1、第 1 章 时域离散信号和时域离散系统1.1.1 学习要点 （1 ） 信号： 模拟信号、 时域离散信号、 数字信号三者之间的区别； 常用的时域离散信号； 如何判断信号是周期性的， 其周期如何计算等。 （2 ） 系统： 什么是系统的线性、 时不变性以及因果性、 稳定性； 线性、 时不变系统输入和输出之间的关系； 求解线性卷积的图解法（列表法） 、 解析法， 以及用MATLAB 工具箱函数求解； 线性常系数差分方程的递推解法。（3 ） 模拟信号的采样与恢复： 采样定理； 采样前的模拟信号和采样后得到的采样信号之间的频谱关系； 如何由采样信号恢复成原来的模拟信号； 实际中如何将时域离散信号恢复成模拟
2、信号。1.1.2 重要公式 （1 ） 这是一个线性卷积公式， 注意公式中是在之间对 m 求和。 如果公式中 x(n)和 h(n)分别是系统的输入和单位脉冲响应， y(n)是系统输出， 则该式说明系统的输入、 输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。 （2 ） x(n)=x(n)*(n) 该式说明任何序列与 (n)的线性卷积等于原序列。 x(nn 0)=x(n)*(nn 0)（3 ）这是关于采样定理的重要公式， 根据该公式要求对信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上， 才能得到不失真的采样信号。这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。1.2 解线性卷积的方法解线性卷积是数字信号
3、处理中的重要运算。 解线性卷积有三种方法， 即图解法（列表法） 、 解析法和在计算机上用 MATLAB 语言求解。 它们各有特点。 图解法（列表法）适合于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易得到封闭解。 解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得到的是封闭解， 考试中会出现简单情况的解析法求解。 解析法求解过程中， 关键问题是确定求和限， 求和限可以借助于画图确定。第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的线性卷积， 实验中常用。解线性卷积也可用 Z 变换法， 以及离散傅里叶变换求解， 这是后面几章的内容。 下面通过例题说明。 设 x(n)=R4(n), h(n)=R4(
4、n)， 求 y(n)=x(n)*h(n)。该题是两个短序列的线性卷积， 可以用图解法（列表法）或者解析法求解。 表1.2.1 给出了图解法（列表法） ， 用公式可表示为 y(n)=, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 时 域 离 散 信 号 和 时 域 离 散 系 统第 1 章mhxhxny )(*)()(kakXTX)j(1)j snaa Tntxtx/)(si)(下面用解析法求解， 写出卷积公式为在该例题中， R4(m)的非零区间为 0m3， R4(nm) 的非零区间为 0nm3， 或写成 n3mn ， 这样 y(n)的非零区间要求 m 同时满足下面两个不等
5、式： 0m3 m 3mn上面公式表明 m 的取值和 n 的取值有关， 需要将 n 作分段的假设。 按照上式， 当 n 变化时， m 应该按下式取值： max0, n3mmin3, n当 0n3 时， 下限应该是 0， 上限应该是 n； 当 4n6 时， 下限应该是 n3， 上限应该是 3； 当 n6 时， 上面的不等式不成立， 因此 y(n)=0； 这样将 n 分成三种情况计算： （1） n6 时， y(n)=0（2） 0n3 时， （3 ） 4n6 时， 将 y(n)写成一个表达式， 如下式： 在封闭式求解过程中， 有时候决定求和的上下限有些麻烦， 可借助于非零值区间的示意图确定求和限。 在
6、该例题中， 非零值区间的示意图如图 1.2.1 所示。 在图 1.2.1(b)中， 当 n0 时, 最后得到例 1.3.3 设时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应 h(n)和输入激励信号 x(n) 分别为x(n)=cos(n) u(n)求系统的稳态响应 y(n)。 解 x(n)=cos(n)u(n)=(1) nu(n)当 n时， 稳态解为 1.4 习题与上机题解答1. 用单位脉冲序列 (n)及其加权和表示题 1 图所示的序列。解： x( n)=(n+4)+2(n+2) (n+1)+2(n)+(n1)+2( n2)+4(n3)+0.5(n 4)+2(n6)2 给定信号： 2n+5 4 n1(x(
7、n)= 6 0 n40 其它(1) 画出 x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示 x(n)序列；（3 ） 令 x1(n)=2x(n2) ， 试画出 x1(n)波形； hxs )(*mmua)01nmmaa1ana100)(s)1()1uanj 2jh2j1)( 2j)1()(j )1(j ) 0 nn nmm mnuxhy j54)(ny（4） 令 x2(n)=2x(n+2)， 试画出 x2(n)波形； （5） 令 x3(n)=x(2n )， 试画出 x3(n)波形。 解： (1) x(n)序列的波形如题 2 解图（一）所示。(2) x(n)=3(n
8、+4) (n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n )+6(n 1)+6(n2)+6(n 3)+6(n4)（3 ） x1(n)的波形是 x(n)的波形右移 2 位， 再乘以 2， 画出图形如题 2 解图（二）所示。 (4) x2(n)的波形是 x(n)的波形左移 2 位， 再乘以 2， 画出图形如题 2 解图（三）所示。 (5) 画 x3(n)时， 先画 x(n)的波形( 即将 x(n)的波形以纵轴为中心翻转 180)， 然后再右移 2 位， x3(n)波形如题 2 解图（四）所示。 题 2 解图（一） 题 2 解图（二）题 2 解图（三） 题 2 解图（四）3 判断下面的序列是否是周期的;
9、 若是周期的， 确定其周期。 (1)(2)解： （ 1） 因为 = , 所以 , 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14。（2 ） 因为 = , 所以 =16, 这是无理数， 因此是非周期序列。4 对题 1 图给出的 x(n)要求： (1) 画出 x(n)的波形； (2) 计算 xe(n)= x(n)+x(n) ， 并画出 xe(n)波形； (3) 计算 xo(n)= x (n)x(n) ， 并画出 xo(n)波形; (4) 令 x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与 x(n)进行比较， 你能得到什么结论？ 解：（1） x(n)的波形如题 4 解图（一）所示。(2) 将 x
10、(n)与 x(n )的波形对应相加， 再除以 2， 得到 xe(n)。 毫无疑问， 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题 4 解图（二）所示。 404 )652mmAnAnx 873cos)()8(je3142821(3) 画出 xo(n)的波形如题 4 解图（三）所示。题 4 解图（一） 题 4 解图（二）题 4 解图（三）(4) 很容易证明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。 偶对称序列可以用题中(2) 的公式计算， 奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与 y(n)分别表
11、示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。（1）y (n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2)（2）y (n)=2x(n)+3（3）y (n)=x(nn 0) n 0 为整常数 （4）y (n)=x(n )（5 ） y(n)=x2(n)（6）y (n)=x(n2)（7）y (n)= （8）y (n)=x(n)sin(n)解： （1） 令输入为 x(nn 0)输出为 y(n)=x(nn 0)+2x(n n01)+3 x(nn 02)y(nn 0)=x(nn 0)+2x(nn01)+3(nn 02)=y(n )故该系统是非时变系统。 因为y(n)=Tax 1(n)+bx2(n)=ax1(n
12、)+bx2(n)+2ax 1(n1)+bx 2(n1)+3 ax 1(n2)+ bx2(n2)T ax1(n)=ax 1(n)+2ax1(n1)+3ax 1(n2)T bx2(n)=bx 2(n)+2bx2(n1)+3bx 2(n2)所以 Tax 1(n)+bx2(n)=aTx 1(n)+ bTx 2(n)故该系统是线性系统。（2 ） 令输入为 x(nn 0)输出为 y(n)=2x(nn 0)+3y( nn 0)=2x(nn 0)+3=y(n)故该系统是非时变的。 由于Tax 1(n)+bx2(n)=2ax 1(n)+2bx2(n)+3m0)Tax 1(n)=2ax 1(n)+3Tbx 2(n
13、)=2bx 2(n)+3Tax 1(n)+bx2(n)aTx 1(n)+bTx 2(n)故该系统是非线性系统。(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为 x(nn 1)输出为 y(n)=x(nn 1n 0)y( nn 1)=x(n n1n 0)=y(n)故延时器是非时变系统。 由于Tax 1(n)+bx2(n)=ax 1(nn 0)+bx2(nn 0)= aTx 1(n)+bTx 2(n)故延时器是线性系统。(4) y(n)=x(n) 令输入为 x(nn 0)输出为 y(n)=x(n+n 0)y( nn 0)=x(n +n0)=y(n)因此系统是线性系统。 由于T
14、ax 1(n)+bx2(n)=ax 1(n)+ bx2(n)=aTx 1(n)+bTx 2(n)因此系统是非时变系统。（5 ） y(n)=x2(n)令输入为 x(nn 0)输出为 y(n)=x2(nn 0)y(n n0)=x2(n n0)=y(n)故系统是非时变系统。 由于Tax 1(n)+bx2(n)=ax 1(n)+bx2(n) 2aTx 1(n)+bTx 2(n)=ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。（6 ） y(n)=x(n2)令输入为 x(nn 0)输出为 y(n)=x(nn 0)2)y( nn 0)=x(nn 0)2)=y(n)故系统是非时变系统。由于 Tax 1(
15、n)+bx2(n)=ax 1(n2)+bx2(n2)=aTx 1(n)+bTx 2(n)故系统是线性系统。7） y(n)= x(m) 令输入为 x(nn 0)输出为y(n)= =0DD)x(m-n0)y( nn 0)= x( m)y(n)故系统是时变系统。 由于Tax 1(n)+bx2(n)= ax 1(m)+bx2(m)=aTx 1(n)+bTx 2(n)故系统是线性系统。（8 ） y(n)=x(n) sin(n)令输入为 x(nn 0)输出为 y(n)=x(nn 0) sin(n)y( nn 0)=x(nn 0) sin( nn 0)y (n)故系统不是非时变系统。 由于Tax 1(n)+
16、bx2(n)=ax 1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n)=aTx 1(n)+bTx 2(n)n000故系统是线性系统。6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。 （1） y(n)= x( n k)（2 ） y(n)=x(n)+x(n+1)（3） y(n)= x( k)（4） y(n)=x(nn 0)（5） y(n)=ex(n)解：（1）只要 N1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与 n 时刻的和 n 时刻以前的输入有关。 如果|x (n)|M， 则|y(n )|M， 因此系统是稳定系统。（2 ）该系统是非因果系统， 因为 n 时间的输出还和 n
17、时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)| M, 则| y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系统是稳定系统。（3 ） 如果 |x(n)|M， 则|y( n)| | x(k)|2n0+1|M， 因此系统是稳定的； 假设 n00， 系统是非因果的， 因为输出还和 x(n)的将来值有关。（4 ）假设 n00， 系统是因果系统， 因为 n 时刻输出只和 n 时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)| M， 因此系统是稳定的。（5 ） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于 x(n)的未来值。 如果|x( n)|M, 则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|
18、eM， 因此系统是稳定的。7 设线性时不变系统的单位脉冲响应 h(n)和输入序列 x(n)如题 7 图所示， 要求画出y(n)输出的波形。解： 解法（一）采用列表法。y(n)=x( n)*h(n)= x(m) h(nm)题 7 图解法（二） 采用解析法。 按照题 7 图写出 x(n)和 h(n)的表达式分别为x( n)=(n+2)+( n1)+2( n3)h (n)=2(n)+(n1)+ (n2)由于 x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(n k)=Ax(nk)故 y(n)=x( n)*h(n)=x(n)*2(n)+(n 1)+ (n2)10Nk00k2121=2x(n)+x(n1)+ x(
19、 n2)将 x(n)的表示式代入上式， 得到y(n)=2(n+2)(n +1)0.5(n)+2(n 1)+(n 2)+4.5(n3)+2(n4)+(n5)8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应 h(n)和输入 x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出 y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)（2） h(n)=2R4(n), x(n)=(n)( n2)（3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)解： （1） y(n)=x(n)*h(n)= R 4(m)R5(nm )先确定求和域。 由 R4(m)和 R5(nm) 确定 y（n）对于 m 的 非零区间如下:0m3
20、4 mn根据非零区间， 将 n 分成四种情况求解： n7 时， y(n)=0最后结果为0 n7y(n)= n+1 0n38n 4n7y(n)的波形如题 8 解图（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n 2) =2R 4(n)2R 4(n2)=2( n)+(n1) ( n+4)(n+5) y(n)的波形如题 8 解图（二）所示题 8 解图（一） 题 8 解图（二）(3) y(n)=x(n)*h(n)= R 5(m)0.5nm u(nm)=0.5 n R5(m)0.5m u(nm)y（n ）对于 m 的非零区间为 0m4, mn n|a| ， 由 X(z)很容易得到 x(n)=a
21、nu(n)。 （2 ） ZT 的逆变换为求 Z 变换可以用部分分式法和围线积分法求解。 用围线积分法求逆 Z 变换有两个关键。 一个关键是知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系， 可以总结成几句话： 收敛域包含点， 序列是因果序列； 收敛域在某圆以内， 是左序列； 收敛域在某圆以外， 是右序列； 收敛域在整个 z 面， 是有限长序列； 以上、 、 均未考虑 0 与两点， 这两点可以结nkXNknx nN e)(1)(IDFS)( 2j )()2)(T)e(j kknxX )e()e(jjj HXY21jjj 21 )()(onxnxn nzzX)(, d)(211xc Rczj )()(22
22、jneXxcvYyd11 1,min,ma yxx RR yxyx R1)1)(12azzz 1azjde(21)( nnxjje1(11zz, d21)(1cnRcj合问题具体考虑。另一个关键是会求极点留数。2.3 分析信号和系统的频率特性求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频率特性使用 Z 变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、 零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频特性，估计峰值频率或者谷值频率，判定滤波器是高通、 低通等滤波特性，以及设计简单的滤波器（内容在教材第 5 章）等。根据零、 极点分布可定性画幅
23、频特性。 当频率由 0 到 2 变化时， 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化， 在极点附近会形成峰。 极点愈靠进单位圆， 峰值愈高； 零点附近形成谷， 零点愈靠进单位圆， 谷值愈低， 零点在单位圆上则形成幅频特性的零点。 当然， 峰值频率就在最靠近单位圆的极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。 滤波器是高通还是低通等滤波特性， 也可以通过分析极、 零点分布确定， 不必等画出幅度特性再确定。 一般在最靠近单位圆的极点附近是滤波器的通带； 阻带在最靠近单位圆的零点附近， 如果没有零点， 则离极点最远的地方是阻带。 参见下节例 2.4.1。2.4 例 题例 2.4.1 已知 IIR 数字
24、滤波器的系统函数试判断滤波器的类型（低通、 高通、 带通、 带阻） 。 （某校硕士研究生入学考试题中的一个简单的填空题）解： 将系统函数写成下式:系统的零点为 z=0， 极点为 z=0.9， 零点在 z 平面的原点， 不影响频率特性， 而惟一的极点在实轴的 0.9 处， 因此滤波器的通带中心在 =0 处。 毫无疑问， 这是一个低通滤波器。 例 2.4.2假设 x(n)=xr(n)+jxi(n)， xr(n)和 xj(n)为实序列， X(z)=ZTx(n) 在单位圆的下半部分为零。 已知求 X（e j）=FTx (n) 。解： Xe(ej)=FTx r(n)因为 X(e j)=02所以 X(e-
25、j)=X(ej(2-)=0 0当 0 时， ， 故当 2 时， X(ej)=0， 故 02因此 ReX(e j)=X(e j) ImX(e j)=0例 2.4.3 已知0nNN+1n2N19.01)(zzH.9.01)(1 02410 2r )2cos1(e412FT2jj )(e(jjX)e(21(jje )2cos1()e(21)e(jj Xcos1)e(j0(j02)(nxn2 对应的原序列 x(n)。解：（1 ） 收敛域 0.52: n0时， c 内有极点 0.5、 2，nmax(r, |a|)，且 n0 时，y (n)=0，故c 包含三个极点， 即 a、 z1、 z2。mmnuuxy )()()( babababannm 1100)(1uba 11)( )( bzzHzzX )1)()( 1aHYzyncd)j21)(1bzabzzzF nn 111( babaFRynn11),(es),(se)()(11uby 11cosazzYzrYz)(cos11) 232zzYjje er cnzyd)(j(1)()( )()(21131zzaYFn
