1、概率统计第一单元补充题及参考答案概率论与数理统计第一单元补充题一、思考题1、概率研究的对象是什么？2、随机现象是否就是没有规律的现象？随机现象的特点是什么？3、概率是刻画什么的指标？4、概率的公理化定义的意义是什么？5、第一章的主要内容是什么？二、填空题1、填出下列事件的关系（1）、“20 件产品全是合格品”与“20 件产品中恰有一件是废品”为.（2）、“20 件产品全是合格品”与“20 件产品中至少有一件是废品”为.（3）、“20 件产品全是合格品”与“20 件产品中至多有一件是废品”为.2、某人用步枪射击目标 5 次， Ai =（第 i 次击中目标 ）， Bi =（5 次射击中击中目标 i
2、 次）（i=0，1，2，3，4，5），用文字叙述下列事件，并指出各对事件之间的关系.5（1）、 Ai 为.i=15Bi 为.i=155Ai 与Bi 的关系为.i=1i=15（2）、 Ai 为.i=25Bi 为.i=255Ai 与Bi 的关系为.i=2i=225（3）、 Ai 与Ai 的关系为.i=1i=325（4）、 Bi 与Bi 的关系为.i=1i=3三、选择题1、下列各式中正确的有（）.（A）、AB =（A-AB）B（B）、若 AC=BC 则 A=B（C）、若 P（A）P（B）则 A B2、若事件 A 和 B 互斥，且 P（A）0，P（B）0，则（）.（A）、（B）、和不互斥A和B互斥AB
3、（C）、P（A-B）=P（A）（D）、P（A-B）=P（A）-P（B）概率统计第一单元补充题及参考答案1/8概率统计第一单元补充题及参考答案3、若当事件 A 和 B 同时发生时，事件 C 必发生，则（）.（A）、P（C）P（A）+P（B）-1（B）、P（C）P（A）+P（B）-1（C）、P（C）=P（AB）（D）、P（C）=P（A+B）4、设 0P(A)1，0P(B)1，P(A|B)=1-P(|)，则事件 A 和 B（）.AB（A）、互斥（B）、对立（C）、独立（D）、不独立5、设 0P(B)1，P(A1+A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B)，则（）.（A）、P(A1A2)|=P(A1|
4、)+P(A2|)（B）、P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)BBB（C）、P(A1A2)=P(A1|B)+P(A2|B)（D）、P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)6、设事件 A 和 B 满足 P（B|A）=1，则（）.（A）、A B（B）、A B（C）、P（B|）=0（D）、P（AB）=P（A）A7、对于任意二事件 A 和 B，则（）.（A）、若 AB F ，则 A、B 一定独立（B）、若 AB F ，则 A、B 有可能独立（C）、若 AB = F ，则 A、B 一定独立（D）、若 AB = F ，则 A、B 一定不独立8、将一枚硬币独立的掷两次，引进事件如
5、下：A1 = 第一次出现正面A2= 第二次出现正面A3 = 正反各出现一次A4= 正面出现两次则事件（）.（A）、 A1 、 A2 、 A3 相互独立（B）、 A2 、 A3 、 A4 相互独立（C）、 A1 、 A2 、 A3 两两独立（D）、 A2 、 A3 、 A4 两两独立四、计算题1、P(A)=0.5，P(B)=0.3（1）、若 B A，求 P( A B )、P(A| A B )（2）、若 A、B 互斥，求 P( A B )（3）、若 A 与 B 相互独立，求 P(A-B)、P(A-B| B ) 2、设事件 A 和 B 相互独立，P(A)=0.5，P(AB)=0.8，计算：（1）、P
6、(A B )（2）、P( A B )3、P(A)=0.4，P( A B)=0.8，求 P( B |A)4、设 10 件产品中有 4 件是次品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是次品，求另一件是合格品的概率.5、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.65，现已知目标被命中，求甲命中目标的概率.6、把 4 个球随机放入 4 个盒子中，求空盒子数分别为 0，1，2，3 的概率.7、甲、乙、丙分别有球为甲：3 白 2 红、乙：全红、丙：红白各半，三人各随意拿出一球，然后甲从取出的球中随意取回一个，求甲的红球数增加的概率.8、在所有五位随机整数中（含以 0 开头的数字）
7、，任取一个整数，求下列事件的概率.（1）、恰有一个数字出现两次；（2）、最大的数字为 6；（3）、五个数字恰好严格单增.概率统计第一单元补充题及参考答案2/8概率统计第一单元补充题及参考答案9、从 1，2，9 这 9 个数字中，有放回地取三次，每次取一个，求下列事件的概率：（1）、A1：3 个数字全不同；（2）、A2：3 个数字没有偶数；（3）、A3：3 个数字中最大数字为 6；（4）、A4：3 个数字形成一个单调（严格）数列；（5）、A5：3 个数字之乘积能被 10 整除.10、每箱产品有 10 件，其次品数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验是次品，则认为该箱产品
8、不合格而拒收.假设由于检验有误，一件正品被误检为次品的概率为 2%，而一件次品被误检为正品的概率为 5%.求一箱产品通过验收的概率.11、一个枪室里有 10 支枪，其中 6 支经过校正，命中率可达 0.8，另外 4 支尚未校正，命中率仅为 0.5.（1）、从枪室里任取一支枪，独立射击三次.求三次均命中目标的概率；（2）、从枪室里任取一支枪，射击一次，然后放回，如此连续三次，结果三次均命中目标，求取出的三支枪中有二支是校正过的概率.12.、设有来自三个地区的各 10 名，15 名和 25 名的报名表.其中女生的报名表分别为 3 份， 7 份和 5 份.随机的取一个地区的报名表，从中先后抽出两份,
9、 抽到哪个地区的报名表的可能性相等.求：（1）、先抽到的一份是女生表的概率 p .（2）、已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q .概率统计第一单元补充题及参考答案3/8概率统计第一单元补充题及参考答案概率论与数理统计第一单元补充题参考答案一、思考题1、答：随机现象的统计规律性。2、答：不然.随机现象具有不确定性，即试验之前不能确定哪一个事件发生.随机现象也具有确定性，即在相同条件下，随着试验的次数增多，事件 A 发生的频率越来越接近一个常数 p，随机现象的这一性质，称为频率稳定性，也称统计规律性. 正是随机现象这一确定性，说明了一次试验时随机事件 A 发生的可能性大小概率
10、，是一定值。因此才有概率论。3、答：概率是测度随机事件发生的可能性大小的指标。4、答：其给出了一个指标是否有资格作为概率的评价标准。5、答：第一章首先给出了描述随机现象结果的术语：随机事件，介绍随机事件的关系与运算，使得复杂事件可以通过简单事件来描述，并为概率计算提供方便。给出了概率定义以及概率的基本关系式（性质、条件概率、乘法公式、全概与逆概公式），为概率计算打下基础。介绍了古典概型.其本身具有应用价值，也为掌握事件关系与练习概率计算搭了舞台。二、填空题1、（1）、“20 件产品全是合格品”与“20 件产品中恰有一件是废品”为 互斥。（2）、“20 件产品全是合格品”与“20 件产品中至少有
11、一件是废品” 为 对立。（3）、“20 件产品全是合格品”与“20 件产品中至多有一件是废品” 为 后者包含前者。52、（1）、Ai 为 至少击中一次 。i=15Bi 为至少击中一次 。i =155Ai 与 Bi 的关系为 相等。i=1i=15（2）、Ai 为 后四次中至少击中一次 。i=25Bi 为 至少击中两次 。i=255Ai 与 Bi 的关系为 不相等。i=2i=225（3）、 Ai 与 Ai 的关系为没有必然联系。i=1i=325（4）、 Bi 与 Bi 的关系为互斥。i=1i=3三、选择题1、（A）。2、（C）证明 P ( A - B ) = P ( A - AB ) = P (
12、A) - P ( AB ) = P ( A)反例：概率统计第一单元补充题及参考答案4/8概率统计第一单元补充题及参考答案（B）即 B=A=，A、B 互斥、与仍互斥.ABAB（A）与非互斥AB（D）P（B）0，显然不成立。3、（B）证明 AB C ，P(AB)P(C)，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)1，P(AB)P(A)+P(B)-1，所以 P(C)P(A)+P(B)-1。4、（C）证明 P(A|B)=1-P( A | B )=P(A| B )，所以 A、B 相互独立（注：此结论课上证过）. 5、（B）证明 P(A1+A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B)，又 P(A1+A2)
13、|B= P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B)，P(A1A2|B)=0，P(A1A2B)=0，所以P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B)=P(A1B)+P(A2B)，反例 设几何概型，S =135A 1=1A2 =3B=24624435可分析（A）、（C）（D）均不成立.6、（D）证明 由 P(B | A) =P( AB)= 1，所以 P（AB）=P（A）P( A)反例A 为阴影区域及点 C，则 A 不包含 B，B 也不包含 A，又 P（B| A ）0有 P（B|A）=1（注：几何概型中 P（C）=0，一点面积为 0）。7、（B）（A） 反例 古典概型
14、S1，2，3 A1，2 B=2,3 AB=2 P(AB)=1/3 P(A)=P(B)=2/3 P(A)P(B)=4/9 显然 A,B 不独立.(B) A,B 互斥否与 A,B 独立否没有必然联系，所以“有可能”是对的.（C） 有结论 当 P(A)0, P(B)0 又 AB 则 A,B 一定不独立.(D) 当 A= 则 AB= 而 A,B 相互独立.8、（C）独立是用概率定义的，故应找到事件的概率P(A1)=1/2P(A2)=1/2P(A3)=1/2(古典数样本是 S=正正，正反，反正，反反2/4)P(A4)=1/4P(A1A2)=1/4P(A1A3)=1/4P(A2A3)=1/4若是单选，此题
15、已经得出了结果. A1,A2,A3 两两相互独立选（C）P(A1A2A3)=0显然非 A1,A2,A3 相互独立P(A2A3)=1/4P(A2A4)=1/4P(A3A4)=0则 A2,A3,A4 非两两相互独立也非相互独立概率统计第一单元补充题及参考答案5/8概率统计第一单元补充题及参考答案四、计算题1、解（1）依题设， A B ， 即 P ( AB ) = P ( B) = 0.7 ，于是P( A |) =P( AB)=P( A) - P( AB)=2AB。1 - P(B)7P(B)（2）、依德莫根及概率的性质，P ( AB ) = P ( AB ) = 1 - P ( AB ) = 1 -
16、 P ( A) - P ( B ) + P ( AB) = 0.2 。（3）、依概率的性质及事件独立的定义，P ( A - B ) = P ( A) - P ( AB ) = P ( A) - P ( A) P ( B) = 0.35 ， P( A - B | B ) = P( A - B) = 1 。P(B)22、解(1) 由题设， A 与 B 相互独立，所以A 与 B 以及 A 与 B 相互独立，依德莫根律，P( AB) = 1 - P( AB) = 1 - P( A B ) = 1 - P( A)P(B ) = 0.8 ，即 P() =0.2= 0.4 ， P ( B) = 0.6B，所
17、以P(AB)=P(A)P(B)= 0 2. 。0.5（2）依概率的性质，P() = P() + P() - P()P() = 0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7 。ABABAB3、依德莫根律，P () = 1 - P ( A) + P ( AB) ， P ( AB) = 0.8 - 0.6 = 0.2 ，AB ) = 1 - P ( AB)=P( A) - P( AB)= 0.5 。P(| A) =P( ABBP( A)P( A)4、解 由题设，设 A=（至少有一件次品），B=（至少有一件合格品），P( A) =C1 C1+ C 2230， P( AB) =C1C124464=46=，
18、于是C2345C2451010P(B | A) =P( AB)=4。5P( A)5、解 由题设，A =（甲命中），B =（乙命中）， A 与 B 独立，则P ( AA B) =P ( A AB )=P ( A)= 0.6977 。P ( A B )P ( A) + P ( B ) - P ( AB)6、解 由题设，设 X 为空盒数，则PX = 0 =4!， PX = 1 =C1C 23!， PX= 3 =C14 44，444444PX=2=1-PX=0-PX=1-PX=3。7、解 由题设，设 A1,2,3 分别表示甲、乙、丙取出红球，B 为甲取回红球，则P(甲红球增加) = P( A1 B)
19、= P( A1 BA3 ) + P( A1 BA3 )= P( A1 A3 )P(B | A1 A3 ) + P( A1 A3 )P(B | A1 A3 )= P( A1 )P( A3 )P(B | A1 A3 ) + P( A1 )P( A3 )P(B | A1 A3 )概率统计第一单元补充题及参考答案6/8概率统计第一单元补充题及参考答案= 53 12 23 + 53 12 13 = 103 。C101 C93 5! 128、解（1）由题设，P（恰有一个数字出现两次）=105。（2）P（最大数字为 6）=75 - 65。105C 5（3）P（五个数字恰好严格递增）=10。1059、解 P(
20、 A ) =P93， P( A ) =53， P( A ) =1 + 5 3 + 52 3=91， P( A ) =C93 219329339393493（注 分子各项含义: 1：三个 6，53：为 2 个 6，523：为 1 个 6）计算 P ( A5 ) 有两种方法，方法 1 P( A5 ) =42 3 + C41C41 3!+C41 3=1569393（注：423：为两个偶数; C41 C41 3!：为一个偶数，一个 5 以外的奇数; C41 3 ：为两个5 一个偶数.）方法 2设 A =（取到 5），B =（取到偶数），P( A5 ) = P ( AB ) = 1 - P ( AB )
21、 = 1 - P ( AB ) = 1 - P ( A ) + P ( B ) - P ( AB)= 1 - 83 + 53 - 43 = 156 93 93 93 9310、解 设 Ai=（抽到有 i 件次品的箱），B=（抽到正品），C=（验收），P(C) = P(BC) + P(BC)= P(C | B)P(B) + P(C | B )P(B )= P(C | B)P( A0 B) + P( A1 B) + P( A2 B)+ P(C | B )P( A0 B ) + P( A1 B ) + P( A2 B )11918 11112 = 0.98 1 + 0.05 0+= 0.887331
22、03331031010（注： P( A1B) = P( A1 ) P(B| A1 )其余同理）P( A B ) = P( A ) P(B | A )11111、解 由题设，（1）设 A =（三次均命中） B=（取到须校正的枪），P( A ) = P ( ABAB ) = P ( B ) P ( A | B ) + P ( B ) P ( A | B)= 106 0.83 + 104 0.53 = 0.3072 + 0.05 = 0.3572 。（2）由题设，设 A =（三次命中）Bi=（取到 i 只经过校对的枪）i=0,1,2,3，P( A) = P( AB0 ) + P( AB1 ) + P
23、( AB2 ) + P( AB3 )概率统计第一单元补充题及参考答案7/8概率统计第一单元补充题及参考答案= P(B0 )P( A | B0 ) + + P(B3 )P( A | B3 )4 33+ C164 22= 0.53 0.8 0.5101010+ C2 62426 333 0.8 0.5 + 0.8101010=0.008+0.0576+0.13824+0.1106=0.3144，P( BA )=P ( B2 ) P ( AB2 )=0.13824=0.4397。2P ( A)0.314412、解 设 A1,A2,A3 分别为抽到三个地区的报名表，B1,B2 分别为第 1，2 次抽到
24、的女生表，3（1）P(B1)=P(A1B1A2B1A3B1)= P ( Ai B1 ) =1/33/10+1/37/151/35/25=29/90。i =1（2）方法 1P( B2 )=P( B1 B2B 1 B2 )=2/9+41/90=61/90，P( B1 B 2 )=P( B1 B 2 A1B1 B 2 A2B1 B 2 A3 )=1/33/107/9+1/37/158/14+1/35/2520/24=2/9，P (B1 B 2 ) = P(B1 B 2 A1B1 B 2 A2B1 B 2 A3 )=1/3(7/106/9+8/157/14+20/2519/24)=41/90，所以 Q
25、=P(B1| B2 )= P ( B1 B2 ) =20/61。P ( B2 )方法 2 由题设， P(2| A ) =7， P(2| A ) =8， P(2| A ) =20BBB，110215325注意：这一步的注解很关键，即 P(1 | A1 ) = P(2 | A1 ) = 7 /10 ，抓阄合理，BB所以 P(B2 ) = P( Ai B2 ) = P( Ai )P(B2| Ai ) = 1 ( 7+ 8+ 20) = 61/ 90 ，33i =1i=13 101525又 P ( B1 B2 | A1 ) = 103 79 = 307 ， P ( B1 B2 | A2 ) = 157 148 = 154 ， P ( B1 B2 | A3 ) = 255 2024 = 16 ，所以 P ( B1 B2 ) = P ( B1 B2 A1 + B1 B2 A2 + B1 B2 A3 ) = 13 ( 307 + 154 + 16) = 1/ 9 ，于是) =P ( B1)=2 / 9= 20 / 61 。P ( B|B2B12P ( B2 )61/ 90注：两种方法关键再求 P ( B2 ) 上，方法 2 简单。概率统计第一单元补充题及参考答案8/8
