1、概率论11、甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头停泊.它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊的时间是一小时,乙船停泊的时间是两小时,求这两艘船都不等候码头的概率.解：分别用 x、y 表示甲、乙船到达时刻，在直角坐标系下作直线 x=24、y=24，它们与 x 轴及 y 轴围成一个正方形，点(x,y)总是落入这个正方形的； 作直线 y=x+1 与 y=x-2，如果点(x,y)落入两直线所夹以外区域就不需要等待，所以不需要等待的概率为： p=(22*22/2+23*23/2)/(24*24)=1013/11520.879340277777778 25、已知男人中 5%是色盲患
2、者，女人中有 0.25%；今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男人的概率是多少？解：可以算出色盲的人占总人数的比率是 5%x50%+0.25%x50%=2.625%，而在 2.625%的人中，男的占 5%x50%，所以是男的几率为 5%x50%除以 2.625%=20/21第一章 随机事件与概率1设 A，B，C 为三个事件，试用 A、B、C 表示下列事件，并指出其中哪俩个事件 是互逆事件：1）仅有一个事件发生；2）至少有一个事件发生；3）三个事件都发生；）至多有两个事件发生；）三个事件都不发生；）恰好两个事件发生。2设对于事件 A，B，C，有 P（A）=P（B）=P（
3、C）=1/4，P（AC）=1/8，P（AB）=P（BC）=0，求 A、B、C 至少出现一个的概率。3设 A，B 为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，求 P（AB()）。4若事件 A、B 满足 P（AB）=P（A()B()），且 P（A）=1/3，求 P（B）。5一个袋中有 5 个红球 2 个摆球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中，然后再从袋中任取一球。求：1）第一次和第二次都取到红球的概率；2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率。6一批产品有 8 个正品，2 个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：1）两次都取到正品的概率；2）第一次取到正品，第二次取到次品的概率；
4、3）第二次取到次品的概率；4）恰有一次取到次品的概率。7长期统计资料得知，某一地区在 4 月份下雨（记作事件 A）的概率为 4/15，刮风（记作事件 B）的概率为 7/15，刮风又下雨（记作事件 C）的概率为 1/10，求：P（A|B），P（B|A），P（AB）。8有两个口袋，甲袋中盛有 2 个白球 1 个黑球；乙袋中盛有 1 个白球 2 个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求取到白球的概率。9。某专科医院平均接待 K 型病人 50%，L 型病人 30%，M 型病人 20%，而治愈率分别为 7/10，8/10，9/10。今有一患者已治愈，问此患者是 K 型病人的概率是多少？10
5、若 P（A|B）=P（A|B()），证明事件 A 与事件 B 相互独立。第二章 随机变量及其分布11对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为 p，求射击次数的分布率。12已知 Xi（i=1，2）的分布函数为 Fi（x）。设 是某一随机变量的分布函数，求常数 a。13从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率都是 1/2。设 X 表示途中遇到红灯的次数，求 X 的分布率和分布函数。14设随机变量 X 的分布函数为： ，求：1）PX2，PX3；2）X 的概率密度。15设随机变量 XN（10，2 2），求 P10X13；P
6、X13；P|X-10|2；PX-28；PX-15。16在电源电压不超过 200，200240 和超过 240V 三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别是 0.1，0.001 和 0.2，假定电源电压 XN（220，25 2），试求：1）该电子元件被损坏的概率；2）电子元件被损坏时，电源电压在 200240V 的概率。17随即向量（X，Y）在矩形区域 axb，cyd，内服从均匀分布。求（X，Y）的分布密度函数及边缘分布密度，并判断 X，Y 是否独立。18已知随机变量 XN（-1，1），YN（3，1）且 X 与 Y 相互独立，设随机变量 Z=X-2Y+7，求 Z 的概率分布。19设 X 和 Y 相
7、互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布率及关于 X 和关于 Y 的边缘分布率的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。Y X y1 y2 y3x1 1/8x2 1/81/6第三章 随机变量的数字特征20设随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 30.1 p 0.4 0.2求：1）常数 p； 2）数学期望 EX； 3）方差 DX。21已知随机变量 X 的分布列为：X 0 1 20.3 p 0.5求：1）数学期望 E（X-1） 2; 2）方差 D（X-1） 2。22设随机变量的分布密度为 ，求：1）常数 A； 2）数学期望 EX； 3）方差 DX。23设 X 的概率分布为 ，求：1）Y=
8、2X 的数学期望； 2） 的数学期望。24设 X，Y 的概率分布分别为： ， 。求 E（X+Y）和 E（2X-3Y 2）。25设随机变量服从参数为 的泊松分布，且已知 E（X-1）（X-2）=1，求 。26已知 X、Y 分别服从正态分布 N（0，3 2）和 N（1，4 2），且 X 与 Y 的相关系数 XY=1/2，设 Z=X/3+Y/2，求：1）数学期望 EZ； 2）Y 与 Z 的相关系数 YZ27设一部机器一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周 5 个工作日里无故障可获利 10 万元，发生一次故障获利 5 万元，发生两次故障获利 0 元，发生 3 次或 3 次以
9、上要亏损 2 万元，求一周内期望利润。第四章 大数定律与中心极限定理28试利用切比雪夫不等式证明：能以大小 0.97 的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛 1000 次，其出现正面的次数在 400 到 600 之间。29X 1 2 3P 0.2 0.3 0.5试利用切比雪夫不等式估计事件 的概率。第五章 数理统计初步大数定律与中心极限定理30在总体 XN（52，6.3 2）中随机抽取一长度为 36 的样本，求样本均值 X()落在 50.8 到 53.8 之间的概率。 31设 为来自正态总体 XN（， 2）的一个样本， 已知，求 2的极大似然估计。32设 XN（，1）， 为来自正态总体 X 的一个样
10、本，试求 的极大似然估计。33随机从一批钉子中抽取 16 枚，测得其长度（单位为 cm）为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.102.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11设钉长服从正态分布，试就以下两种情况求总体均值 的置信度为 90%的置信区间：1）若已知 =0.01； 2）若 未知。34由经验知某零件重量 XN（15，0.05）。技术革新后，抽了 6 个样品，测得重量为（单位为）14.7，15.1，14.8，15.0，15.2，14.6。已知方差不变，问平均重量是否仍为 15？（=0.05）第一章 随机事件与概率
11、1设 A，B，C 为三个事件，试用 A、B、C 表示下列事件，并指出其中哪俩个事件 是互逆事件：1）仅有一个事件发生；2）至少有一个事件发生；3）三个事件都发生；）至多有两个事件发生；）三个事件都不发生；）恰好两个事件发生。用 a,b,c 分别表示 A,B,C 的补事件,那么有1)abCaBcAbc2)1-abc3)ABC4)1-ABC5)abc6)ABcAbCaBC其中(2)和(5) (3)和(4) 是互逆事件2设对于事件 A，B，C，有 P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AC）=1/8，P（AB）=P（BC）=0，求 A、B、C 至少出现一个的概率。因为 P（AB）=0，所以 P（
12、ABC）=0，所以 P（A+B+C）=PA+PB+PC-PAB-PAC-PBC+PABC=5/8 3设 A，B 为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，求 P（AB()）。因为 P(A-B)=P(A)-P(AB),所以 P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.7-0.3=0.4 4若事件 A、B 满足 P（AB）=P（A()B()），且 P（A）=1/3，求 P（B）。P(AB)=P（非 A非 B）=P非（AB）=1-P(AB)=1-P(A)+P(B)-P(AB)整理得 P(A)+P(B)=1P(B)=1-P(A)=2/3 5一个袋中有 5 个红球 2 个摆球，从中任取一球，看过颜
13、色后就放回袋中，然后再从袋中任取一球。求：1）第一次和第二次都取到红球的概率；2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率。(1)、5/7*5/7=25/49, (2)、5/7*2/7=10/49 6一批产品有 8 个正品，2 个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：1）两次都取到正品的概率；2）第一次取到正品，第二次取到次品的概率；3）第二次取到次品的概率；4）恰有一次取到次品的概率。1)取到两个正品有 56 种取法 10 个中取 2 次有 90 种取法 56/90=28/452)同理，8*2/90=8/453)(8*2+2*1)/90=1/54)(8*2+2*8)/90=16/45 7
14、长期统计资料得知，某一地区在 4 月份下雨（记作事件 A）的概率为 4/15，刮风（记作事件 B）的概率为 7/15，刮风又下雨（记作事件 C）的概率为1/10，求：P（A|B），P（B|A），P（AB）。8有两个口袋，甲袋中盛有 2 个白球 1 个黑球；乙袋中盛有 1 个白球 2 个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求取到白球的概率。2/3*2/4+1/3*1/4=5/129。某专科医院平均接待 K 型病人 50%，L 型病人 30%，M 型病人 20%，而治愈率分别为 7/10，8/10，9/10。今有一患者已治愈，问此患者是 K 型病人的概率是多少？分子：50%*7/10
15、分母：50%*7/10+30%*8/10+20%*9/10=35%/(35%+24%+18%)=5/11 10若 P（A|B）=P（A|B()），证明事件 A 与事件 B 相互独立。证明:P(A|B)=P(AB)/P(B)P(A|B()=P(AB()/P(B()=P(A)-P(AB)/1-P(B)因为 P(A|B)=P(A|B()所以P(AB)/P(B)=P(A)-P(AB)/1-P(B)P(AB)1-P(B)=P(A)-P(AB)P(B)P(AB)-P(AB)P(B)=P(A)P(B)-P(AB)P(B)所以 P(AB)=P(A)P(B)所以事件 A 与事件 B 相互独立 回答人的补充 20
16、10-01-07 07:19 11对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为 p，求射击次数的分布率。1 次 p2 次 (1-P)P3 次 (1-P)(1-p)P4 次.所以N 次 (1-P)(N-1)*P 12已知 Xi（i=1，2）的分布函数为 Fi（x）。设 是某一随机变量的分布函数，求常数 a。13从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率都是 1/2。设 X 表示途中遇到红灯的次数，求 X 的分布率和分布函数。X 可以取值为 0,1,2,3。P(X=0)=1/2P(X=1)=1/4P(X=2)=1/8P(x=
17、3)=1/8分布函数：F(x)=0 当 x=240=0.2,XN（220，252），PX=240=0.10380.1,1）该电子元件被损坏的概率；PA=PX=240PA|X=240=0.1*0.1+0.8*0.001+0.1*0.20.03.2）电子元件被损坏时，电源电压在 200240V 的概率。P200X240|A= P200X240PA|200X240/PA=0.8*0.001/0.03=0.026. 17随即向量（X，Y）在矩形区域 axb，cyd，内服从均匀分布。求（X，Y）的分布密度函数及边缘分布密度，并判断 X，Y 是否独立。S=(b-a)(d-c)（X，Y）的分布密度函数 f(
18、x,y)=1/(b-a)(d-c) axb，cyd=0 其他关于 X 的边缘分布密度函数 f1(x)=1/(d-c) axb，=0 其他关于 Y 的边缘分布密度函数 f2(y)=1/(b-a) cyd，=0 其他f(x,y)=f1(x)*f2(y) 所以 X，Y 是独立的18已知随机变量 XN（-1，1），YN（3，1）且 X 与 Y 相互独立，设随机变量 Z=X-2Y+7，求 Z 的概率分布。X,Y 均服从正态分布，Z 也服从正态分布 E(Z)=E(X-2Y+7)=E(X)-2E(Y)+7=-1-2*3+7=0; D(Z)=D(X-2Y+7)=D(X)+4D(Y)=1+4*1=5 所以 ZN(0,5)的正态分布
