1、 - 1 - / 12锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边 、 的平方和等于斜边 的平方。 abc22cba2、如下图，在 RtABC 中，C 为直角，则A 的锐角三角函数为(A 可换成B)：定 义 表达式 取值范围 关 系正弦 斜 边的 对 边AsincaAsin 1sin0(A 为锐角)余弦 斜 边的 邻 边cosbos o(A 为锐角)BAcosini1si22正切 的 邻 边的 对 边AtanbaAtn0tn(A 为锐角)余切 的 对 边的 邻 边cot acotcot(A 为锐角)BAcottan(倒数)t1tca 3、任 意 锐 角 的 正 弦 值 等 于 它 的 余
2、 角 的 余 弦 值 ； 任 意 锐 角 的 余 弦 值 等 于 它 的 余 角 的 正 弦 值 。BAcosini )90cos(inAi4、任 意 锐 角 的 正 切 值 等 于 它 的 余 角 的 余 切 值 ； 任 意 锐 角 的 余 切 值 等 于 它 的 余 角 的 正 切 值 。BAcottan )90cot(tanAA5、0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要)三角函数 0 30 45 60 90sin0 212231co1 310tan0 1 3不存在co不存在 31 0A90得由 B 对边邻边斜边A CBbac90得由 BA- 2 - / 12锐角三角函数题型训
3、练类型一：直角三角形求值1已知 RtABC 中， 求 AC、AB 和 cosB,12,43tan,90BCAC2已知：如图，O 的半径 OA16cm，OCAB 于 C 点， 43sinAO求：AB 及 OC 的长3已知：O 中，OCAB 于 C 点，AB16cm， 53sinAC(1)求O 的半径 OA 的长及弦心距 OC；(2)求 cosAOC 及 tanAOC4.已知 是锐角， ，求 ， 的值A178sinAcostan类型二. 利用角度转化求值：1已知：如图，RtABC 中，C90D 是 AC 边上一点，DEAB 于 E 点DEAE12求：sinB、cosB、tan B2. 如图 4，沿
4、 折叠矩形纸片 ，使点 落在 边的点 处已知 ， ,则AEABCDBCF8AB10C的值为 ( )tanEFC 33543. 如图 6，在等腰直角三角形 中， ， ， 为 上一点，若 ，则906tan5D的长为( )A B C D AD22124. 如图 6，在 RtABC 中，C=90，AC=8 ，A 的平分线 AD= 求B 的度数及边 BC、AB 的长.316A D E F 第 18题 图 D A B C - 3 - / 12类型三. 化斜三角形为直角三角形例 1 （2012安徽）如图，在ABC 中，A=30 ，B=45，AC=2 ，求 AB 的长3例 2已知：如图，ABC 中，AC 12
5、cm，AB16cm ， 31sinA(1)求 AB 边上的高 CD；(2)求ABC 的面积 S；(3)求 tanB例 3已知：如图，在ABC 中，BAC 120，AB10，AC 5求：sinABC 的值对应训练1（2012 重庆）如图，在 RtABC 中，BAC=90，点 D 在 BC 边上，且ABD 是等边三角形若 AB=2，求ABC 的周长（结果保留根号）2已知：如图，ABC 中，AB9，BC 6，ABC 的面积等于 9，求 sinB类型四：利用网格构造直角三角形例 1 （2012内江）如图所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为（ ）A B C D251025对应练习
6、：1如图，ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则 sin A =_.特殊角的三角函数值例 1求下列各式的值=. 计算：3 1 +(21) 0 3tan30tan45=30cos245sin60taCBA- 4 - / 12= =03tan245sin60co21 60tan45si230cos ta45sin301co6在 中，若 ， 都是锐角，求 的度数ABC0)2(sin1coBABA， C例 2求适合下列条件的锐角 (1) (2) (3) (4)1cos3tan2sin3)16cos(（5）已知 为锐角，且 ，求 的值)0ta(ta（）在 中，若 ， 都是锐角，求 的度数ABC0)2(si
7、n1coBABA， C例 3. 三角函数的增减性1已知A 为锐角，且 sin A 21，那么A 的取值范围是A. 0 A 30 B. 30 A 60 C. 60 A 90 D. 30 A 902. 已知 A 为锐角，且 ，则 （ ）03sincoA. 0 A 60 B. 30 A 60 C. 60 A 90 D. 30 A 90例 4. 三角函数在几何中的应用1已知：如图，在菱形 ABCD 中，DEAB 于 E，BE 16cm， 132sin求此菱形的周长2已知：如图，RtABC 中，C90， ，作DAC30，AD 交 CB 于 D 点，求：3BCA(1)BAD；(2)sinBAD、cosBA
8、D 和 tanBAD- 5 - / 123. 已 知 ： 如 图 ABC 中 ， D 为 BC 中 点 ， 且 BAD 90， ， 求 ：31tanBsin CAD、cosCAD、tanCAD解直角三角形：1在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示) ：在 RtABC 中，C90，ACb，BC a，ABc，三边之间的等量关系：_两锐角之间的关系：_ 边与角之间的关系：_； _； _； _BAcosinBAsincoBAtan1t BAtant1直角三角形中成比例的线段(如图所示) 在 Rt ABC 中，C90，CDAB 于 DCD2_；AC 2_ ； BC2_； ACBC_类型
9、一例 1在 RtABC 中，C90(1)已知：a35， ，求A、B，b；(2)已知： ， ，求A、B，c；35c 3a2b(3)已知： ， ，求 a、b；(4)已知： 求 a、c；2sin6,92tnB(5)已知：A60，ABC 的面积 求 a、b、c 及B,312S例 2已知：如图，ABC 中，A30，B60，AC10cm求 AB 及 BC 的长例 3已知：如图，RtABC 中，D 90，B 45，ACD60BC10cm求 AD的长例 4已知：如图，ABC 中，A30，B135，AC10cm求 AB 及 BC 的长- 6 - / 12类型二：解直角三角形的实际应用仰角与俯角：例 1（2012
10、 福州）如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别是 30、45 ，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（ ）A200 米 B200 米 C220 米 D100（ ）米例 2已知：如图，在两面墙之间有一个底端在 A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在 B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在 D 点已知BAC 60，DAE45点 D 到地面的垂直距离，求点 B 到地面的垂直距离 BCm3DE例 3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高 BD=30m从水平面上一点 C 测得风力发电装置的
11、顶端 A 的仰角DCA=60，测得山顶 B 的仰角DCB=30，求风力发电装置的高 AB 的长例 4 .如图，小聪用一块有一个锐角为 的直角三角板测量树高，已知小聪和树都30与地面垂直，且相距 米，小聪身高 AB 为 1.7 米，求这棵树的高度.3例 5已知：如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为 30，测得岸边点 D 的俯角为45，又知河宽 CD 为 50m现需从山顶 A 到河对岸点 C 拉一条笔直的缆绳 AC，求山的高度及缆绳 AC 的长(答案可带根号)例 5（2012 泰安）如图，为测量某物体 AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰角为 30，朝物体 AB 方向
12、前进 20米，到达点 C，再次测得点 A 的仰角为 60，则物体 AB 的高度为（ ）AB CDE- 7 - / 12A10 米 B10 米 C20 米 D 米例 6（2012益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速如图，观测点设在 A 处，离益阳大道的距离（AC）为 30 米这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B 处行驶到 C 处所用的时间为 8 秒，BAC=75（1）求 B、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道 60 千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到 1 米，参考数据：sin750.9659，cos750.
13、2588，tan753.732， 1.732，60 千米/小时316.7米/秒）类型四. 坡度与坡角例（2012 广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： ，堤坝高 BC=50m，则应水坡面 AB 的3长度是（ ）A100m B100 m C150m D50 m 33类型五. 方位角1已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 M 在北偏西 30，货轮以每小时 20 海里的速度航行，1 小时后到达 B 处，测得灯塔 M 在北偏西 45，问该货轮继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多少?(精确到 0.1 海里， )732.1综合题：三角函数与四边形：（西城二
14、模）1如图，四边形 ABCD 中，BAD=135， BCD=90，AB=BC= 2，tanBDC= 63(1) 求 BD 的长； (2) 求 AD 的长（2011 东一）2如图，在平行四边形 ABCD中，过点 A 分别作 AEBC 于点 E，AFCD 于点 F（1）求证： BAE =DAF ；- 8 - / 12CBA（2）若 AE=4，AF= ， ，求 CF 的长2453sin5BAE三角函数与圆：1 如图，直径为 10 的A 经过点 和点 ，与 x 轴的正半轴交于点 D，B 是 y 轴右侧圆弧上一点，(05)C，(0)O，则 cosOBC 的值为（ ）A B C D2323545（延庆）1
15、9. 已知：在O 中 ,AB 是直径，CB 是O 的切线，连接 AC 与O 交于点 D,(1) 求证：AOD=2C(2) 若 AD=8，tanC= ，求O 的半径。34（2013 朝阳期末）21.如图，DE 是O 的直径，CE 与O 相切，E 为切点.连接 CD 交O 于点 B，在 EC 上取一个点 F，使 EF=BF.（1）求证:BF 是O 的切线 ;（2）若 , DE=9，求 BF 的长54Ccos作业：（昌平）1已知 ，则锐角 A 的度数是 21sinAA B C D 75604530（西城北）2在 RtABC 中， C90 ，若 BC1，AB= ，则 tanA 的值为A B C D2
16、5252(房山)3在ABC 中， C=90，sinA= ，那么 tanA 的值等于（ ）.53A B. C. D. 345443DBOAC DCBAOx 图8CFDOBE- 9 - / 12(大兴)4. 若 ，则锐角 . sin32(石景山)1 如图，在 RtABC 中，C 90，BC 3 ，AC =2， 则 tanB 的值是A B C D325213（丰台）5将 放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则 tan 的值是A B2 C D21 25(大兴)5. ABC 在正方形网格纸中的位置如图所示，则 的值是 sinA. B. C. D. 3534434(通县)4如图，在直角三角形 中，斜边 的
17、长为 ， ，ABCm0B则直角边 的长是（ ）BA B C D sin0mcos40mtan4tan4（通州期末）1如图，已知 P 是射线 OB 上的任意一点，PM OA 于 M，且 OM : OP=4 : 5，则 cos 的值等于（ ）A B C D34434535（西城）6如图，AB 为O 的弦，半径 OCAB 于点 D，若 OB 长为 10， ， 则 AB 的长是（ ) A . 20 B. 16 C. 12 D. 8cos5D7.在 Rt ABC 中，C=90，如果 cosA= ，那么 tanA 的值是54A B C D3333411如图，在ABC 中， ACB=ADC= 90，若 si
18、nA= ，则 cosBCD 的值为 513.计算： 13计算 .60tan45si230cos 45tan30t45cos260sin13计算： 22sin604cos3+in45ta6014.如图，小聪用一块有一个锐角为 的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地30面垂直，且相距 米，小聪身高 AB 为 1.7 米，求这棵树的高度.3DCBAAB CDE图1 OMPBA- 10 - / 1215已知在 RtABC 中，C90 ，a= ，b= .解这个直角三角形642120. 如图，在 RtABC 中，CAB=90，AD 是CAB 的平分线，tanB= ，求 的值21CDB（延庆）19. 已知
19、：在O 中 ,AB 是直径，CB 是O 的切线，连接 AC 与O 交于点 D,(3) 求证：AOD=2C(4) 若 AD=8，tanC= ，求O 的半径。34（延庆期末）19如图，某同学在 楼房的 处测得荷塘的一端A处的俯角为 ，荷塘另一端 处 、 在B0DCB同一条直线上，已知 米， 米，32A16求荷塘宽 为多少米？（结果保留根号）D18.（6 分）如图，在ABC 中，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心的圆经过 A，C 两点，交 AB 于点 D，已知 2A +B = 90（1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 OA=6，BC=8 ，求 BD 的长 （西城）15如图，在 Rt ABC
20、中，C=90，点 D 在 AC 边上若DBOACA BCDD 图18OCBA- 11 - / 12DB=6，AD= CD，sin CBD= ，求 AD 的长和 tanA 的值 来源:学|科|网122318如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 45方向，距离灯塔 100 海里的 A 处，它 计划沿正北方向航行，去往位于灯塔 P 的北偏东 30方向上的 B 处.（1）B 处距离灯塔 P 有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于 PB 的延长线上，距离灯塔 200 海里的 O 处已知圆形暗礁区域的半径为 50 海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险请判断若海轮到达 B 处是否有触礁的危险，并说明理由22已
21、知，如图，在 中， ，以 DC 为直径作半圆 ，交边 AC 于点 F，点 B 在 CD 的延长线ADC90OA上，连接 BF，交 AD 于点 E， 2B（1）求证：BF 是 的切线；O（2）若 ， ，求 的半径BF3A15如图，为了测量楼 AB 的高度，小明在点 C 处测得楼 AB 的顶端 A 的仰角为 30，又向前走了 20 米后到达点 D，点 B、D、C 在同一条直线上，并在点 D 测得楼 AB 的顶端 A 的仰角为 60，求楼 AB 的高14.（2009眉山中考）海船以 5 海里/小时的速度向正东方向行驶，在 A 处看见灯塔 B 在海船的北偏东 60方向，2 小时后船行驶到 C 处，发现
22、此时灯塔 B 在海船的北偏西 45 方向，求此时灯塔 B 到 C 处的距离。15.（2009常德中考）如图，某人在 D 处测得山顶 C 的仰角为 30o，向前走 200 米来到山脚 A 处，测得山坡 AC的坡度为 i=1 0.5，求山的高度（不计测角仪的高度， 31.7 ，结果保留整数）D OACBFE- 12 - / 1216.（2008广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由 45 降为 30，已知原滑滑板 AB 的长为 5 米，点 D、B、C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到 0.01）（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。(参考数据： )21.4,.72,6.4918. 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图 13 所示，某学生在河东岸点 处观测到河对岸水边有一点 ，测得 在 北偏西 的方向上，沿河岸向北前行 20 米到达 处，测得ACA31 B在 北偏西 的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度CB45（参考数值：tan31 ，sin31 ）321图 13
