1、108 第 9 讲尖子-目标教师版满分晋级新课标剖析当前形势 导数及其应用在近五年北京卷（文）中考查 1318 分要求层次内容A B C具体要求 利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次） 函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）高考要求 导数在研究函数中的应用 利用导数解决某些实际问题2008 年 2009 年 2010 年（新课标） 2011 年（新课标） 2012 年（新课标）北京高考解读 第 13 题 5 分第 17 题 13 分 第 18 题 14 分 第 18 题 13 分 第 18 题 13 分 第 18 题 13 分第 9 讲 导数在研究函数中的简单应用导数 1
2、级导数的概念与运算导数 2 级导数在研究函数中的简单应用导数 3 级导数的运算与几何意义109第 9 讲尖子-目标教师版9.1 利用导数分析函数的单调性知识点睛利用导数判断函数的单调性的方法如果函数 在 的某个开区间内，总有 ，则 在这个区间上是增函数；()yfx()0fx()fx如果函数 在 的某个开区间内，总有 ，则 在这个区间上是减函数【教师备案】对于函数 ，若 ，则 为增函数（减函数）；反之，若 为增函数f()0()fxff ()fx（减函数），则 恒成立，且 不恒等于零 ()x经典精讲考点 1：函数单调性与其导函数正负的关系【教师备案】选修 2-2A 版教材引入方式1如下图，函数图象
3、的切线的斜率（即导数）的正负可以反映函数的 单调性导数 表示函数 在点 处的切线的斜率在 处， ，0fxfx0fx， 0x0fx切线是“左下右上”式的，这时，函数 在 附近单调递增；在 处， ，切0 11线是“左上右下”式的，这时，函数 在 附近单调递减f12已知导函数 的下列信息：fx当 时， ；当 或 时， ；当 或 时， 1401x40fx14x0fx试画出函数 的大致形状f110 第 9 讲尖子-目标教师版【教师备案】选修 2-2B 版教材引入方式函数 在区间 上的平均变化率为 ()yfxx， yx依据函数单调性的定义：若 ，则函数在给定区间 上为增函数；若 ，则函数在给定区间上为减函
4、数0x 0从导数的角度看： 00()(limlixxyffxf若 ，则函数在给定区 间上为增函数；若 ，则函数在给定区间上为减函数f因此我们可以用导数作工具来研究函数的性质【铺垫】老师可以以此铺垫给学生讲解导函数的正负与原函数单调性的关系求下列函数的导函数，并画出导函数的图象，观察导函数的正负与原函数单调性的关系【 导 函数的图象为：从导函数的图象我们可以看出，当 导函数大于零时，原函数是单调递增的；当导函数小于零时，原函数是单调递减的【例 1】 根据导函数图象判断原函数图象（2010 石景山一模文理 7）已知函数 的导函数 的图象如右图所示，那么函数 的图象最有可能的是（ ()fx()fx
5、()fx） x y Ox yOO yx(3)(2)(1)111第 9 讲尖子-目标教师版【 A考点 2：从导数角度解释函数增减的快慢【教师备案】函数图象如图 1、2 所示，由 图 3、4 可知，当自变量 逐次增加一个单位增量 时，函数xx的相应增量 ， ， ，越来越大；函数 的相应增量 ， ， ，越gxy2 f1y23来越小图 1 图 2 图 3 图 4从导数的角度来看： ， 为增函数； ， 为减函数0gxx0fxfx图象特点：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭” （向上或向下）如果一个函数在某一区间内导数的绝对值越来越大，那么对应的
6、函数图象就越来越陡峭反之，就越来越平缓【铺垫】如图，水以恒速（即单位时间内注水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 与时间 的函数关系图象ht112 第 9 讲尖子-目标教师版【 以容器为例，由于容器上 细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快反映在图象上，（ ）符合上述变化情况，同理可知其他三种容器的情况A B； A； D； C【例 2】 函数的增长速度 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 看作时间 的函数，其图象可能是（ ）st 如左图所示，液体从球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中
7、，开始时漏斗中盛满液体，经过 3 分钟漏完，已知烧杯中液面上升的速度是一个常量， 是漏斗中液面下落的距离，则 与HH下落时间 （分）的函数关系用图象表示可能是右图中的（ ） t【 A D考点 3：求函数的单调区间【教师备案】求可导函数单调区间的一般步骤和方法第一步：确定函数 的定义域；fx第二步：求 ，令 ，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；f0D.C.B.A. O tsO tsstOO ts113第 9 讲尖子-目标教师版第三步：把函数 在间断点（即 的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小fxfx到大的顺序排列起来，然后用 这些点把函数 的定义区 间分成若干个小区fx间；第四步：确定
8、在各个小区间的符号，根据 的符号判断函数 在每个相应fx f fx小区间的增减性【注意】 函数的 单调区间不能用不等式表示，必须写成区 间形式；当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间不能用“ ”连接，可用“，”或“和” 连接提高班学案 1【铺 1】 确定函数 在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？3fx【 已知函数在区间 和 内是增函数；在区间 内是减函数1， 1， 1，尖子班学案 1【铺 2】已知函数 求函数 的单调区间exffx【 的单调递增区间为 ，单调递 减区间为 fx1， 1，【例 3】 求单调区间求下列函数的单调区间 ； 32()95fxx2lnfxx【 函
9、数 的单调递增区间为 和 ；单调递减区间为 (1)， (3)， (13)， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区 间为 ，f 1， f 0，目标班学案 1【拓 3】 已知函数 ，求函数 的定义域及单调区间e1xffx【 函数 的定义域为 x的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 f 2， 1， 2，114 第 9 讲尖子-目标教师版求函数 的单调区间2lnfxaxR【 当 时， 的单调递增区间为 ；0a yf 0，当 时，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 x2a， 2a，提高班学案 2【铺 1】 若 与 在 上都是减函数，对函数 的单调性描述正确的是（ yaxb0， 3yxb）A在 上是
10、增函数 B在 上是增函数， 0，C在 上是减函数 D在 上是增函数，在 上是减函数0，【 C【例 4】 已知函数单调性，求参数范围已知函数 不存在单调递减区间，求 a 的取值范围21()ln0fxax【追问】若改为存在单调递减区间，则 a 的取值范围是多少【 的取值范围为 a，【追问】 的取值范围为 (1)()， ，尖子班学案 2【拓 2】 已知函数 ，若 在 上是增函数，则 的取值范围2()(0fxax， ， ()fx(01， a为 【 1a -目标班学案 2【拓 3】 设函数 在其定义域内为增函数，求 的取值范围2()lnfxaxa【 的取值范围是 a，9.2 利用导数分析函数的极值与最值
11、知识点睛1利用导数研究函数的极值：已知函数 ，设 是定义域内任一点，如果对 附近的所有点 ，都有 ，则称()yfx0 0xx0()fx函数 在点 处取极大值，记作 并把 称为函数 的一个极大值点()f0 0()yf极 大 ()f115第 9 讲尖子-目标教师版如果在 附近都有 ，则称函数 在点 处取极小值，记作 并把 称0x0()fx()fx0 0()yfx极 小 0为函数 的一个极小值点()f极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点【教师备案】老师可以借助经典精讲中的【铺垫】来讲解函数的极值，先让学生自己观察，然后老 师再来总结极值，并总结极值中应注意的方面我们可以从以下几个方
12、面理解概念：极值 是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可要注意极值必须在区间内的连续点取得一个函数在定义 域内可以有许多个极小值和极大 值，在某一点的极小 值也可能大于另一点的极大值，也就是 说极大值与极小值没有必然的大小关系即极大值不一定比极小值大，极小值 也不一定比极大值小函数的极 值 点的导数为 ，但导数为 的点可能不是函数的极 值点也就是 说，若00存在， 是 在 处取得极值的必要条件，但不是充分条件比如fcfcfxc在 处， 但 不是函数的极值点，所以一定要注意点的左3x右变化趋势若 在区 间 内有极值，那么 在 内一定不是 单调函数，即在区间fab， fxab，上单调的函数没
13、有极值如果函数 在 上有极值的话，它的极 值点的分布是有 规律的相 邻两个极fx，大值点之间必有一个极小值点，同 样，相 邻两个极小值点之 间必有一个极大值点一般地，当函数 在 上 连续且有有限个极值点时，函数 在 内的极fab， fxab，大值点、极小值点是交替出现 的2求函数 的极值的方法yfx确定函数定义域求导数 ；f求方程 的根；0x检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 在这个根处取得极大值；如果左f fx负右正，那么 在这个根处取得极小值f【教师备案】使 无意义的点也要讨论即可先求出 的根和使 无意义的点， 这些点x 0ffx都称为可疑点，再用定义去判断极大 值点可以看成
14、是函数单调递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值极小 值则是极小值 点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值3求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下：()yfxab， 求函数 在 内的极值；， 将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小f fafb的一个是最小值【教师备案】老师在讲最值时，也可以 继续以【铺垫】为例， 问 学生在一个区间上的最值，并提出需要注意的几点在理解函数最值时，需要注意以下几点：函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必是整个区 间上所有函数值中的最116 第 9 讲尖子-目标教师版大者，最小值必
15、是整个区间上的所有函数 值中的最小者函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的函数的极 值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点取得；有极 值未必有最值 ，有最 值也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点 处必定是极值；极值 不一定是最值，比如 说，某位同学在班里的成绩最好，可以 认为是班里的极大值，但在全校不一定是最好的，即使在全校最好，也不一定在全国最好，所以极大值不一定是最大值，老师也可以以此为例讲解极小值不一定是最小值经典精讲【铺垫】如图所示，函数 在 等点的函数值与这些点附近的函数值y
16、fxabcdefgh， ， ， ， ， ， ，有什么大小关系？ 在这些点的导数值是多少？在这些点附近， 的导数的符yfx号有什么规律？【 以 两点为例，我 们可以发现，函数 在点 的函数值 比它在点 附近ab， yfxafaxa其他点的函数值都小， ；而且在点 附0fa近的左侧 ，右 侧 类似地，函数0fxx在点 的函数值 比它在点 附yfbxb近其他点的函数值都大， ；而且在点附近的左侧 ，右 侧 xbfx 0f其它的点老师可以自由发挥，随便 问学生考点 4：与极值相关的图象问题【例 5】 与极值相关的图象问题函数 的导函数图象如图所示，则函数 在图示区间上 ()fx ()fx（ ）A无极大
17、值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点Oyx117第 9 讲尖子-目标教师版D有四个极大值点，无极小值点（2010 朝阳二模 6）函数 的图象大致是（ ） 321()fx D.OxyC.OxyB.OxyA.Oy x【 CA考点 5：求函数的极值与最值尖子班学案 3【铺 2】用导数法求函数 的极值2()fx【 在 时取得极大值 ，在 时，取得极小值 ()fx2x2【例 6】 求函数的极值与最值已知函数 321fxxR求 的极值；求函数 在闭区间 上的最值f，【 的极小值为 ；极大值为 x0f01f函数 在闭区间 上的最小值为 ，最大 值为 f12， 45
18、提高班学案 3【铺 1】 设函数 有极值，求 的取值范围3()fxaa【 的取值范围为 a0【例 7】 已知函数存在极值，求参数范围设函数 的导函数为 ，若 fxfx 321ffaxxaR，用 表示 ；a1若函数 在 上存在极值，求 的范围fR118 第 9 讲尖子-目标教师版【追问】若函数在 上不存在极值，则 的取值范围是多少？Ra【 12fa 03【追问】 0， ，目标班学案 3【拓 3】 （2010 北京卷 18）设函数 ，且方程 的两个根分320afxbxcda90fx别为 ， 14 当 且曲线 过原点时，求 的解析式；3ayf f 若 在 内无极值点，求 的取值范围fx【 21x 的
19、取值范围是 9右图是导函数 的图象，试找出函数 yfx的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是yfx极小值点【 根据导函数的正负，我 们可以判断原函数的单调 性，由此，我们可以得到，函数在 处取得极大值，即2x为极大值点；函数在 处取得极大值，即 为极小值 点2x44x【点评】一方面，学生在看到此 图时，第一反 应会默认为 和 分别为极值点，但是我们要审清题意，这13里给的是导函数的图象，不是原函数的 图象，我 们要根据导 函数的图象画出原函数的图象；另一方面，学生也会误认为 为 函数的一个极值点，我 们从 图象上就可以看出原函数在6x一直是单调递增的，所以 不是函数的极值点所以原函数的单调性只
20、与导函数的5x， 6正负有关，与导函数的单调性无关实战演练【演练 1】 已知函数 的导函数 的图象如右图所示，那么函数 的图象最有可能的fxfx fx是（ ） 119第 9 讲尖子-目标教师版【 A【演练 2】 向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如左图HVh所示，那么水瓶的形状是（ ） 【 B【演练 3】 设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，()fx()fx()yfx()yfx不可能正确的是（ ） yxOyxOyxODCBAO xy【 D【演练 4】 函数 的单调增区间为（ ）214yxA B C D(0)， ， (1)， 12，【 B
21、【演练 5】 已知 ，函数 设 在 上是单调函数，求0a 2()exfxa()f1，的取值范围a120 第 9 讲尖子-目标教师版【 的取值范围是 a34，大千世界函数 的最值为（ ）21yxA ， B无最小值，min54maxymax54yC ，无最大值 D既无最大值也无最小值iy【 B解法一：函数的定义域为 ，对 原函数求导得 ，令 得 ；于是 时12， 12yx0y38xx， 时 ；故原函数在 上单调递增，在 上单调递减；0y38x0y 38， 12，所以当 时，有 ；max54又由于 趋向于 时 同样趋向于 ，故原函数无最小值xy解法二：换元 ，则 ，原函数变成 ，其中 ；12t21t 21yt0t，而二次函数 ，其在 上显 然有最大值 而无最小值2254y0， 54
