1、1锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边 、 的平方和等于斜边 的平方。 abc22cba2、如下图，在 RtABC 中，C 为直角，则A 的锐角三角函数为(A 可换成B)：定 义 表达式 取值范围 关 系正弦 斜 边的 对 边AsincaAsin 1sin0(A 为锐角)余弦 斜 边的 邻 边cobo o(A 为锐角)BAcosini1si22正切 的 邻 边的 对 边AtanbaAtn0tn(A 为锐角)余切 的 对 边的 邻 边cot acotcot(A 为锐角)BAcottan(倒数)t1tca 3、任 意 锐 角 的 正 弦 值 等 于 它 的 余 角 的 余 弦 值
2、 ； 任 意 锐 角 的 余 弦 值 等 于 它 的 余 角 的 正 弦 值 。BAcosini )90cos(inAi4、任 意 锐 角 的 正 切 值 等 于 它 的 余 角 的 余 切 值 ； 任 意 锐 角 的 余 切 值 等 于 它 的 余 角 的 正 切 值 。BAcottan )90cot(tanAA5、0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要)三角函数 0 30 45 60 90sin0 212231co1 310tan0 1 3-co- 31 06、正弦、余弦的增减性：当 0 90时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当 0
3、 90时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大而减小。A90得由 B 对边邻边斜边A CBbac90得由 BA28、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据：边的关系： ；角的关系：A+B=90 ；边角关系：三角函数的定22cba义。( 注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰:ihll (2)坡面的铅直高度 和水平宽度 的比叫做坡度( 坡比)。用字母 表示，即 。坡度一般hl iil写成 的形式，如 等。1:m1:5i把坡面与水平面的夹角记作 (叫做坡
4、角) ，那么 。tanhil3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45、135、225。4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB 、OC、OD 的方向角分别是：北偏东 30（东北方向） ， 南偏东 45（东南方向） ，南偏西 60（西南方向） ， 北偏西 60（西北方向） 。3要点一：锐角三角函数的基本概念一、选择题1.（2009漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则 的值是（ tan）A B C D35433445【解析】选 C. .tan角 的 邻 边角 的 对
5、边2.（2008威海中考）在 ABC 中， C90，tan A ，则 sinB（ ）13A B C D 1023340【解析】选 D. ,设 BC=k,则 AC=3k,由勾股定理得1tanA,0)3(22kkBCA 310sinAB3.（2009齐齐哈尔中考）如图， O 是 C 的外接圆， D是 O 的直径，若O的半径为 2， ，则 si的值是（ ）A 23 B 32 C 34 D 43【解析】选 A.连接 CD,由 O 的半径为 2.得 AD=3. sinB= .2AC4.（2009湖州中考）如图，在 中， ， ， ，RtAB Rt14则下列结论正确的是（ ）A B C D3sin21tan
6、2A3cos2Btan3B【解析】选 D 在直角三角形 ABC 中， ， ，所以 AC ；所以1BC2A3， ， ； ， ， ；1sin2A 3cos 3tanA3sin cos tanB5.（2008温州中考）如图，在 中， 是斜边 上的中线，已知R D， ，则 的值是（ ）CD3siBA B C D2323443【解析】选 C.由 是 斜边 上的中线，得 AB=2CD=4.CDRtAB sinB43ABC6.（2007泰安中考）如图，在 中， ， 于 ，若 90CDA， ，则 的值为（ ）232tanBACBD（A） （B） （C） （D）22633答案：B二、填空题57.（2009梧州中
7、考）在 ABC 中， C90， BC6 cm， 53sinA，则 AB的长是 cm【解析】 解得 AB=10cm,536sinABC答案：108.（2009孝感中考）如图，角 的顶点为 O，它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点 P（3，4） ，则 sin 【解析】因为 P（3，4） ，所以 OP5，所以 ；4sin5答案： ；59.（2009庆阳中考）如图，菱形 ABCD 的边长为 10cm， DE AB， 3sin5A，则这个菱形的面积= cm 2【解析】 解得 DE=6cm. cm25310sinDEA106LINGSABDE答案：60三、解答题10.(2009河北中考) 如
8、图是 一 个 半 圆 形 桥 洞 截 面 示 意 图 ， 圆 心 为 O， 直 径 AB 是河 底 线 ， 弦 CD 是 水 位 线 ， CD AB， 且 CD = 24 m， OE CD 于点 E已测得sin DOE = 123（1）求半径 OD；A O BEC D6（2）根据需要，水面要以每小时 0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 【解析】 （1） OE CD 于点 E， CD=24（m） ， ED = 2CD=12（m） 在 Rt DOE 中，sin DOE = DO =123， OD =13（m） （2） OE= 2ODE= 2135（m）将水排干需：50.5=10（
9、小时） 11.（2009綦江中考）如图，在矩形 中， 是 边上的点， ，ABCDEAEBC，垂足为 ，连接 DFAEFE（1）求证： ；AB F （2）如果 ，求 的值10D， =6sinDAB CEF【解析】 （1）在矩形 中，ACD90BCADB， ， FE，90=AD BEFA （2）由（1）知 D 6在直角 中， 221068AFDEAF7在直角 中，DFE 22610sin12.（2008宁夏中考）如图，在 ABC中， =90，sin A= 54， B=15，求ABC的周长和 tanA的值【解析】在 Rt ABC中, =90, AB=15sin= = 54, 12 92AC周长为 3
10、6, 4tan.AC313.（2008肇庆中考）在 Rt ABC 中， C = 90， a =3 ， c =5，求 sinA 和tanA 的值.【解析】在 Rt ABC 中， c=5， a=3 2acb2354 sinA 4tab14.（2007芜湖中考）如图，在 ABC 中， AD 是 BC 上的高， ，tancosBDAC(1) 求证： AC=BD；(2)若 ， BC=12，求 AD 的长12sin3C8【解析】(1) AD 是 BC 上的高， AD BC ADB=90， ADC=90 在 Rt ABD 和 Rt ADC 中， = ， =tanBADcosCAD又已知 = AC=BD (2
11、)在 Rt ADC 中， ，故可设 AD=12k， AC=13k12sin3C2DCA5kBtancos13k2,8.要点二、特殊角的三角函数值一、选择题1.（2009钦州中考）sin30的值为（ ）A 32B 2C 12D 3答案：C2.（2009长春中考） 菱形 OA在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AO，则点 B的坐标为（ ）A (21)， B (12)， C (21)， D (12)，答案：C3.(2009定西中考)某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）A8 米 B 3米 C 3米 D 43米9答
12、案：C4.（2008宿迁中考）已知 为锐角，且 ，则 等于（ ）23)10sin( 5060780答案：5.（2008毕节中考） A（cos60，tan30）关于原点对称的点 A1的坐标是（ ）A 132， B 32， C 132， D 32， 答案：A6.（2007襄樊中考）计算： 等于（ ）2cos45tan60cos3A（A） （B） （C） （D）123答案：C二、填空7. （2009荆门中考） 104cos30in6(2)928)=_【解析】 10i314()2()答案： 238.（2009百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部 B 与钢缆固定点 C 的距离为 4 米，
13、钢缆与地面的夹角为 60，则这条钢缆在电线杆上的固定点 A 到地面的距离 AB 是 米 （结果保留根号） 10答案： 43 9.（2008江西中考）计算：（1） 1sin60co32A 【解析】 1sin60co2A.43答案： 410.（2007济宁中考）计算 的值是 。sin60ta5co3答案：0三、解答题11.（2009黄石中考）计算：3 1 +(21) 0 3tan30tan45【解析】3 1 +(21) 0 3tan30tan451012.（2009崇左中考）计算：020912sin603ta()【解析】原式= 321=013.（2008义乌中考）计算： 3sin602cos458
14、【解析】 =2.5 33sin602co458 2要点三、解直角三角形在实际问题中的运用一、选择题1.（2009白银中考）某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）11A8 米 B 83米 C 83米 D 43米【解析】选 C. 梯子的长至少为 （米）.360sin42.（2009衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角 的正切值是（ ）A 14 B4 C 17 D 417答案：A3.（2009益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水
15、平距离为 5 米，那么这两树在坡面上的距离 AB 为（ ）A. cos B. cosC. sin5 D. sin5答案：B4.（2009兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m如果在坡度为 0.75 的山坡上种树，也要求株距为 4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A5m B6m C7m D8m5米AB12【解析】选 A 由坡度为 0.75 知，相邻两树间的水平距离为 4m，相邻两树间的垂直距离为 h，则 ，则 h3m，所以坡面距离为 5m；0.7545.(2009潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 A 点测得 30BD，在
16、C 点测得 6BD，又测得 50AC米，则小岛 B 到公路 l 的距离为（ ）米A25 B 253 C 13 D 253【解析】选 B 过点 B 作 BEAD 于点 E，在直角三角形 BAE 中，0tan3,EA则 在直角三角形 BCE 中， 则 。0,tan30tan6,BC0tan6E所以 AE-CE=AC=50,即 解得 BE ；005,tan3tBE253二、填空题6.（2009沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高 AB6m 的过街天桥，已知天桥的坡面 AC 与地面 BC 的夹角 ACB 的正弦值为 ，则坡面 AC 的长度为 35m【解析】因为 sin ACB = ,所以 AC=105
17、36ACB答案：10.7.（2009衡阳中考）某人沿着有一定坡度的坡面前进了 10 米，此时他与水平地面的垂直距离为 52米，则这个坡面的坡度为 _.答案：1:28. （2009南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔 P的东北方向，距离灯塔 402海13里的 A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P的南偏东 30方向上的B处，则海轮行驶的路程 AB为 _海里（结果保留根号） 【解析】 ,402405sinAPC3403tan0PBC A答案： 4039 (2009安徽中考) 长为 4m 的梯子搭在墙上与地面成 45角，作业时调整为 60角（如图所示） ，则梯子的顶端沿墙面升高了 m【解析】
18、当梯子与地面夹角为 时，梯子顶端高为 ；04504sin52()m当梯子与地面夹角为 时，梯子顶端高为 ，060i63()所以梯子顶端升高了 2(3);m答案： ；2(3)10.(2008庆阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离 =3 米，AC，则梯子长 AB = 米.cos4BAC14答案：411.（2007湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以 15的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为 75，如果拖把的总长为 1.80m，则小明拓宽了行路通道_m （结果保留三个有效数字，参考数据：sin1526，cos150.97）
19、答案：1.28三、解答题12.（2009庆阳中考）如图（1） ，一扇窗户打开后用窗钩 AB 可将其固定如（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若 AOB=45， OAB=30，OA=60cm，求点 B 到 OA 边的距离 （ 31.7 ，结果精确到整数）【解析】如图，过点 B 作 BC OA 于点 C AOB=45， CBO=45， BC=OC 设 BC=OC=x， OAB=30， AC=BCtan60= 3x15 OC+CA=OA， x+ 3x=60， x=16022（cm） 即点 B 到 OA 边的距离是 22 cm13.（2009郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯
20、下测量路灯的高度，测角仪 AB 的高度为 1.5 米，测得仰角 为 30，点 B 到电灯杆底端 N 的距离 BN为 10 米，求路灯的高度 MN 是多少米？（取 2=1.414， =1.732，结果保留两位小数）【解析】在直角三角形 MPA中， ， 10AP=米3MP=10tan300 =10 5.773 米3因为 1.5AB=米所以 MN=1.5+5.77=7.27 米 答：路灯的高度为 7.27 米14.（2009眉山中考）海船以 5 海里/小时的速度向正东方向行驶，在 A 处看见灯塔 B 在海船的北偏东 60方向，2 小时后船行驶到 C 处，发现此时灯塔 B 在海船的北偏西 45 方向，
21、求此时灯塔 B 到 C 处的距离。【解析】如图，过 B 点作 BDAC 于 D16DAB906030，DCB904545设 BDx，在 RtABD 中，AD tan30x3x在 RtBDC 中，BDDCx BC 2又 AC5210 ， 得 ， 3105(1) （海里）25(1)(6)BC答：灯塔 B 距 C 处 海里215.（2009常德中考）如图，某人在 D 处测得山顶 C 的仰角为 30o，向前走 200 米来到山脚 A 处，测得山坡 AC 的坡度为 i=10.5，求山的高度（不计测角仪的高度，31.7，结果保留整数） 【解析】设山高 BC =x，则 AB= 12x， tan3012BCD
22、，得(21)4x， 解得 0(3)6213 米16.（2008广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由 45 降为 30，已知原滑滑板 AB 的长为 5 米，点 D、 B、 C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到 0.01）（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方17有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。(参考数据： )21.4,3.72,6.49【解析】 （1）在 中，RtABC5sin42(m)ACBco中RtD 52()sin30A6mtaC.7()B改善后的滑滑板会加长 2.07m（2）这样改造能行因为 ，而2.59(m)CDB 632.59
