1、1量子力学习题及解答第一章 量子理论基础11 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 与m温度 T 成反比，即T=b（常量） ；m并近似计算 b 的数值，准确到二位有效数字。解 根据普朗克的黑体辐射公式， （1）dvechvdkTv183以及 ， （2）， （3）vv有 ,18)(5kThcvedcd这里的 的物理意义是黑体内波长介于 与 +d 之间的辐射能量密度。本题关注的是 取何值时， 取得极大值，因此，就得要求 对 的一阶导数为零，由此可求得相应的 的值，记作 。但要注意的是，还需要m验证 对 的二阶导数在 处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求m得的 就是要求的
2、，具体如下：m 015186 kThckThcee2015kThcekc)(如果令 x= ，则上述方程为kThcxe)1(5这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xkhcTm把 x 以及三个物理常量代入到上式便知 K3109.2这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。12 在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV，求其德布罗意波长。解 根据德布罗
3、意波粒二象性的关系，可知E=hv，hP如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ ） ，那么2cEe动 ep2如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即 ，因此利用非相对论性的电子的能量动量关系eV6105.式，这样，便有 ph3nmEchee71.035.24296在这里，利用了 eVhc624.以及 e62105.最后，对 Eche2作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性
4、较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。13 氦原子的动能是 （k 为玻耳兹曼常数） ，求 T=1K 时，氦原子的德TE23布罗意波长。解 根据，eVKk310知本题的氦原子的动能为 ,5.233TE显然远远小于 这样，便有2c核Ech2核4nmm37.0110524936这里，利用了 eVec962 107.394核最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为 T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为 kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为 TkchEc22据此可
5、知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公布。14 利用玻尔索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场 H=10T，玻尔磁子 ，试计算运能的量子化12409TJMB间隔E ，并与 T=4K 及 T=100K 的热运动能量相比较。解 玻尔索末菲的量子化条件为 nhpdq其中 q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量
6、，回路积分是沿运动轨道积一圈，n 是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为 k，谐振子质量为 ，于是有221xpE这样，便有 )2(kxp这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据 21kxE可解出 x5这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔索末菲的量子化条件，有 xx nhdxkEdkE)21()21(xx )()(hndkEx 2)1(2为了积分上述方程的左边，作以下变量代换； sinkx这样，便有 hkEd2sicos222 nhdkE2cos22这时，令上式左边的积分为 A，此外再构造一个积分 22sinkB这样
7、，便有（1）222cos,dkEBAk2,cos)(dk这里 =2，这样，就有（2）0sinkEBA6根据式（1）和（2） ，便有 kEA这样，便有 hnk2E,knh其中 2h最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有 BqR2p这时，玻尔索末菲的量子化条件就为 20)(nhqBdR2又因为动能耐 ，所以，有2pE2)(RBqE,BnN其中， 是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且2qMB7BME具体到本题，有 JJ232410910根据动能与温度的关系式 kTE3以及 JeVKk23
8、106.10可知，当温度 T=4K 时， E22.9.45. 当温度 T=100K 时， JJ20214.1061显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。15 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小
9、，因而所对应的波长也就最长，而且，有 2chvEe此外，还有 p于是，有 2che2enm312604.5.尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我8们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。第二章波 函数和薛定谔方程2.1 证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于
10、定态，可令)r()r()r(m2i e)r(eeei )(2iJ e)r t(ftr( * EtiEti*EtiEti*Eti 、可见 无关。tJ与2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikr ee1)2( 1)( 从所得结果说明 表示向外传播的球面波， 表示向内(即向原点) 传播的球1 2面波。解： 分 量只 有和 rJ21在球坐标中 sinr1er09rmkr rikrii eerrimiJ ikrikrikik302 022 01*11 )()( ( )(2 )(同向。表示向外传播的球面波。rJ1、rmkr r)1ikr(1)i1(2i e(ereri )(2iJ )( 30 0
11、22 0ikrikrikikr*2 可见， 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。rJ与2补充：设 ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ikxe)(d*波函数不能按 方式归一化。1)(2x其相对位置几率分布函数为表示粒子在空间各处出现的几率相同。122.3 一粒子在一维势场axU， ， 0 )(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解： 无关，是定态问题。其定态 S方程tx与)(10)()()(2xExUdxm在各区域的具体形式为： )()()(2 0 111 xExdx： )()( 22max： )()()( 3332 xExUdx由于(1)、(3)方程中，由于 ，要等式成立，
12、必须)(U0)(1x2即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为 0)(2)(2xmEdx令 ，得2k0)()(22xkdx其解为 BAxcossin)(2根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得 )0(12 )(3a B 0sinkA),32 1( 0sinkaA11 xanAxsi)(2由归一化条件1)(d得 sin02axA由 mnab adxm2iixanxAsi2)(2mEk可见 E 是量子化的。),321( 2nan对应于 的归一化的定态波函数为nEaxxeantxtEin n , ,0 ,si),(#2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 aA1证
13、： axanAn ,0 ),(si（2.6-14 ）由归一化，得12aAaxndxxanAdAdxaaan22222)(sico)(s1)(i归一化常数 #12.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。解：212)(xex22311 4)(xxee22 )(3231 xdx令 ，得0 )(1xx 1 由 的表达式可知， 时， 。显然不是最大几率的位)(1 0， 0)(1x置。22)51(4 )(6(2 )(423 32312 x xex ed而01 )321dx13可见 是所求几率最大的位置。 #1x2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称： ，证明粒子)(xU的定态波函数具有确定的
14、宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为)()()(2xExUdx将式中的 代换，得以 )()()(2xxdx利用 ，得)(U)()()(2xExdx比较、式可知， 都是描写在同一势场作用下的粒子状态和的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此 之间只能相差一)(x和个常数 。方程、可相互进行空间反演 而得其对方，由经c 反演，可得，x)( xc由再经 反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。x)() xc乘 ，得)x(c)( 2可见， 12c当 时， ， 具有偶宇称，)x( )(当 时， ， 具有奇宇称，1c)14当势场满足 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#)( x
15、U2.7 一粒子在一维势阱中axx ,0 )(运动，求束缚态( )的能级所满足的方程。UE解法一：粒子所满足的 S-方程为)()()(2xExdx按势能 的形式分区域的具体形式为)(U： )x()(xd21101 ax： )()(222xExx： )()(U)(d23303 xa整理后，得： 0)(1201E：. 2： 0)(3203U令 22021 )(EkEk则： 12：. 02k15： 0123k各方程的解为xkxk3222xkxk11111FeEcosDsinCBA由波函数的有限性，有0 )(31EA有 限有 限因此xk311FeB由波函数的连续性，有 )13( FekasinDkac
16、osCk),a( 2 in asincoBe,)0(asi)a()( a122232 222ak121 1 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 0FekaDsinkaCcosk0in iBesi a12222ak1 解此方程即可得出 B、C、D、F ，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须0Bekasinakcos0ciniekossi a122a1 22 16ak2cosak2sin)k(e inicoei acsase koiksinknecoasiasi 0kckne esicoaasii0112a 212k2a1 ak 222a21 kk ak1
17、22a1 a122 kak1 111111 0 0cssi)( 21221 kkk即 为所求束缚态能级所满足的方程。#2atg解法二：接（13）式 aksinDakcosCkcosDsinC212122 iaai 21212221702cosk 2sin)( 1 0cosincossicosi 0)in)(i( cossisico)in)(i( 0cossisico122 221221221 2212221 2122 212 aak akakakakk akkakakkak#解法三：(11)-(13) )(si122 FBeDak(10)+(12) aco1)a( ktg)12(0312(11
18、)+(13) ikeBFaC1)(cos122 (12)-(10) aikkin令 则， ak22 )d( ctg c 、 f aU2)k(0212 合并 ：b)a、 （b）kactgkk )10()12( )13()11( 122 18利用212katg aktg12at#解法四：（最简方法-平移坐标轴法）： （0）1012EU： （02 ）22 a： （2 ）3303EU0)(2)(230311EU束缚态 (3) 0kE2k )U( 1321 20110E0UxkxkxkxFeEDCBA1113222cossin0 )(3EB有 限有 限因此xkFeA131 由波函数的连续性，有 )7(
19、Feak2cosDasinC),a2()( 6 ink 5 ,0 )4( )( ak2232 ak212112 1 19(7)代入(6)akDakCakDC 2121222 sincoscossin利用(4)、(5)，得 0ak2cosak2sin)k(i)0A0ak2cosasin)k( asikAi112 2212212 21221 、# 2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为， ， ， ,0 , )(1xbaUx求束缚态的能级所满足的方程。解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。定态 S-方程为)()()(2xExUdx对各区域的具体形式为： )0( )(112 x： )(
20、 220 aEU： )( 313 bx： )( 0244E20对于区域， ，粒子不可能到达此区域，故)(xU01而 . )(22E 0)( 3213U424E对于束缚态来说，有 021k 2021)( EUk322123)( 042k 24/Ek各方程的解分别为xkxkxkxkFeEDCBA331142232cossin由波函数的有限性，得0 )(4有 限 ， xke34由波函数及其一阶导数的连续，得AB )0(21 )33xkxkeakDkCaxk 2232 cossin()(33 eAka13 in)33 bkFeDbCb 3224cossin(bkk32243i)( 21由、，得 (11
21、)akDCekak 2221 cossinc1由 、得 DbkCbbb )cos()in()()cos( 2330sicoi 223223 kkk (12)令 ，则式变为211eak0)sinco()cossin( 222 DakC联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须)sinco()cossin( ii 222233 akakbbk)()1()( 0)1(cossin 0ico )cosinsinsi iic 0)ossi( )cossi(i 32322 3222 232322232 223 kabtgkkabkabkabk kabkb ak即把 代入即得)()1()( 1111
22、 23322 akakeeabtgk 此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 #附：从方程之后也可以直接用行列式求解。见附页。22） ）（ ）（ bkaekbakebkeee kbbkaak ebkbke eakkeabb aaka aak kaak akak 2223231 22232 3221 3223222 22 sinsincocos cocos)( ii csinoin0css)( icoisins)(0 0cisicos)(in331 331111111 0 )(sin)()(cos)( coi )()()( 31 311 31 2312232 2123 bkak bkakak e
23、akabee0)( )()()( 0 231 23123122312312 11 3k ekabtgkeet aa bk此即为所求方程。 #补充练习题一1、设 ，求 A = ？)()(21为 常 数xAe解：由归一化条件，有)x (de1 (d222x2 利用ye122 dye2 #A232、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。解：基态能量为 210E设基态的经典界限的位置为 ，则有a20 0a1a在界限外发现振子的几率为)t21y dte212yde2)x (de) 22/t1y1a)ax2220202 、式中 为正态分布函数/2tt xtde2/)(当 。查表得 9.02)(时
24、的 值x 9.0 16.).(在经典极限外发现振子的几率为 0.16。 #3、试证明 是线性谐振子的波函数，并求此波)x32(e3)x(x1函数对应的能量。证：线性谐振子的 S-方程为)( 220220 220xaxax edxedxe 24)()(21)(22xExdx把 代入上式，有)(x)3x92(e3 e6()x )x32e3d)( 2451 x2122x1 )x(dx)( 2345x212 )x18(e)9(e3 35x212345x21 )x(7( )x(324 321把 代入式左边，得)2dx)(27 )(21)(1)( )(2 )(21)()(7 21)(222 242242x
25、Exxx xxxdx右 边 ）（左 边 当 时，左边 = 右边。 n = 327E，是线性谐振子的波函数，其对)2(3)(1xedxx25应的能量为 。27第三章 量子力学中的力学量3.1 一维谐振子处在基态 ，求：tixex2)(1)势能的平均值 ；21U(2)动能的平均值 ； 2pT(3)动量的几率分布函数。解：(1) dxexU2221 2222 411410 122)(53andxean (2) dxppT)(2*xeex22121)(dx2)(222eexx22326422241或 412UET(3) dxpcp)()(*2121dxePixPxi21 depix22)(1 21xi
26、pp222)(1 212pe 2pe动量几率分布函数为21)(2pepc#3.2.氢原子处在基态 ，求：0/3),(arer(1)r 的平均值；(2)势能 的平均值；re2(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。解：(1) drreadr a sin1),(022/32 0270/2304dra01!naxnde04032a020320/2/3022/3214 sin si1)()(0 0aeaedrdreae rrUarrar(3)电子出现在 r+dr 球壳内出现的几率为 022 sin),()( drrdr drear2/30042/3004)(ear0/203)(
27、ardr令 0321 , , 0)(rd、当 为几率最小位置)( ,21r0/20302 )48(4arerad)(23020era 是最可几半径。0ar28(4) 221pT 02 2/2/30 sin)(100 dreaarr02 2/2/30 i)(00drrea0/02302 )(140eaar202402)(5) drpcp,)()(* 200cos02/32/3 in1)(0 dereaprir0cos0/232/ )( )(dpriar0 0cos/232/ 0)( priaree0/32/ )()(0drripapiria01!naxnde)1()1()2( 202030/ p
28、iapiai 22030)(41iipa220430)(24220/)(pa 22 sin1)(ii1)(29动量几率分布函数420253)(8)(pacp#3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是0erJ2sin me证：电子的电流密度为)(2*mnmneiJ在球极坐标中为sin11rerer式中 为单位矢量r、)sin11( 2* *mnrmnre reeiJ )sin1sin1()1 ()(2 * mnmnmnn nnnr rreei 中的 和 部分是实数。r eiiieJ mnmne )(s222 ermn2si可见， 0er2sinmeJ#3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。30(1)求一圆周电流的磁矩。(2)证明氢原子磁矩为 )( 2 CGScmeIMz原子磁矩与角动量之比为 )( 2 CGSceILz这个比值称为回转磁比率。解：(1) 一圆周电流的磁矩为（ 为圆周电流， 为圆周所围面积）AdSJidMeiA22)sin(sinrrmdSemn2irrn22si )(rdS(2)氢原子的磁矩为02 sidrmedMn02 i2rmnden202 si2)(SI在 单位制中 CGScmeM原子磁矩与角动量之比为
