1、满分晋级新课标剖析当前形势 导数及其应用在近五年北京卷（文）中考查 1318 分要求层次内容A B C具体要求导数的概念通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵导数概念及其几何意义导数的几何意义 通过函数图象直观地理解导数的几何意义根据导数定义求简单函数的导数根据导数定义求函数 ， ， ，yCx2y， ， 的导数3yx1导数的四则运算 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数高考要求导数的运算导数公式表 会使用导数公式表2008 年 2009 年 2010 年（新课标） 2
2、011 年（新课标） 2012 年（新课标）北京高考解读 第 13 题 5 分第 17 题 13 分 第 18 题 14 分 第 18 题 13 分 第 18 题 13 分 第 18 题 13 分导数 3 级导数的运算与几何意义导数 1 级导数的概念与运算导数 2 级导数在研究函数中的简单应用第 8 讲 导数的概念与运算90 第 8 讲尖子-目标教师版导数的引入我们在必修一的时候学习了函数单调性的知识，可以从变化趋势来研究函数比如增函数就是越来越大的，减函数就是越来越小的我们知道了函数的增和减之后，自然引出的问题就是增和减的速度就好比我们还是婴儿的时候，最开始掌握的运动方式是爬，开始是练习向前
3、爬和向后爬，能掌握方向了之后，就要开始关注爬的速度有些社区还会组织婴儿爬行比赛回到函数的角度，我们原始的函数定义解决的是“在哪里”的问题（代入坐标求解） ，必修一的函数单调性这一节中我们初步解决了“往哪走”的问题现在我们要研究的就是在大概知道“往哪走”的前提之下，解决具体“ 怎么走”“走多快”的问题为了研究此类问题，聪明的人类引入了导数的概念在介绍导数之前，我们先来了解一个简单概念：平均变化率8.1 导数的概念知识点睛函数的平均变化率：一般地，已知函数 ， ， 是其定义域内不同的两点，记 ，()yfx01 10x，10y1(f 0)(xf则当 时，商 称作函数 在区间 （或 ）x0(fy()y
4、fx0,00,x上的平均变化率【教师备案】讲变化率的时候可以和速度结合到一起，比如小车问题（课件中有图）有一个小车在忽忽悠悠的往前开，我们每隔 1 秒钟拍一张照片，就可以得到如下的图：时：1ts 18m8m2m0 3s2s1ss这时计算平均速度就可以用位移差除以时间差，这其实也是速度的定义：速度就是位移的变化率那么平均速度也就是位移的平均变化率我们也可以把时间间隔变成 秒，0.5就会变成下图：时：0.5ts比如我们要计算 1 到 秒间的平均速度，也需要用位移差 .5 st如果我们排除位移、速度这样的具体物理概念，只研究“变化“这件事的话，我们就可以得到更广泛的平均变化率的概念建议老师可以换一个
5、例子，比如从圆的面积随半径的变化率入手 x+很自然的我们可以知道圆面积随半径的平均变化率是2()xx我们很容易发现，在半径均匀变化的时候，圆面积随半径的平均变化率并不是均匀的，而是越变越快这个现象在生活中有很实际的例子，比如我们去买蛋糕的时候，六寸、九寸、十二寸的蛋糕价格并不是均匀增长的，从九寸到十二寸的价格增长一定比从六寸到九寸的价格增长大平均变化率有本身的缺陷，比如小车问题中，我们看到从 到 的平均速度是 ，0s12/ms但是我们并不能说这一段时间每一个时刻的速度都是 蛋糕问题也是一样的，比如2/m我们有一个神奇的蛋糕，会越变越大，原来是六寸的，一段时间后涨到了七寸，然后出现一个神奇的小狗
6、，把新出来的宽为一寸“蛋糕环”吃了，最后剩下的还是一个六寸的蛋糕那么这段时间蛋糕大小的平均变化率应该是 ，从这个角度讲是蛋糕没变的，但实0际过程中有很复杂的变化平均变化率在刻画此类问题的时候显得不够精确了2.5s.s0.5s 18m8m2m3ss92 第 8 讲尖子-目标教师版还有很多的例子，比如有一个人投资股票，一开始投入了 块钱，一年之后收回 块钱，1010那么这一年中的平均变化率就是 ，但是这一年中肯定有起伏的变化老师可以选取自0己比较擅长的例子进行讲解产生这个问题的重要原因是平均变化率只能刻画一个 上的平均情况，只考虑起点和终x点两个时刻的状态，而对于中间状态没有刻画（这里的 可以指时
7、间，也可以指刚才提过的半径变化） 而当我们精确处理每一个瞬间变化情况的时候，自然的想法就是让无限的小此时得出的变化率就是瞬时变化率x我们可以重新看刚才举的例子，比如小车的问题，当时间间隔无限小的时候，得到的结果就是瞬时速度圆的例子也是一样的，圆的面积随半径的平均变化率是 ，当2x趋向于零的时候，瞬时变化率也就变成了 这样我们就可以从平均变化率的问题x 2x引入到瞬时变化率的问题【教师备案】教师可以由前两个小车问题讲解平均变化率，在学生理解什么是平均变化率后，让学生做例 1尖子班学案 1 也是平均变化率的问题，老师也可以选择性的让学生做做建议老师在让学生计算平均变化率之前多举一些简单的例子，可以
8、参考铺垫题中使用具体的某个数来计算平均变化率，然后再让学生去做用 解平均变化率的题对于学生来说，0x一个比较合理的学习顺序是这样的：平均变化率定义用具体的数来算平均变化率（ 例 1 的铺垫 ）每个数都需要重新算 ？太麻烦了 ， 改用 x 0 统一计算 （ 例 1 （ 1 ）瞬时变化率定义用具体的数来算瞬时变化率（ 例 1 （ 2 ）最后我们加入的易错门诊，强调的是导数的定义然后就可以进入第二板块：导数的运算了2函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数 在 附近有定义，当自变量在 附近改变量为 时，函数值相应的改变()yfx0 0xx00()(yfxfx如果当 趋近于 时，平均变化率 趋近于一个常数
9、 ，那么常数 称为函数00()(fxfxyll在点 的瞬时变化率()f0“当 趋近于零时， 趋近于常数 ”可以用符号 “ ”记作：x00()(fxfl“当 时， ”，或记作“ ”，符号“ ”读作“趋近l00()(imxfxfl于”函数在 的瞬时变化率，通常称为 在 处的导数，并记作 0x()fx00()f这时又称 在 处是可导的于是上述变化过程，可以记作()f0x“当 时， ”或“ ”00)()ff00()li ()xfxffx经典精讲考点 1： 导数的定义【铺垫】求下列函数在区间 和 上的平均变化率2x， 3x， fx()f【解析】 在区间 上的平均变化率为 ；， 1y在区间 上的平均变化率
10、为 ；fx3x， x 在区间 上的平均变化率为 ；22， 4y在区间 上的平均变化率为 ；fxx， 6x【总结】可以让学生感受一下函数变化快慢，比如从上题的结果来看，在相同的时间内一次函数的变化是一直不变的；二次函数的变化是越来越快的【教师备案】教师可以先讲铺垫，根据铺垫让学生从具体的区间体会函数的平均变化率，再由具体的区间引申出一般区间的平均变化率，然后讲例 1【例 1】 平均变化率与瞬时变化率 求下列函数在区间 上的平均变化率0x， ()fx2()f3()fx1()fx()fx 求下列函数分别在 ， 和 处的瞬时变化率1 ()f 2()fx3()f()fx()f【追问】从瞬时变化率角度分析
11、每个函数的整体变化趋势，我们可以很明显的看出对于一次函数，二次函数，三次函数来说，次数越高，往后变化越快【教师备案】求例 1的瞬时变化率时，前三个是让学生体会简单函数的瞬时变化率，老师可以重点讲前三个，然后让学生自己体会后两个；如果学生的程度特别特别好，可以求下面两个函数在 处的瞬时变化率1x sinfxcosfx94 第 8 讲尖子-目标教师版【解析】 ；1yx ； 02 ；23()yxx ；201 .0yxx在 处的瞬时变化率为 ；在 处的瞬时变化率为 ；1(1)f2x(2)1f在 处的瞬时变化率为 33在 处的瞬时变化率为 ；在 处的瞬时变化率为 ；xf 4f在 处的瞬时变化率为 ()6
12、在 处的瞬时变化率为 ；在 处的瞬时变化率为 ；11f2x(2)1f在 处的瞬时变化率为 3x37在 处的瞬时变化率为 ；在 处的瞬时变化率为 ；()f()4f在 处的瞬时变化率为 x19在 处的瞬时变化率为 ；在 处的瞬时变化率为 ；1()2fx2()4f在 处的瞬时变化率为 3x36【总结】由例 1看出一次函数的增长速度不变，二次函数三次函数的增长速度越来越快， 也是在x增长的，只不过增长速度越来越慢【教师备案】 只求在 处的瞬时变化率，解析为：1x 000000sinsinicos1csin()(xxxxffy，2000 0sinicoii si2sisincxxxx 在 处的瞬时变化率
13、为1x00sisin1limli1ico1cos12xxyf xx ，0000 0 0sincoscos()( siin2fxfy xx x x 在 处的瞬时变化率为1x00sinsin2limlico1i1si1xxxy xf 【教师备案】 的解析用到了 的思想：0silx证明： 0sinl1x【解析】 为偶函数，只考虑 的情形，0x，从图上直接读出 ；容易证明 ；sintaxsini1costax0limcos1x于是由夹逼定理 ，于是 0sin1lmx 0limx（这个证明过程是不严格的，只从对极限的直观上作个说明）提高班学案 1【拓 1】 求函数 在 上附近的平均变化率，在 处的瞬时变
14、化率与导数3()2fx1x， 1x【解析】 函数 在 上附近的平均变化率为： ， y2()3在 处的瞬时变化率与导数相等，为 1x (1)f尖子班学案 1【拓 2】已知 ，且 在区间 上的平均变化率是 ，则 40fxkfx12， 4k【解析】 4【总结】一次函数的平均变化率就是斜率目标班学案 1【拓 3】 质点 按规律 作直线运动，若质点 在 时的瞬时速度为 ，求 的M21staM2ts8/msa值【解析】 2a若 在 处可导，则 （ ） fx0003limxfxfA B C D013 03f0f96 第 8 讲尖子-目标教师版【分析】 此题很容易出错教师可以引导学生根据导数的定义来求解，从而
15、加深学生对导数定义的真正理解，原来的 是 ，跟 是一回事，所以这里用 给学生讲更直观，xx21x21x建议板书： 2121limxffx【解析】 B【教师备案】在讲完易错门诊后，学生对导数的定义可能还有一些模糊，这时老师可以选择下面的道小题让学生做做，让学生把导数的定义理解透彻若函数 在区间 内可导且 ，则 的值为（ ()yfx()ab， 0()xab， 00()(limhfxf）A B C D00()f 02()f 0()f设 ，则 （ ）343()limhfA B C D131若 ，则 等于（ ）00(2)(li 1xfxf0()fxA B C D332设 在 可导，则 等于（ ）()fx
16、0003limxfxfxA B C D2 ff 04fx【解析】 C B D8.2 导数的运算自变量趋近相等函数值的差自变量的差知识点睛现在我们要做的是从某一个点处的导数向一个函数的导数过渡延续我们刚才的学习顺序：瞬时变化率定义用具体的数来算瞬时变化率（ 例 1 （ 2 ）把 具 体 的 数 换 成 x0， 把瞬 时 变 化 率 的 计 算 一 般化发现每一个自变量 x 取值为 x0时的瞬时变化率仅和 x0相关 ， 于是我们可以建立自变量 x到瞬时变化率的函数 ， 也就是导数 。关于求导公式：常见的求导公式我们可能并不会推导，但是建议和学生提及一下推导的要点，并说明这个推导并不是高中知识范畴之
17、内的这样可以让学生比较信服，也可以和学生强调公式是前人推导出来给我们做题用的1可导与导函数：如果 在开区间 内每一点都是可导的，则称 在区间 可导这样，对开区间()fx(,)ab()fx(,)ab内每个值 ，都对应一个确定的导数 于是，在区间 内， 构成一个新的函,ab ()f ()fx数，我们把这个函数称为函数 的导函数记为 或 （或 ） ()yfxfyx导函数通常简称为导数如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数2常用函数 的导数推导21fxCfxfffx， ， ， ，【教师备案】常用函数的推导过程如下：；0 0limlimx xffCx；1x xx；220 00li li
18、lim2x x xff x ； 20 00111limlimlix x xffx 0 00 1li lilix x xff xx 3基本初等函数的导数公式若 （ 为常数） ，则 ；fxCf若 ，则 ；()Q1x若 ，则 ；特别地， 若 ，则 ；xfalnfa exfexf若 ，则 ；特别地，若 ，则 ；logl ln1若 ，则 ；sinfxcosfx若 ，则 cin98 第 8 讲尖子-目标教师版【教师备案】基本初等函数的推导过程不要求学生掌握，学生只需把导数公式记住就行，老师在讲完导数公式后可以让学生做例 2，本题可以老师带领学生一起做4导数的四则运算法则：其中 都是可导函数， 为常数：()
19、fxg， C； ；()()fxgf()()()fxgfx ； （ ） C 2fgx 0【教师备案】这里只证一个加法的四则运算设 ，则yfyfxgxfxgffg， ，即fgx 0000limlilimlixxxxf yf我们也可以换一种方式来解释这个公式基本上所有学生都学过“水上行舟”问题，我们可以把 看做是时间， 看做是船的位fx移， 看做是水的位移，那么 和 分别指的就是船和水的瞬时变化率，也就gxfxg是速度这样我们的公式也就很好理解了 总的位移， 就是fxfg总的速度，自然等于右边 ，也就是船速加水速f四则运算记忆法则：加法的导数等于导数的加法；常数与函数之积的导数等于常数乘以函数的导数
20、；乘法的导数等于第一个导数乘以第二个 第二个导数乘以第一个；除法的导数等于分母不动乘以分子导数减去分子不动乘以分母导数，再除以分母平方【教师备案】讲完导数的四则运算，可以让学生做例 2；例 2属于简单函数的四则运算，例 2属于需要先把函数化简，再用四则运算；对于目标班的学生，因为程度比较好，所以可以让学生做做目标班学案 2；在例 2 的后边还有一个【挑战十分钟】 ， 【挑战十分钟】的主要目的是让学生熟练导数的四则运算，可以让学生在规定的时间内做做经典精讲考点 2： 导数的运算【例 2】 导数的运算 求下列函数的导数 201yx2xyexylnyx 求下列函数的导数 3cos31xesi lny
21、xtanfx 求下列函数的导数 221fxx1yxsinco2xfx【解析】 ； ； ； 0y lnx ex1y ； ； ； ；23sinx2xysincox2l1nxy 21cof ；x 1322yx 11sin(sin)cos2fxxx 【挑战十分钟】让学生熟练的掌握求导公式以及导数的运算法则求下列函数的导数 ； ； ； ； ；31yx21yx42356yx2cosyx2sinyx ； ； ； ； ；sinco1ei2lx ； ； ； ； ；iyx2yx2xy1yxsyx；2 ； ； 2312【解析】 ； ； ； ； ；2yx3yx465yx sinyxcosyx ； ； ； ；cosin
22、21 2x 1e； ； ； ； ；iyx lnyxsiny2yx21xy ；21 ； ； ； ； 2cosinxxy 28yx21yx21849yx23yx提高班学案 2【拓 1】设函数 ， ，则 32fxax19fa【解析】 1尖子班学案 2100 第 8 讲尖子-目标教师版【拓 2】已知 ，若 ，则 lnxf0falna【解析】 1【例 3 引入】导数实际也是一个函数，和原函数密切相关，关于导函数的单调性、奇偶性等等我们会在春季课上重点介绍在预习课里我们先介绍一个函数的基本性质在函数中我们有这样的结论： 是一个函数，是可以“动”的，而 就是一yfx 1yf个数，因为自变量已经取定了，他就不
23、能“动”了所以在函数考察中曾经有过这样的问题：“ ，求 ”，我们的做法很简单，就是把 代入，求出 的12fxff xf值即可解这类题的关键就在于理解 其实是一个固定的数例 3 就是这类题在导1f数中的考察比如例 3（1）中的 表示的就是 这个函数在 处的导数，f 1这是一个固定的数这类题解法的基本过程是：通过求导把原式转化为一个导函数的等式，然后代入需要求的值强调这个概念的目的是防止学生在计算 导数的时候fx把它当做两个函数相乘求导【例 3】 实际是一个数fa已知 ，则 _3215xfx2f已知函数 ，则 的值为 cosin4f4已知函数 ，则 与 的大小关系是（ ）in23fxxf3ffA
24、B C D 不能确定3ffff3ff【解析】 0 1 B8.3 导数的几何意义知识点睛设函数 的图象如图所示 为过点 与()yfxAB0(,)xf的一条割线由此割线的斜率是00(,B x0+xx0DCBAO y，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率当点 沿曲线趋近于点00()(fxfxy B时，割线 绕点 转动，它的最终位置为直线 ，这条直线 叫做此曲线在点 的切线，ABAADAA即 切线 的斜率，简单地说，曲线上某一点处切线的斜率就反映了曲线00()(limxffxD在这点处的变化率，所以说切线的斜率就是导数 【教师备案】切线的定义：“直线 与曲线 有一个交点”，是“ 直线 是曲线 的切线
25、”的_条件lClC【解析】 既不充分也不必要一方面：只有一个交点不见得是切线，如图 1；另一方面：切线不见得只有一个交点，如图 2； 更加强，切线与函数可能会有无数个交点，如图 3：图 1 图 2 图 3对于程度很好的学生可以进一步解释：相切只是局部概念，不是整体概念，比方说知识点睛中的图只是在 点附近割线逼近的情况，至于这个范围以外的部分和切线无关 A什么是切线的的斜率，举个例子： 函数 的图象在 处与 轴相切，在 于 处的切线分别()fx3x1x5为 ，其中 ， 的坐标分别为 ， ，ABCD， ABC， ， D03， 20， ，如图，则 ； -40， 6， 0()(limxff3f_；_5
26、f【解析】 302， ，【教师备案】例 4 主要讲导数与切线斜率之间的关系，让学生从图象上充分了解导数与切线斜率之间的关系，老师在讲完导数的几何意义后可以让学生做例 4；在学生理解导数与切线斜率之间的关系后讲切线方程，例 5 主要是求切线方程，例 5 后边有一个【挑战十分钟】 ，老师可以以例 5 为例讲切线方程，以【挑战十分钟】为练习让学生熟练的求切线方程；例 6 主要讲切点的核心作用，让学生灵活的运用导数与切线之间的关系，对于目标班的学生，因为程度很好，可以让学生做做目标班学案 3O yx O yx O y xOyx531 DCBA102 第 8 讲尖子-目标教师版经典精讲考点 3： 导数的
27、几何意义【例 4】 导数等于切线斜率 如图，直线 是曲线 在 处的切线，则 l()yfx4(4)f 如图，曲线 在点 处的切线方程()yfx(2)Mf，是 ， 23 函数 的图象上一点 处的切线的斜率为（ sin3，）A1 B C D32212 设 是偶函数若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则该曲线在点fxyfxf， 2处的切线的斜率为 ，【解析】 12 3 D 【例 5】 切线方程已知曲线 上一点 ，求曲线在点 A 处的切线方程1yx2A，（2010 丰台一模文 12）函数 的图象在点 处的切线方程是 ()lnfxe,()f【追问】求 在 处的切线方程，并且计算切线和 轴交点的坐标由此找出x
28、e0(， x指数函数切线的小性质切线和 轴交点横坐标和切点的横坐标之间的差是一个定值，这个定值只受指数函数的底影响最后由此性质类比可以得到对数函数的相关性质【解析】 在点 A 处的切线方程为 250xy e0xy斜率=导数2Oy xOyx(0,3)(4,5)【总结】切线方程： ，本质就是点斜式000yfx【追问】 ，令 得 ，故横截距与切点横坐标之差为 .00(1)xxyeey01x1【挑战十分钟】学生在学完切线方程后，对切线方程可能还不是很熟悉，老师可以选择以下十个小题让学生多练练求曲线 在点 处的切线方程；214fx1，求函数 在点 处的切线方程；，求曲线 在点 处的切线方程；3fx23，
29、求函数 在点 处的切线方程；15，求曲线 在点 处的切线方程；lnfe，求曲线 在点 处的切线方程；23x0，求曲线 在点 处的切线方程；1f1，求曲线 在点 处的切线方程；2x，求曲线 在点 处的切线方程；cosf362，求函数 在 处的切线方程infxx【解析】 ； ； ； ； ；10xy0y1450xy340xy2e=0xy ； ； ； ；332612= 626=【例 6】 切点的应用曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则点 的坐标为（ ）2yxP3PA B C D39， 9， 924， 3924， 若曲线 与 在 处的切线互相垂直，则 等于（ ） 213yx0 0xA B C D 或366
30、33 已知直线 与曲线 相切，则 的值为（ ）xlnaA1 B2 C D12【解析】 C A B【总结】切线的相关问题绝大多数都是围绕切点做的，这是由于切点是曲线和切线的结合点，它的坐点坐标点坐标104 第 8 讲尖子-目标教师版标可以同时影响曲线和切线一般来说，只要题目中出现了切点或切线，我们都需要设出切点坐标，然后利用切点的三个性质：切点在曲线上、切点在切线上、切点处的导数等于切线的斜率，列出三个方程解出切点坐标后基本就 ok 了所以建议老师在课上强调切点的重要性，至少让学生见到类似问题的时候可以想到“切点”这个核心要素例如：例 6 的（3） ，我们一开始就要明白这个题的关键是解出切点坐标
31、，我们就可以列出：001ln=yxa切 点 在 直 线 上切 点 在 曲 线 上切 点 处 导 数 切 线 斜 率提高班学案 3【拓 1】 曲线 上切线的倾斜角为 的点的坐标为 2yx4曲线 上切线平行于 轴的点的坐标 3x【解析】 124， 或， 2，尖子班学案 3【拓 2】 设函数 若曲线 在点 处与直线 相切，求3()(0)fxabyfx2f， 8y的值ab， 已知直线 与曲线 相切，则 的值为（ ） 1yln1yxaA1 B2 C De1e【解析】 42ab， D目标班学案 2【拓 3】 已知抛物线 和 ，如果直线 同时是 和 的切线，称 是 和21:Cyx22:Cyxal1C2l1C
32、的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段2 取什么值时， 和 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；a12 若 和 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分12【解析】 函数 的导数 ，曲线 在点 的切线方程是yxyx1211，Px，即 21112y函数 的导数 ，曲线 在点 的切线方程是2yxa2yx2C2，Qxa，即 2 如果直线 是过 和 的抛物线 ， 的公切线，则式和 式都是 的方程lPQ12 l所以 ，消去 得方程 12，xa2x10xa若判别式 时，即 时解得 ，此时点 与 是唯一确定40212PQ的，即当 时， 和 有且仅有一条公切线，由得公切线方程为 121C2
33、 14yx 由可知，当 时， 和 有两条公切线，设一条公切线上切点为a， ，其中 在 上， 在 上，则有 ，1Pxy2，QxyP1Q2C12x212xa线段 的中点为 ，同理，另一条公切线段 的中点也，aP是 2，a所以公切线段 和 互相平分PQ若曲线 与 在 处的切线互相平行，则 321fx21gx0x0x【解析】 43实战演练【演练 1】 若函数 ，则当 时，函数的瞬时变化率为（ ）2()fx1xA1 B C2 D 2已知函数 ，则 等于（ ） 2()f0()(limxffA B C D12x1【解析】 D C【演练 2】若 ，则 等于（ ） 002lim1xfxf0fx106 第 8 讲
34、尖子-目标教师版A2 B C D21212【解析】 C【演练 3】下列函数中，满足 的函数是（ ） ()fxA B C D ()1fx()fx()0fx()1fx 是 的导函数，则 的值为_321(1)f设 ，若 ，则 （ ） ()lnf0()fx0A B C D2eelnl2【解析】 C 3 B【演练 4】已知函数 ，则 （ ）21fxf0fA B C D0422【解析】【演练 5】求曲线 在点 处的切线方程e21xy0，【解析】 310x大千世界（2011 北大保送）函数 上有两个点处的切线互相垂直，求 的值sinfxax a【解析】 ，()cosfxax设 在 与 处的切线互相垂直，则有
35、 （*）12 12(cos)(s)1ax于是 2 12)(cos)0ax将它看成关于 的一元二次方程，则此方程有解，于是判别式 ，即 2112(cs4cosxx 21(cso)4x又 ，故 ，12cosx， ， s于是 ，故 ， 或 () 21()412csx12scx代入（*）式得 0a阅读材料从学而思钟的 10 点钟说起这两个数相等吗？有人认为不相等，怎么着这俩数也有那么点差距啊；其实这个问题可以转化为一个更加广为传播的问题： 吗？有人认为相等，理由很有意思：0.91证明： ，两边同时乘以三，结果就是：1.310.9那么这两个数究竟相等吗？这就涉及到极限的概念我们先弄明白什么叫 观察下面的
36、式子：.09， ， ， 所以我们可以得到一个式子就是 ，0.91210.930.91 1.90nn那么无限循环小数就可以写成： 根据我们学过的极限的概念，等式右侧中的.lim0nn的极限是零，所以右侧极限值为 10n可能还有同学没有明白，这主要是“极限”的概念在高中阶段给的极为模糊实际极限的定义是非常严格的，我们先看一个简单的例子： 1lim0n怎么理解这个式子呢？其实可以理解为，随着 无限的变大， 的值和 之间的差距可以做到“要多小n0有多小”比如你说 很小了，那我 就能比你小；你再说 已经很小了，那我10101就能比你小无论你说多么小的数，我都能比你小那么我们就可以说随着 逐渐变大，10n
37、 n的极限是 刚才那个例子也是一样的，你说 和 之间的差距能有多少呢？我们可以想到，这就是所谓的要多小0.91有多小你随便说一个数，他们的差距都能比它小所以我们可以认为他们是相等的更进一步，我们在研究导数的时候，极限的概念往往是直接应用的，常见的技巧是解决 的形式比0如我们在推 导数的时候，用的是： ，本来是一个 的形式，但是我们可以把2x20limxx0？9.10108 第 8 讲尖子-目标教师版约掉，变成： ，这样就打破这个 的形式了所以我们在推导数的x200limli+xx0公式或者求瞬时变化率的时候，比较关键的一个步骤就是消灭掉 ，解决了分母上的 ，其他的就好x0办了当然，也有 不能约的情况，同学们如果有兴趣的话可以思考下面的问题：x sinl0x0sinl1x
