1、第 1 页不等式高级水平必备目录Ch1. 伯努利不等式Ch2. 均值不等式Ch3. 幂均不等式Ch4. 柯西不等式Ch5. 切比雪夫不等式Ch6. 排序不等式Ch7. 琴生不等式Ch8. 波波维奇亚不等式Ch9. 加权不等式Ch10. 赫尔德不等式Ch11. 闵可夫斯基不等式Ch12. 牛顿不等式Ch13. 麦克劳林不等式Ch14. 定义多项式Ch15. 舒尔不等式Ch16. 定义序列Ch17. 缪尔海德不等式Ch18. 卡拉玛塔不等式Ch19. 单调函数不等式Ch20. 个对称变量 法3pqrCh21. 个对称变量 法uvw第 2 页Ch22. 法ABCCh23. 法SOCh24. 法MVC
2、h25. 拉格朗日乘数法Ch26. 三角不等式Ch27. 习题与习题解析Ch1. 伯努利不等式1.1 若实数 （ ）各项符号相同，且 ，则：ix12n,.ix11 12nx()().()式为伯努利不等式.当 时， 式变为： 12nx.()nx1()2()Ch2. 均值不等式2.1 若 为正实数，记：12na,. ，为平方平均数，简称 平方均值；221naQ. ，为算术平均数，简称算术均值；12nnA. ，为几何平均数，简称几何均值 ；12nGa. ，为调和平均数，简称调和均值.n12nH.则： nQA3()时，等号成立. （注： 当且仅当.）if12naa.ifandolyif第 3 页式称为
3、均值不等式.3()Ch3.幂均不等式3.1 设 为正实数序列，实数 ，则记：12naa(,.)r01rr12nr aM.()4()式的 称为幂平均函数.4()ra3.2 若 为正实数序列，且实数 ，则：12n,)r0rs(5)当 时， 式对任何 都成立，即 关于 是单调递增函数.s)rrMa()式称为幂平均不等式，简称幂均不等式.5()3.3 设 为非负实数序列，且 ，若 为12nm,.,)12nm1.12naa(,.)正实数序列，且实数 ，则：r01mrrrr12nMaa().)6(式称为加权幂平均函数.6()3.4 若 为正实数序列，且实数 ，对 则： 12n,.)r0mrMa()mrsa
4、()()即： 11rrrsss12n12nmaam(.)(.7当 时， 式对任何 都成立，即 关于 是单调递增函数.s7) ra)r式称为加权幂平均不等式，简称加权幂均不等式.()Ch4. 柯西不等式4.1 若 和 均为实数，则：12na,.12nb,.22 21n12nababab()(.)(.)8(时，等号成立 .（注： 当且仅当.）ifn12b.ifdolyif第 4 页式为柯西不等式.8()4.2 柯西不等式还可以表示为：2222 21n1n12naabbaba .()()()9(简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方”我们将 简称为积均值，记： .12nabab. 12nnababD
5、.则： ，即： 224nnQD()()nQ()()04.3 推论 1：若 为实数， ，则：abcxyz,xyz0,222n12n1ab(.).1()时，等号成立 .ifn21ab.式是柯西不等式的推论，称权方和不等式.()4.4 推论 2：若 和 均为实数，则：12na,.12nb,.(.)(.)221 12n12nbaab1(时，等号成立 .ifn21b.4.5 推论 3：若 为正实数，则：acxyz,zbab3abcyzxy()()()()13(Ch5. 切比雪夫不等式5.1 若 ； ，且均为实数 .则：12naa.12nbb.12naba()()()14(或 时，等号成立 .if12n.
6、12n.式为切比雪夫不等式.()第 5 页由于有 ， 条件，即序列同调，12naa.12nbb.所以使用时，常采用 WLOGa(注： 不失一般性)Lithousferlity5.2 切比雪夫不等式常常表示为：12n12n12nababab .()()()15(简称：“切比雪夫同调数，均值积小积均值”.即：对切比雪夫不等式采用同单调性的两个序列表示时，两个序列数的均值之积不大于两个序列数各积之均值. 则： 2nnAabDa()()即： nnAabDa()()16Ch6. 排序不等式6.1 若 ； 为实数，对于 的任何轮换12n.12nb. 12na(,.)，都有下列不等式：x(,)12n12n1
7、n21nabaxxbba. . .7()式称排序不等式 （也称 重排不等式）.7()其中， 称正序和， 称反序和，12nb. n121na.称乱序和. 故 式可记为：xbx.7()正序和 乱序和 反序和 86.2 推论：若 为实数，设 为 的一个排序，则：12na,. 12nx(,.)12na(,.)21a9Ch7. 琴生不等式7.1 定义凸函数：对一切 ， ，若函数 是向下凸函数，则：xyb,01(,)fabR:,f1ffy()()2()第 6 页式是向下凸函数的定义式.20()注： 表示区间 和函数 在 区间都是实数.fabR:,ab,fx()ab,7.2 若 对任意 ，存在二次导数 ，则
8、 在 区间为向()x()f0()fx()ab,下凸函数； 时，若 ，则 在 区间为严格向下凸函数.if,f0,7.3 若 在 区间为向下凸函数，则函数 在在 区间12nf,.ab() 12ncfcf(,)对任何 也是向下凸函数.c0,7.4 若 是一个在 区间的向下凸函数，设 ， 为实fR:()() N12n01,.(,)数，且 ，则对任何 ，有：12n1.12nxab,.(,)nfxfffx(.)().()式就是加权的琴生不等式.)简称：“对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值”.Ch8. 波波维奇亚不等式8.1 若 是一个在 区间的向下凸函数，则对一切 ，有：fabR:,ab, xy
9、zab,xyzfxyfz2xyfff3332()()( ()()()2(式就是波波维奇亚不等式.2)8.2 波波维奇亚不等式可以写成：xyzfxyfzxyzxf ff332223()()( )()()3()简称：“对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于两点均值的函数值之平均值”.8.3 若 是一个在 区间的向下凸函数， ，则：fabR:,ab,12naab,.,12n 2nff2fff().()()().()24第 7 页其中： ， （对所有的 ）12na.i ji1bai式是普遍的 波波维奇亚不等式 .24()当 ， ， ， 时， ， ， ，1ax2y3aznx
10、yza31yzb22x3yb代入 式得：2()xyzyzxyfxyfz32fff2()()()()()即： fxz3325(式正是 式.25()2()Ch9. 加权不等式9.1 若 ， （ ） ，且 ，则：ia0(,)i01,i2n,.12n1.n12aa.6()式就是加权的均值不等式，简称加权不等式.6()式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值.2Ch10. 赫尔德不等式10.1 若实数 ，实数 且 ，则： ab0,pq1,pqab27()时，等号成立.ifpq式称为杨氏不等式 .27()10.2 若 和 为正实数， 且 ，则：12na,.12nb,.pq1,1ppqq12n12n12na
11、abb.(.)(.)28()式称为赫尔德不等式.8()第 8 页时，等号成立.ifppn12qqaabb.10.3 赫尔德不等式 还可以写成：11ppqq12n12n2naaabb. . .()() 29()即： ，即： 2npqDbMb()pqnMDa30(简称：“幂均值的几何均值不小于积均值”.（注：赫尔德与切比雪夫的不同点：赫尔德要求是 ，切比雪夫要求是同调；1pq赫尔德的积均值小，切比雪夫的积均值大.）10.4 若 、 和 为三个正实数序列， 且 ，则：12na,.12nb,.12nm,. pq1,11nnnpqiiii11abb3()式称为加权赫尔德不等式.3()时，等号成立.ifp
12、pn12qqaabb.10.5 若 ( ; )， 为正实数且 ，则：ijm,.j12,.12n,.12n1)(j jmnni ij1j1iaa3(式称为普遍的 赫尔德不等式 .32()10.6 推论：若 ， ， ，则：123aN,123b,123cN,3 3 3112abcabc()()()()(简称：“立方和的乘积不小于乘积和的立方”.Ch11.闵可夫斯基不等式第 9 页11.1 若 ； 为正实数，且 ，则：12na,.12nb,. p11ppi iii1ab()()()34()时，等号成立 .fn21abb.式称为第一 闵可夫斯基不等式 .34()11.2 若 ； 为正实数，且 ，则：12
13、na,.12n,. p1pppii ii11i1bab()()()35()时，等号成立 .ifn21aab.式称为第二 闵可夫斯基不等式 .35()11.3 若 ； ； 为三个正实数序列，且 ，则：12na,.12nb,.12nm, p11pppiii ii111ab()()()36()时，等号成立 .fn21abb.式称为第三 闵可夫斯基不等式 .36()Ch12.牛顿不等式12.1 若 为任意实数，考虑多项式：12na,.n1120n1Pxxacxcx()(.().37()的系数 作为 的函数可表达为：0nc,. n,；12nca.；（ ）2131ijaaijn；（ ）3ijkcijk第
14、10 页.n12nca对每个 ，我们定义 k,. kkncpcC!()38()则 式类似于二项式定理，系数为： .37() knkp12.2 若 为正实数，则对每个 有：12na,. 12,2kkp39()时，等号成立.if12a.式称为牛顿不等式 .39()Ch13.麦克劳林不等式13.1 若 为正实数，按 定义，则：12na,. 38()11kn12pp40时，等号成立.ifkaa称麦克劳林不等式 .40()Ch14.定义多项式14.1 若 为正实数序列，并设 为任意实数.12nx,. 12n,记： ；n12Fxx(,).为 所有可能的积之和，遍及 的所有轮换.12nT,.12(,) 12
15、n,14.2 举例说明 ：表示共有 个参数的所有积之和，共有 项. 第 个参数的指数是 ，0,336!1第 和第 个参数的指数是 .20故： .,()! )()10110T1xyzzyx2yz ：表示共有 个参数的所有积之和，共有 项.第 个和第 个参数的指数!12第 11 页是 .1故： .,()!1T2xy2 ：表示共有 个参数的所有积之和，共有 项. 第 个参数的指数是 ，2!11第 个参数的指数是 .故： .,()!)122T12xyxy ：表示共有 个参数的所有积之和，共有 项. 第 个参数的指数是 ，336!11第 个参数的指数是 ，第 个参数的指数是 .2故： .,()2T1xy
16、zxyz即： ,1 ：表示共有 个参数的所有积之和，共有 项.第 个参数的指数是 ，20,336!12第 个参数的指数是 ，第 个参数的指数是 .0故： .222T1xyzxyzy, ：表示共有 个参数的所有积之和，共有 项.第 个参数的指数是 ，30336!13第 个和第 个参数的指数是 .20故： .33Txyz,() ：表示共有 个参数的所有积之和，共有 项.第 个参数的指数是 ，abc 36!1a第 个参数的指数是 ，第 个参数的指数是 .2bc故： .,abcaccabcabaTxyzxyzxyz由于 表达式比较多，,.abcTT所以我们规定： （ ）.cabcCh15.舒尔不等式1
17、5.1 若 ，且 ，则：R0,T2T20()41第 12 页式称为舒尔不等式.()4115.2 解析 式；,()22T20xyz；zxy,0xyzxzz将上式代入 式得：()4122xyzyzxzyz x即： 22yyzz zz xy 0 即： ( )( )2 2yzxzyxzyzz 0即： ()()()()()()xyzyzyzxzy0()42式与 式等价，称为舒尔不等式.)42115.3 若实数 ，设 ，则：,yz0tR()()()t t txyzxzy0()43或 及轮换，等号成立.ifyz,按照 式写法，即： ， ，则：()41t1,Tt2012T0()4式是我们最常见的舒尔不等式形式
18、.()315.4 推论：设实数 ，实数 且 或 ，则：,xyz,abcbcac()()()abyxzy0()45式中， ， ， ，就得到 式.)43tttzc45第 13 页15.5 推论：设实数 ，则：,xyz0()()33322zxyzx()4615.6 推论：若 ，则对于一切 ，有：(,k0,abcR()()223abca()47Ch16. 定义序列16.1 设存在两个序列 和 ，当满足下列条件：()(,.)ni12n(,.)i12n 12n12n 且 . 12s12s对一切 ，式都成立.,n则： 就是 的优化值，记作： .()i1()i1()ii注：这里的序列只有定性的比较，没有定量的
19、比较.Ch17.缪尔海德不等式17.1 若 为非负实数序列，设 和 为正实数序列，且 ，则：,.12nx()ii()iiiiT()48或 时，等号成立.f()ii.12nxx式就缪尔海德不等式.4817.2 解析 式()若实数 ，实数 ，且满足 ， ，123a0123b01ab12ab；设 ，则：满足序列 条件，123b,xyz(,)(,)233则： ,333333121221211221bbbbTxyzxyzyzxyz第 14 页,333333121221211221aaaaa123Taxyzyzxyzyzxyzyz即 式为： ()48,Tb用通俗的方法表达即： 331212absymsym
20、xzxz()49式就缪尔海德不等式的常用形式.()4917.3 例题：设 为非负变量序列，考虑 和 .(,)xyz(,)21(,)3由 16.1 中的序列优化得： (,)213由缪尔海德不等式 式得： )48,T,()22T1xyzxyz33将代入得： 2233yzyzxyz即： xyzx由柯西不等式： ()()()2222yzyz即： ()2yzx即： xxyz式式等价，这就证明了式是成立的，而缪尔海德不等式直接得到式是成立的.式可以用 来表示，这正是缪尔海德不等式的 式.,T201 ()48Ch18.卡拉玛塔不等式18.1 设在实数区间 的函数 为向下凸函数，且当 （ ）两个序列IRf,i
21、abI,.i12n和 满足 ，则：()ni1a()ib()iiab.().()2n12nffff50式称为卡拉玛塔不等式.()5018.2 若函数 为严格向下凸函数，即不等取等号， ，且 ，则：f ()iiab()iiab().().12n12nafabff51第 15 页若函数 为严格向上凸函数，则 卡拉玛塔不等式反向.fCh19.单调函数不等式19.1 若实数函数 在区间 对一切 为单调增函数，则当 时，:(,)fabR(,)ab,(,)xyabxy有 ；若 在区间 对一切 为严格单调增函数，当 时，()fxy 有 .19.2 若实数函数 在区间 对一切 为单调减函数，则当 时，:(,)f
22、abR(,)ab,(,)xyabxy有 ；若 在区间 对一切 为严格单调减函数，当 时，()fxy 有 .19.3 若实数函数 在区间 为可导函数，当对一切 ， ，:(,)fabR(,)ab(,)xab()fx0则 在区间 为单调递增函数；当对一切 ， ，则 在区间f (,)xabf0为单调递减函数.(,)ab19.4 设两个函数 和 满足下列条件：:,fabR:,gab 函数 和 在 区间是连续的，且 ；()fag 函数 和 在 区间可导；f, 导数 对一切 成立，()xg(,)xb则对一切 有： ,ab()f52式就是单调函数不等式.()52Ch20. 个对称变量 法3pqr20.1 设
23、，对于具有变量对称形式的不等式，采用下列变量代换：,xyzR； ； ，则 .pxyzrxyz,pqrR代换后的不等式 ，很容易看出其满足的不等式关系，这样证明不等式的方(,)fpqr法称为 法 .qr20.2 常用的代换如下：第 16 页 2cyxpq ()3cy3r 2cyxqp ()()zxqr 2cyxp ()cyq3r ()()1x1zpr cyy32q ()()2cycyxzxp3r20.3 常用的 法的不等式pqr若 ，则：,xyz0 3r4 pq9 23 7r 32q pr 3297q r 22p34第 17 页Ch21. 个对称变量 法3uvw21.1 在 的不等式中，采用下列
24、变量代换：,abcR； ； .23vabc3wabc上述变换强烈含有“平均” 的意味：对应“ 算术平均值 ”； 对应 “积均值”； 对应“ 几何平均值”.uv21.2 当 时，则： ,abc0uw()53式称为傻瓜不等式.()53即：“算术平均值”“积均值”“几何平均值”.21.3 若 ，则 ,abc0,23uvw0()54式称为正值定理.()5421.4 若 ，任给 ，则当且仅当 ，,23uvR,abcR2uv且 时，(),()23323wuv则： ， ， 等式成立.3accawbc这称为 定理.vCh22. 法ABC22.1 法即 bstracConretsMthod设 ； ； .pxyz
25、qxyzrxyz则函数 变换为 .(,)f(,)fp这与 Ch20. 个对称变量 法类似.3r22.2 若函数 是单调的，则当 时， 达到极值.(,)frqp()()xyzx0(,)frqp22.3 若函数 是凸函数，则当 时， 达到极值.22.4 若函数 是 的线性函数，则当 时， 达到极值.(,)fr ()()yz(,)fr22.5 若函数 是 的二次三项式，则当 时， 达到极qpxx0qp第 18 页值.Ch23. 法SO23.1 法即 umfSqares23.2 本法的全部思想是将给出的不等式改写成以下形式：()()()222abcScab(5其中， 分别都是 的函数., 若 ，则 ；
26、abc0S 若 或 ，且 ，则 ；,babcS0S 若 或 ，且 ，则 ；cccb20 若 ，且 ，则 ；ab,2baS0 若 或 或 ，且 ，则 .0ccSabcaSS0S23.3 常用的形式 ()22cycyc1abab ()32cycy ()223cycycy1abab ()322cyccy ()333cycycy1abab ()422cyccyCh24. 法SMV第 19 页24.1 法即SMVtrongixVariblesMthod本法对多于 个变量的对称不等式非常有用.224.2 设 为任意实数序列，(,)1nx 选择 使 ， ；,.ijmin,.12nxxmax,.j12n 用其
27、平均数 代替 和 ，经过多次代换后各项 （ ）都趋于相ij2ij i,.同的极限 1nxx24.3 设实数空间的函数 是一个对称的连续函数，满足F(,.)(,.)12n12nab(56其中， 序列是由 序列经过预定义变换而得到的.,b,a预定义变换可根据当前的题目灵活采用，如 ， ， 等等.ab22ab24.4 例题说明例题：设实数 ，证明： .,abc0abc3c2解析：采用 法.SMV设： (,)abcfbc则： ,t2tttc其中， .abt2由得： (,)()()tc12tct13ftc 22由 式得： 证毕.()56,3abftCh25.拉格朗日乘数法第 20 页25.1 设函数 在
28、实数空间的 连续可导，且 ，其中(,.)12nfxIR(,.)i12ngx0（ ） ，即有 个约束条件，则 的极值出现在 区间的边界,.ik(,.)12nfxI或偏导数（函数为 ）全部为零的点上.ki1Lfg这就是拉格朗日乘数法.Ch26.三角不等式26.1 设 ，且 ，则 就是同一个三角形的内角.,(,)0,26.2 若 为同一个三角形的内角，则有下列不等式： ；sinsin32 ；coco ；sinsi38 ；co1 ；sinisin2294 ；coco3 （锐角三角形） ；tantan ；coco3 ；siisi22 ；coco3 ；sinsi128第 21 页 ；coscs328 ；i
29、niin24 ；coscos29 ；tantan32 .coco2Ch27.习题27.1 设 ，求证： .,.(,12nx01()().()32 111xxxn227.2 设 ，且 ，求证： .,.2nx.()1x227.3 设 ，且 ，求证： .,.12naR.1a12n1naaa27.4 设 ，且 ，求证： .bc0bc3bcbc27.5 设 ，求证： .,ad d22d2ad23ab3c27.6 设 ，求证： .,bc0abccbc27.7 设 ， ，求证： .,anN()()nn112a27.8 设 ，且 ，若 ， ，求,.12xR.2xxN2(,.) .()()()555n12nni
30、i i11xf的最小值.27.9 设 ，且 ，求证： .,abcRabc22231ab1c第 22 页27.10 设 ，求证： .,abcR()()()22223a1b1c1a27.11 设 ，且 ,求证： .,bc3abc827.12 设 ，且 ，求证： .abc0a1()()32615a27.13 设 ，且 ，求证： .,c243cc27.14 设 ，求证： .c()()()()338bab27.15 设 ，求证： .,ab01acc727.16 设 ，且 ，求证： .,cb124ab3a927.17 设 ，求证： .,.12na0().()()().()22n112n31a27.18 设
31、 ，且 ，求证： .,bcdabcd()()()()222abcd27.19 设 ，且 ，求证：,a04.()()()()22bcdabcbdcd8 27.20 设 ，且 ，求证： .,232abcabc27.21 设 ，求证： .acR()()()2233c a27.22 设 ，且 ，求证： .,bd0abcda514abcd27.23 设不等式： ()()()()22222abcbcMc对一切实数 都成立，求 的最小值.,M27.24 设 ，且 ，求证： .,abc0abc3()()22abcabca9Ch27.习题解析第 23 页27.1 设 ，求证： .,.(,12nx01()().(
32、)32 111xxxn2解析：设： ，则：因为 ，所以 （ ）i0,i,i,.由伯努利不等式 ：当 且 时， 2()ix1i,)ii1x()或 时，式等号成立.ifix0i1由均值不等式 ： 3()iix2时，式等号成立.ifix1由式得： ii2x()时， 式等号成立.ifiix1设： ，则由式得： ii1 i1xi12()则： ； ； .2x112()31x223() 1xnn12()上面各式相乘得：.32 111xxxnn231x()().().证毕.27.2 设 ，且 ，求证： .,.12nx0.12nxx().()12n1xx2解析：因为 ， ，所以ii1i10,设 ，则iiyxiy
33、2,由伯努利不等式 ： 1()12n12nyyy)(.()(.)将 代入式，并代入 得：iiyx.xx第 24 页.12n12n1xxx2().()(.)证毕.27.3 设 ，且 ，求证： .12na0,.12na12n12naaa解析：因为 ，且 ，,所以由均值不等式 ： 3() n1212naaa. .即： 12na.时，式等号成立.if1.由柯西不等式 ：8()22222 21n 12naaaa().)(.)(.)即： 212n. .即： 12n 12naaa a()(.)(.) 时，式等号成立.if1.将式代入式得： 12n12naaa. .时， 式等号成立. 证毕.if12na.27
34、.4 设 ，且 ，求证： .,bc0bc3bcbc解析：因为 ，且 ，a1所以由均值不等式 ： 3()2222acabcbca时，式等号成立.ifabc1由均值不等式 ： ，即： 3()3abcaabc13时，式等号成立.ifabc1第 25 页，设 ，则因为 ，所以WLOGabc,abc022abc由切比雪夫不等式 ：14()2 23c)()()即： 332cabcabc时，式等号成立.if1将代入式得： 33abcabc时， 式等号成立. 证毕.ifabc27.5 设 ，求证： .,d0 cd2b2c3d23ad23ba3c解析：记 ， ， ，Ab2c3BCD则： aCdD4acbc( )
35、待证式为： c23由柯西不等式 ：8() 2abdaAbBcCdDabcdABC)()()即： 2abcdcD(由式，只需证明 abdABcCD3()设多项式： Pxx()()(4320134ccc则： 1cabd2cbd代入式得： 2ABCD4根据定义 ：38()kncp得： ，即： ； ，即：14cC14p24cC62c6p第 26 页则： 2221112c6p4abcdABC3D()由麦克劳林不等式 ： ，即：0()1221p代入式得： ，式得证.abcdABD3C时，等号成立. 证毕.ifac27.6 设 ，求证： .,b022abcacbac解析：不等式左边= cc不等式右边= ()
36、()()abcb222cbc则不等式其实就是： abaca由于是对称不等式， ，假设 ，则 WLOGc22bc且 ，即： bcab11a则有排序不等式 ：()18222cbcbca其中， 为正序和； 为乱序和.2abca时，等号成立. 证毕.if27.7 设 ， 证： .,ab0nN()()nn1b12a解析：当 时， ， ，不等式成立；()00ab当 时， ， ，不等式成立；n1()11ab2412第 27 页当 时，构建函数 .n2()nfx则函数的导数 ；1二次导数 ，故在 时函数为向下凸函数 .()n2f0x0由琴生不等式 ： 20()()112fxf将 ， ，()n1afxb()n2
37、bfa()()nn211af 22b带入式得： ，即：()nnab2()()nn11a综上，当 、 和 时， 都成立,01ab12即 时， 成立. 证毕 .nN()()nnab227.8 设 ，且 ，若 ， ，求,.12xR.1xx1nN2(,.) .()()()5552nni1i in1xf的最小值.解析：记 ， （ ）.ni1Sx,2n则(,.).55n122 xxfSS假设 ，则 WLOG.12n.4412n由于 ，所以 与 无关，则 与 同单调性.ni1Sx()kik1xx kxSk即： .n21S第 28 页由切比雪夫不等式 ：若 与 同单调性，则有：14()(,.)12na(,.)
38、12nb12nabab( .设： ， ， （ ） ，则满足 与 同单调性.4iixinSx,.i12ii代入式得： (.)(.)(.)44 44n n1 11n xxxSxSS即： ()(.)5445n1nn1 1f由均值不等式 ： ，即：()3nQA44221n1nxx1故： .441n1x构建函数： ()xgS则导函数： ，()2()32Sgx0故 为向下凸函数.()gx由琴生不等式 ：21()(.)()().()12n12ngxxgxgx取加权 （ ）时，上式变为：in,.in.().()(1212nxxgxgg即： .).()()12n12nx即： 12nn1 xSx xS 1S 将和
39、式代入式得：第 29 页. ()55n1x11fSn故： 的最小值是 .(,.)12nfx()27.9 设 ，且 ，求证： .,abcRabc222113abc解析：在圆锥曲线里，椭圆方程为： 时，常常采用的参数方程是：2xyab， ，因为将它带入方程时满足 ，这个三角函数cosxasinybcosin21的基本关系. 对于三角形的内角 ，同样有关系 和,ABCABC. 而本题初始条件 .tntatnABCABCabc设 . ， ，因为 ，所以 anbc,abcR,(,)02则当 为三角形的内角时， ，, 满足条件.tantatanABCABC带入不等式左边得： 22211abctntanta
40、n211A1BC coscosC构建函数 ，则在 区间函数 为向下凸函数，()fx(,)x02()fx故由琴生不等式 得：函数值的均值不小于均值的函数值.211n12nfxxffxfx(.)()().()当加权 时，式变为：.2().().()1n12nfxfxxf第 30 页即： ()()fABfCAB33即： coscos(cosC132即： 3ABC2将式带入式得： . 证毕.22113abc27.10 设 ，求证： .,abcR()()()2 2231a解析：因为 ，由柯西不等式 式, 1.(.)(.)222221nn1nababab则： ()1c()()222222a1bab1ccb()()c1c2()()()()()()2 21aba1bacb1ac2. 23即： . 证毕.()()()2223a1b1c1a27.11 设 ，且 ,求证： .,bcRca3)bc8解析：对赫尔德不等式 ：32()jjmnnmi ii1jj1aa(32()当 ， ， 时， 式为：412341()()()()()1114 44123121324323423aaaa
