1、第 1 页 共 12 页南昌大学第三届高等数学竞赛(理工类)试题 序号： 姓名： 学院: 专业： 学号： 考试日期： 2006 年 9 月 24 日 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总分题分 15 15 6 6 7 7 8 7 7 7 8 7 100累分人 签名得分注: 本卷共七页, 十二道大题, 考试时间为 8:3011:30.一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 得分 评阅人1、 . n3lim2、心形线 所围成的面积是 .cos12r3、 . dx10ln4、螺旋线 2 ， ， 在 处的切线与 轴的夹角为 .tcostysintz0,2z5、级数 的收敛区
2、间是 .nxne21第 2 页 共 12 页二、 选择题(每题 3 分，共 15 分) 得分 评阅人1、 设 在 的某个邻域内有定义，则 在 处可导的一个充分条件是（ xfaxfa）(A) 存在. (B) 存在. hffh2lim0 30limhfh(C) 存在. (D) 存在.20liafh 20liaffh2、 设二元函数 则下面叙述中正确的是( ) ,0,0, 22yxyxf(A) 在点 处的极限不存在.f,(B) 在点 处的极限存在但不连续.yx,(C) 在点 处连续但不可微.f,0(D) 在点 处可微 .yx,3、 方程 的一个特解可设为（ ）xe265(A) . (B) .baxy
3、2 xecbaxy22(C) . (D) .xec4、 设 ， 有连续的导数，则 （ ）2yfxzf yzx2(A) 2 . (B) 2 . (C) . (D) .zx zx25、 级数 的敛散性为( )1sinn(A) 无法判断 ,与 有关. (B)发散. (C) 条件收敛. (D) 绝对收敛.第 3 页 共 12 页三、 （本题满分 6 分）设 , 计算 .0abdxab1ln四、 （本题满分 6 分）设 在 上二阶可导, 且 , , . 证明在 内至少xf100f1f01ff 1,存在一点 使 .4f得分 评阅人得分 评阅人第 4 页 共 12 页五、 （本题满分 7 分）设 在 内有连
4、续导函数，求 ， 是从点xf, dyxfydxyfL 1122 L到 的直线段.32,A,1B六、 （本题满分 7 分）设 在 内有定义，且 ， 存在，对于任意 ，恒xf, 0ff ,yx有 ，求 .yfyx得分 评阅人得分 评阅人第 5 页 共 12 页七、 （本题满分 8 分）判别级数 的敛散性，并求1lnn nnl12lim八、 （本题满分 7 分） 有连接两点 、 的一条凸曲线，它位于弦 的上方， 为曲线上任意1,0A,BAByxP,一点，已知曲线与弦 之间的面积为 ，求曲线方程.P3x得分 评阅人得分 评阅人第 6 页 共 12 页九、 （本题满分 7 分） 设 ， 为长方体 的外侧
5、，0,cbaczbyaxzy0,0:,， ， 为连续函数，计算 .xfygzhdxyhgdf十、 （本题满分 7 分） 求极限 .nn n12222311lim 得分 评阅人得分 评阅人第 7 页 共 12 页十一、 （本题满分 8 分） 求级数 的和函数, 并指明定义域.12nnx十二、 （本题满分 7 分） 求圆锥 被圆柱 所截部分的面积.2yxzxy2得分 评阅人得分 评阅人第 8 页 共 12 页南昌大学第三届高等数学竞赛理工类试题答案一、 填空题1、 3. 2、6 . 3、 . 2ln84、 或 或 . 5、 .5arcosarcsinarct ,1二、 选择题1、B 2、C 3、D
6、 4、A 5、C三、 dyxIba10 dyba x10 dyba 1ln .abl四、在 与 处分别将 展成一阶泰勒公式0x1xf， ，21210xfxfff 1,0， . 22211 ffxfxf ,上两式将 代入再相减，得.812ff因为，fffff 21212其中， .21,maxfff 1,0从而第 9 页 共 12 页.4f五、， ，yxfP2112xyfQ2ff ，x所以曲线积分与路径无关.设 ,则 .321CCBAL原式 dyfdxf 23213 1943 22313yff4六、令 ， 得 ，由 得0xy02f0f1ftxft0limtxt0lim tfxft1li0 f由 知
7、对任意 ， .于是0fx，dxff0，cxlnln，fcef0将 代入得 ，故 .10fcxf第 10 页 共 12 页七、由 得 ，21lnim20xx 21lnlim2n于是 收敛，1lnn从而 存在，1l2limn故，0ln12limn由 得1lnim 1ln21limn八、设所求曲线方程为 ，xfy由题意得 且01f，3021xfxdfx两边求导并整理得，xfxf 26解一阶非线性微分方程得，cf21由 解得 ，故01f5cxxf562九、先计算 .dyzhI3将 分为六张平面：取后侧； 取前侧； 取左侧；0:1xax:2 0:3y取右侧； 取下侧； 取上侧. by4 05zcz6第
8、11 页 共 12 页由于 ， ， ， 在 平面上的投影区域是一线段，故1234xoy0dxyzhdzhdzhdxyzh 4321又 ，005 abxyba.chdchdxyzbyax06故有.abcI03同理可得，bcfdyzxf0.agg故 dxyzhydzxf abhc0bcf0acg0 hgf十、令 ，nnnI 12222311 222llllnI nii12ldxn10llim 24l从而 ，即原式lieIn 24e十一、令 ，则xS12nnx第 12 页 共 12 页122nnxxS，2从 0 到 积分得x， .xtdSxarctn1201再从 0 到 积分得， .20 lrt2rt xx 1当 时， 也收敛，故收敛域为 .11nnx1n,十二、， .2yxz2yxz因而，12yxzSDdxyzx21 ，2y其中 是 ，于是 ，故 .xDdx4S2
