） （北京市 “迎春杯 ”竞赛题）拓广训练：1、 若 且 ，比较 的大小，并用“ ”号连接。,nmnmnnm, Oa b2例 4：已知 比较 与 4 的大小 5a拓广训练：1、已知 ，试讨论 与 3 的大小 2、已知两数 ，如果 比 大，试判断 与 的大小3aba, ab4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例 5： 有理数 在数轴上的位置如图所示，式子 化简结果为（ ）cba, cbaA B C D32cbb拓广训练：1、有理数 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果
4、为 cba, caa1。2、已知 ，在数轴上给出关于 的四种情况如图所示，则成立的是 。2b, 3、已知有理数 在数轴上的对应的位置如下图：则 化简后的结果是（ ）cba, bac1（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）A B C D112cba2三、培优训练1、已知是有理数，且 ，那以 的值是（ ）02yxyxA B C 或 D 或2331232、 （07 乐山）如图，数轴上一动点 向左移动 2 个单位长度到达点 ，再向右移动 5 个单位长度到达点AB若点 表示的数为 1，则点 表示的数为（ ）C 73、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1 个单位，点 A、B、C、D 对应的数分别是整数且
5、 ，那么数轴的原点应是（ ）dcba,102aAA 点 BB 点 CC 点 DD 点4、数 所对应的点 A，B，C，D 在数轴上的位置如图所示，那么 与 的大小关系是（ , cadb）Oab 1c 0ab 0ab 0ab 0ab Oa b-1 1c Oab-1c10A2B5C DCBA3A B C D不确定的dbcadbcadbca5、不相等的有理数 在数轴上对应点分别为 A，B，C，若 ，那么点 B（ , caba）A在 A、C 点右边 B在 A、C 点左边 C在 A、C 点之间 D以上均有可能6、设 ，则下面四个结论中正确的是（ ） （全国初中数学联赛题）1xyA 没有最小值 B只一个 使
6、 取最小值xyC有限个 （不止一个）使 取最小值 D有无穷多个 使 取最小值y7、在数轴上，点 A，B 分别表示 和 ，则线段 AB 的中点所表示的数是 。3518、若 ，则使 成立的 的取值范围是 。0,babaxx9、 是有理数，则 的最小值是 。x2191x10、已知 为有理数，在数轴上的位置如图所示：dcba,且 求 的值。,6436 cbada2311、 （南京市中考题）(1)阅读下面材料：点 A、B 在数轴上分别表示实数 ，A、B 两点这间的距离表示为 ，当 A、B 两点中有一点在原点时，ba,不妨设点 A 在原点，如图 1， ；当 A、B 两点都不在原点时，baO如图 2，点 A
7、、B 都在原点的右边 ；ba如图 3，点 A、B 都在原点的左边 ；AB如图 4，点 A、B 在原点的两边 。baO综上，数轴上 A、B 两点之间的距离 。（2）回答下列问题：数轴上表示 2 和 5 两点之间的距离是 ，数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离是 ，数轴上表示 1 和-3 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 和-1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ，如果 ，那么 为 ；x 2ABx当代数式 取最小值时，相应的 的2x取值范围是 ；Oabd cBAO aboB(A)O ob BAO oba BAO obaC0D4求 的最小值。197321xxx聚焦绝对值一、阅读与思考绝对值是初中
8、代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。去绝对值符号法则： 0aa2、恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看 表示数 的点到原点的距离； 表示数 、数 的两点间的距离。bab3、灵活运用绝对值的基本性质 0a22a0aba b二、知识点反馈1、去绝对值符号法则例 1：已知 且 那么 。3
9、,5aabb拓广训练：1、已知 且 ，那么 。 （北京市“迎春杯”竞赛题）,2,cbc2c2、若 ，且 ，那么 的值是（ ）5,8a0abaA3 或 13 B13 或-13 C3 或-3 D-3 或-132、恰当地运用绝对值的几何意义例 2： 的最小值是（ ）1xA2 B0 C1 D-1解法 1、分类讨论当 时， ；x21xx5当 时， ；1x211xx当 时 。比较可知， 的最小值是 2，故选 A。x解法 2、由绝对值的几何意义知 表示数 所对应的点与数 1 所对应的点之间的距离； 表示数1x 1x所对应的点与数 -1 所对应的点之间的距离； 的最小值是指 点到 1 与-1 两点距离和的最x
10、 x小值。如图易知当 时， 的值最小，最小值是 2 故选 A。11x拓广训练：1、 已知 的最小值是 ， 的最大值为 ，求 的值。23xa3xba三、培优训练1、如图，有理数 在数轴上的位置如图所示：ba,则在 中，负数共有（ ） （湖北省荆州市竞赛题）4,22, baA3 个 B1 个 C4 个 D2 个2、若 是有理数，则 一定是（ ）mmA零 B非负数 C正数 D负数3、如果 ，那么 的取值范围是（ ）02xxA B C Dx24、 是有理数，如果 ，那么对于结论（1） 一定不是负数；（2） 可能是负数，其中ba, baab（ ） （第 15 届江苏省竞赛题）A只有（1）正确 B只有（2
11、）正确 C （1） （2）都正确 D （1） （2）都不正确5、已知 ，则化简 所得的结果为（ ）A B C D32aa6、已知 ，那么 的最大值等于（ ）40A1 B5 C8 D97、已知 都不等于零，且 ，根据 的不同取值， 有（ ）cba, abcaxc,xA唯一确定的值 B3 种不同的值 C4 种不同的值 D8 种不同的值-1x-10a-2 b168、满足 成立的条件是（ ） （湖北省黄冈市竞赛题）baA B C D0b10a1ab9、若 ，则代数式 的值为 。52xxx2510、若 ，则 的值等于 。0abab11、已知 是非零有理数，且 ，求 的值。c, 0,abcabc12、已知
12、 是有理数， ，且 ，求 的值。dcba, 16,9dcba 25dcbacdab13、阅读下列材料并解决有关问题：我们知道 ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式0xx时，可令 和 ，分别求得 （称 分别为 与21102x2,1x,11x的零点值） 。在有理数范围内，零点值 和 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下x3 种情况：（1）当 时，原式= ;121xx（2）当 时，原式= ；2x3（3）当 时，原式= 。综上讨论，原式=2123xx通过以上阅读，请你解决以下问题：7（1） 分别求出 和 的零点值；（2）化简代数式x442x14、 （1）当 取何值时， 有
13、最小值？这个最小值是多少？（ 2）当 取何值时， 有最大值？x3x x25x这个最大值是多少？（3）求 的最小值。 （4）求 的最小值。54 98715、某公共汽车运营线路 AB 段上有 A、D、C、B 四个汽车站，如图，现在要在 AB 段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求 A，B，C，D 四个汽车站到加油站 M 的路程总和最小，试分析加油站 M在何处选址最好？16、先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的 台机床在工作，我们要设置一个零件供应站 P，使这 台机床到供应1n n站 P 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图，如果直线上有 2
14、 台机床（甲、乙）时,很明显 P 设在 和 之间的任何地方都行,因为甲和乙分1A2别到 P 的距离之和等于 到 的距离.1A如图,如果直线上有 3 台机床(甲、乙、丙)时，不难判断，P 设在中间一台机床 处最合适，因为如果2AP 放在 处，甲和丙分别到 P 的距离之和恰好为 到 的距离；而如果 P 放在别处，例如 D 处，那么2 1A3甲和丙分别到 P 的距离之和仍是 到 的距离，可是乙还得走从 到 D 近段距离，这是多出来的，因13 2CBA1 A2 丙丙P A 3（PA1A2 丙D丙8此 P 放在 处是最佳选择。不难知道，如果直线上有 4 台机床，P 应设在第 2 台与第 3 台之间的任何
15、地2A方；有 5 台机床，P 应设在第 3 台位置。问题（1）：有 机床时，P 应设在何处？n问题（2）根据问题（1）的结论，求 的最小值。617321xxx有理数的运算一、阅读与思考在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数” ，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的 符号演算 。数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵
16、活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。二、知识点反馈1、利用运算律：加法运算律 乘法运算律cba加 法 结 合 律加 法 交 换 律 acb乘 法 分 配 律乘 法 结 合 律乘 法 交 换 律例 1：计算： 3275.23452解：原式= 15.7.645.647.6. 拓广训练：1、计算（1） （2）129.015208. 476413594例 2：计算： 50249解：原式= 498250211 拓广训练：91、 计算： 5143254322、裂项相消（1） ；（2） ；（3）ba11
17、nnmnn1（4） 2n例 3、计算 01943121解：原式= 2= 012941321= 09拓广训练：1、计算： 20975133、以符代数例 4：计算： 39852713971271解：分析： 60,46,346令 = ，则A9852713 A2397610427139721 原式= 拓广训练：1、计算： 2051320631205312063104、分解相约例 5：计算：293186293144 n解：原式= =2 21934n= 7296431三、培优训练1、 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数，则 = 。ab20897ba2、计算：（1） = ；1971531（2） = 。2
18、434 3628.03、若 与 互为相反数，则 = 。abab1974、计算： = 。987386534125、计算： = 。10973 226、 这四个数由小到大的排列顺序是 。98,1,7987、 （2007“五羊杯” ）计算： =（ ）86.6.84.31. A3140 B628 C1000 D12008、 （2005“希望杯” ） 等于（ ）02625A B C D4119、 （2006“五羊杯” ）计算： =（ ）45.18935A B C D253024010、 （2009 鄂州中考）为了求 的值，可令 S ，则 2S20832 208321，因此 2S-S ，所以 仿照以上推理2
19、094 90832 19计算出 的值是（ ）32551A、B、C、D、09120415209452011111、 都是正数，如果 ，204321,a 2043220321 aaaM，那么 的大小关系是（ ）0332aN N,A B C D不确定MN12、设三个互不相等的有理数，既可表示为 的形式，又可表示为 的形式，求ab,1ba,0的值（“希望杯”邀请赛试题）2019ba13、计算（1） （2009 年第二十届“五羊杯”竞赛题）0164.5706.19036.75（2） （北京市“迎春杯”竞赛题） 24234 31625.613485.014、已知 互为相反数， 互为负倒数， 的绝对值等于
20、，nm,ba,x3求 的值203201231abnxx 15、已知 ，求 的值02ab2061211 bababa（2006，香港竞赛）16、 （2007，无锡中考）图 1 是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 层将图 1 倒置后与原图 1 拼成图 2 的形状，这样我们可n12以算出图 1 中所有圆圈的个数为 (1)1232n图 图 2 图 3 图 4如果图 1 中的圆圈共有 12 层， （1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 3 的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都234， ， ， ， 按图 4 的方式填上一串连续的整数 ， ， ， ，求图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和31第 2 层第 1 层第 n 层
