1、1数学分析教学大纲 课程英文名称： Mathematical Analysis【课程代码】0 8130001 【课程名称】数学分析【学时学分】 192 学时 【理论/实验学时】192/0【课程类型】专业基础课 【先修课程】无【开课模式】必修 【开课学期】第 1、2 学期【授课对象】统计学专业 【考核方式】考试一、本课程的性质、目的与任务本课程为专业基础课。 数学分析课程是统计学专业学生一门必修的重要的基础理论课, 通过本课程的教学，应使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本运算，掌握数学分析的思想方法。提高学生的逻辑推理能力、抽象思维能力，计算能力以及创新精神，培养学生良好的数学素养和分析
2、问题、解决问题的能力。使学生受到运用数学分析方法解决实际问题的初步训练，为今后课程的学习和继续深造奠定坚实的基础。二、教学目标要求在各章节内容中，按“了解” 、 “理解” 、 “掌握”三个层次要求。 “了解”是要求学生知道与问题直接有关的概念和公式。对于要求了解的内容，一般不要求定量计算；所涉及的内容大都是一些基本概念和简单叙述，知道了就行，没有进一步深入和扩展的要求。 “理解”是要求学生对于相关的概念、定律、定理、原理等能领会其含义及适用条件，并能运用它们进行简单的定量计算和判断、推理。 “掌握”是要求学生相关的概念、定理、定律、原理等能深刻领会其含义，并能熟练地进行定量计算和判断、推理。学
3、生能够全面、深入地掌握所学内容，能够举一反三，熟练解决相关问题。各章节的重、难点用下划线表示。三、教学内容、重点、难点、教学目标和方法第一章 实数集与函数（6 学时）【教学内容】21、实数（1）实数及其性质（2）绝对值与不等式2、数集确界原理（1）区间与邻域（2）有界集确界原理3、函数概念（1）函数的定义（2）函数的表示法（3）函数的四则运算（4）复合函数（5）反函数（6）初等函数4、具有某些特性的函数（1）有界函数（2）单调函数（3）奇函数和偶函数（4）周期函数【教学目标】理解：函数的概念，掌握函数的各种表示方法，函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性。掌握：确界定义，基本初等函数的性质及其图
4、形，会求初等函数的定义域，会分析初等函数的复合关系。【教学方法】采用多媒体课堂教学。第二章 数列极限（9 学时）【教学内容】1、数列极限概念2、收敛数列的性质33、数列极限存在的条件【教学目标】掌握：数列极限的“-N”定义，会用它们证明数列的有关命题； 【教学方法】采用多媒体课堂教学。第三章 函数极限（12学时【教学内容】1、函数极限概念（1）x趋于 时函数的极限（2）x趋于 x0时函数的极限2、函数极限的性质3、函数极限存在的条件4、两个重要的极限（1）证明limx0sinx/x=1（2）证明limx1+1/xx=e5、无穷小量与无穷大量（1）无穷小量（2）无穷小量阶的比较（3）无穷大量（4
5、）曲线的渐近线【教学目标】理解：函数左极限、右极限、 x及f(x)的情形，理解极限存在与左、右极限之间的关系，并会用它判断极限的存在性。掌握：函数极限的“-”定义，会用它们函数极限的有关命题， 数列极限与函数极限的性质（唯一性、单调性、保号性及不等式性质等）及四则运算法则， 数列极限存在的两个准则，并会用它们求极限，利用两个重要极限求极限的方法，函数极限与数列极限的关系，无穷小、无穷大及其阶的概念，会用它们求极限。【教学方法】采用多媒体课堂教学。 4第四章 函数的连续性（9 学时）【教学内容】1、连续性概念（1）函数在一点的连续性（2）间断点及其分类（3）区间上的连续函数2、连续函数的性质（1
6、）连续函数的局部性质（2）闭区间上连续函数的基本性质（3）反函数的连续性（4）一致连续性3、初等函数的连续性（1）指数函数的连续性（2）初等函数的连续性【教学目标】理解：函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判断函数间断点的类型。 掌握：介值定理及其应用。 【教学方法】采用多媒体课堂教学。第五章 导数和微分（12 学时）【教学内容】1、导数的概念（1）导数的定义（2）导函数（3）导数的几何意义2、求导法则（1）导数的四则运算（2）反函数的导数5（3）复合函数的导数（4）基本求导法则与公式3、参变量函数的导数4、高阶导数5、微分（1）微分的概念（2）微分的运算法则（3）高阶微分（4）微分在近似
7、计算中的应用【教学目标】理解：微商和微分概念，微商和微分的关系，微商的物理意义和几何意义，微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，高阶微商与高阶微分的概念。掌握： 微商解决一些涉及函数变化率的实际应用问题，会求曲线上一点处的切线方程，导数与单侧导数、可导与连续的关系，会利用其判断函数的可导性，会用定义求函数的微商，微商的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的微商公式并会运用这些法则与方法求初等函数的微商，函数的微分、函数的高阶微商与高阶微分的计算。【教学方法】采用多媒体课堂教学、案例教学，结合网络课程自主学习。第六章 微分中值定理及其应用（15 学时）【教学内容】1、拉格朗日定理和
8、函数的单调性（1）罗尔定理与拉格朗日定理（2）单调函数2、柯西中值定理和不定式极限（1）柯西中值定理（2）不定式极限3、泰勒公式6（1）带有佩亚诺型余项的泰勒公式（2）带有拉格朗日型余项的泰勒公式（3）在近似计算上的应用4、函数的极值与最大(小)值（1）极值判别（2）最大值与最小值5、函数的凸性与拐点6、函数图象的讨论【教学目标】理解：函数极值的概念，函数凸性的概念掌握：费尔马定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，会用它们证明有关命题，掌握通过构造辅助函数解决问题的方法，用洛必达法则求待定型极限的方法， 用微商判断函数的单调性和求函数极值的方法， 函数凸性的几个等价论断，用微商判断函
9、数的凸性，求函数图形的拐点及各种类型的渐近线，用函数的凸性证明有关的命题，描绘函数 的图形，函数最大值、最小值的求法及其应用。【教学方法】采用多媒体课堂教学。第八章 不定积分（12 学时）【教学内容】1、不定积分概念与基本积分公式（1）原函数与不定积分（2）基本积分表2、换元积分法与分部积分法（1）换元积分法（2）分部积分法3、有理函数和可化为有理函数的不定积分（1）有理函数的不定积分（2）三角函数有理式的不定积分（3）某些无理根式的不定积分7【教学目标】理解；原函数与不定积分的概念。 掌握：不定积分的基本公式和性质，不定积分的换元积分法和分部积分法， 有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的
10、积分。【教学方法】采用多媒体课堂教学。第九章 定积分（9 学时）【教学内容】1、定积分概念（1）问题提出（2）定积分的定义2、牛顿莱布尼茨公式3、可积条件（1）可积的必要条件（2）可积的充要条件（3）可积函数类4、定积分的性质（1）定积分的基本性质（2）积分中值定理5、微积分学基本定理定积分计算(续)（1）变限积分与原函数的存在性（2）换元积分法与分部积分法（3）泰勒公式的积分型余项【教学目标】理解：定积分的概念、几何意义和物理意义，函数的一致连续性概念，变上限定积分定义的函数并会求它的导数。掌握：用定义证明函数在区间的一致连续性，掌握康托(Cantor)定理和连续函数的可积性，定积分的性质和
11、定积分中值定理，掌握牛顿莱布尼茨公式，定积分的换元积分法和分部积分法。 【教学方法】采用多媒体课堂教学8第十章 定积分的应用（9 学时）【教学内容】1、平面图形的面积2、由平行截面面积求体积3、平面曲线的弧长与曲率（1）平面曲线的弧长（2）曲率4、旋转曲面的面积（1）微元法（2）旋转曲面的面积【教学目标】掌握：微元法，用定积分表达和计算平面图形的面积、旋转体的体积、已知截面面积的立体体积、曲线的弧长、曲线的曲率、旋转体的侧面积。【教学方法】采用多媒体课堂教学。第十一章 反常积分（3 学时）【教学内容】1、反常积分概念（1）问题提出（2）两类反常积分的定义【教学目标】理解:无穷限反常积分、瑕积分
12、的概念，反常积分与无穷级数之间的共同点与差异；.【教学方法】采用多媒体课堂教学。第十二章 数项级数（12 学时）【教学内容】1、级数的收敛性2、正项级数（1） 正项级数收敛性的一般判别原则（2） 比式判别法和根式判别法（3）积分判别法93、一般项级数（1）交错级数（2）绝对收敛级数及其性质（3）阿贝耳判别法和狄利克雷判别法【教学目标】理解: 级数与（其部分和）数列的联系与转化。掌握:一般项级数与正项级数之间的联及正项级数在讨论数项级数时的基本作用,一般项级数的绝对收敛与条件收敛的区别与联系，能区分这两种收敛性的不同性质与作用。【教学方法】采用多媒体课堂教学。第十三章 函数列与函数项级数（12
13、学时）【教学内容】1、 一致收敛性（1）函数列及其一致收敛性（2）函数项级数及其一致收敛性（3）函数项级数的一致收敛性判别法2、一致收敛函数列与函数项级数的性质【教学目标】理解: 函数序列的收敛域与极限函数、函数项级数的收敛域与和函数的概念，函数序列与函数项级数的一致收敛的概念； 掌握:函数项级数一致收敛性判别法（柯西原理、M判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法）,一致收敛函数序列的极限函数与一致收敛函数项级数的和函数的分析性质（连续性、可积性、可微性）。【教学方法】采用多媒体课堂教学。第十四章 幂级数（9 学时）【教学内容】1、幂级数（1）幂级数的收敛区间（2）幂级数的性质10（3）幂级数的
14、运算2、函数的幂级数展开（1）泰勒级数（2）初等函数的幂级数展开式【教学目标】理解: 数及其收敛半径、收敛域的概念，掌握幂级数收敛半径及收敛域的求法,数可展开为泰勒级数的充分必要条件； 掌握: 数的和函数的性质（连续性、可积性、可微性），会求一些幂级数的和函数，并会由此求出某些数项级数的和,x, sinx, cosx, ln(1+x) 和(1+x)a的麦克劳林展开式，会用它们将一些函数间接展开成幂级数。【教学方法】采用多媒体课堂教学。第十六章 多元函数的极限与连续（9 学时）【教学内容】1、平面点集与多元函数（1）平面点集（2）二元函数2、二元函数的极限（1）二元函数的极限（2）累次极限3、二
15、元函数的连续性（1）二元函数的连续性概念（2）有界闭区域上连续函数的性质【教学目标】理解：面点集的有关概念（邻域、内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、连通集、区域、闭区域），多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限的概念，二元函数的连续性掌握：重极限与累次极限的关系，二元函数的定义域；有界闭区域上连续函数的性质（有界性定理、最值定理、一致连续性定理、介值定理）。【教学方法】采用多媒体课堂教学。第十七章 多元函数微分学（15 学时）11【教学内容】1、可微性（1）可微性与全微分（2）偏导数（3）可微性条件2、复合函数微分法（1）复合函数的求导法则（2）复合函数的全微分3、泰勒公式与极
16、值问题（1）高阶偏导数（2）中值定理和泰勒公式（3）极值问题【教学目标】理解：二元函数偏导数和全微分的概念，全微分形式的不变性，二元函数的泰勒公式，多元函数的极值和条件极值的概念。掌握：二元函数连续、可微、偏导数存在、偏导数连续之间的关系 ，多元复合函数偏导数、隐函数的偏导数的求法，多元函数极值存在的充分必要条件，求二元函数的极值。【教学方法】采用多媒体课堂教学。第十八章 隐函数定理及其应用（9 学时）【教学内容】1、隐函数（1）隐函数的概念（2）隐函数存在性条件分析（3）隐函数定理（4）隐函数求导举例2、几何应用【教学目标】理解：一个方程或方程组所确定的隐函数的存在性定理(存在性、连续性、1
17、2可微性)及证明思路， 掌握：隐函数的偏导数，求空间曲线的切线和法平面方程，曲面的切平面和法线方程。【教学方法】采用多媒体课堂教学。第二十章 曲线积分（9 学时）【教学内容】1、第一型曲线积分（1）第一型曲线积分的定义（2）第一型曲线积分的计算2、第二型曲线积分（1）第二型曲线积分的定义（2）第二型曲线积分的计算（3）两类曲线积分的联系【教学目标】理解：两类曲线积分的概念、性质。熟练：掌握计算两类曲线积分的方法；两类曲线积分之间的关系；计算两类曲面积分的方法。【教学方法】采用多媒体课堂教学。第二十一章 重积分 （21 学时）【教学内容】1、二重积分概念（1）平面图形的面积（2）二重积分的定义及
18、其存在性（3）二重积分的性质2、直角坐标系下二重积分的计算3、格林公式 曲线积分与路线的无关性（1）格林公式（2）曲线积分与路线的无关性4、二重积分的变量变换13（1）二重积分的变量变换公式（2）用极坐标计算二重积分5、三重积分（1）三重积分的概念（2）化三重积分化为累次积分（3）三重积分换元法【教学目标】了解：二重积分的可积性理论；理解：二重积分、三重积分概念及性质，二重积分的几何意义，三重积分的变量代换。掌握：二重积分化为累次积分的计算方法，二重积分的变量代换，二重积分的极坐标变换，三重积分化为累次积分的计算方法，三重积分的柱坐标变换、球坐标变换，二重积分、三重积分计算一些几何量（平面图形
19、的面积、立体体积、曲面的面积），格林公式，掌握平面曲线积分与路径无关的条件。【教学方法】采用多媒体课堂教学。四、各环节的学时分配内 容 讲授 讨论 实验、见习 示教 其它 小计实数集与函数 6数列极限 9函数极限 12函数的连续性 9导数与微分 12微分中值定理及其应用 15不定积分 12定积分 9定积分的应用 9反常积分 3数项级数 12函数列与函数项级数 12幂级数 9多元函数的极限与连续 9多元函数的微分学 1514隐函数定理及其应用 9曲线积分 9重积分 21总 计 192五、考核方式。按平时 40%，考试 60%的标准综合评定该课程的总成绩。六、推荐教材与教学参考书。1、教材：数学分析 （第三版） ，华东师大数学系，高等教育出版社， 2010年2、参考书：数学分析 ，同济大学数学教研室，高等教育出版社，2004 年
