1、第二章 轴向拉伸和压缩2-1 2-1 试求图示各杆 1-1和 2-2横截面上的轴力，并作轴力图。（a）解： ； ； （b）解： ； ；（c）解： ； 。 (d) 解： 。2-2 一打入地基内的木桩如图所示，沿杆轴单位长度的摩擦力为 f=kx（k 为常数），试作木桩的轴力图。解：由题意可得：Fdx=F,有 1/3kl=F,k=3F/l0lFN（x 1）= 3Fx/ldx=F(x1 /l) 02-3 石砌桥墩的墩身高 l=10m，其横截面面尺寸如图所示。荷载 F=1000KN，材料的密度=2.3510kg/m，试求墩身底部横截面上的压应力。解：墩身底面的轴力为： 2-3 图gAlFGN)( )(9
2、42.3108.5210)4.32102 kN墩身底面积： )(49( 2m因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPakamkNA3.071.314.92302-4 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个 75mm8mm的等边角钢。已知屋面承受集度为 的竖直均布荷载。试求拉杆 AE和 EG横截面上的应力。解： = 1） 求内力取 I-I分离体 得 （拉）取节点 E为分离体， 故 （拉）2） 求应力758等边角钢的面积 A=11.5 cm2(拉)（拉）2-5 图示拉杆承受轴向拉力 ，杆的横截面面积 。如以 表
3、示斜截面与横截面的夹角，试求当 ，30 ，45 ，60 ，90 时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。解：2-6 一木桩柱受力如图所示。柱的横截面为边长 200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量 E=10 GPa。如不计柱的自重，试求：（1）作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。解： （压）（压）2-7 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。解：取长度为 截离体（微元体） 。则微元体的伸长量为： dx，)()(EAFlll xAdEFx00)()(， ，lxr12 21212lrlr，2212)( udlA dxludxl
4、d2)( 11，dulx12 )()( 22121udlulxA因此， )()()()( 202100 EFlxFEl lll ll dxldludl 0121021 )()( 212)(11 dldEFl2-10 受轴向拉力 F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该杆材料的弹性常数为 E， ，试求 C与D两点间的距离改变量 。解： 横截面上的线应变相同因此 2-11 图示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，杆 1，2，3 材料相同，其弹性模量 ，已GPaE210知 ， ， ， 。试求 C 点的水平位移和铅垂位移。ml12210mA23150AkNF02-11 图解：（1）求各杆的轴力以 AB 杆为研
5、究对象，其受力图如图所示。因为 AB 平衡，所以受力图 变形协调图， ，0X045cos3N3由对称性可知， ，CH )(102521 kNFN（2）求 C 点的水平位移与铅垂位移。 A 点的铅垂位移： mmEAl 476./0221B 点的铅垂位移： Nll .01/20222 1、2、3 杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由 1、2、3 杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到 AB为刚性杆，可以得到C 点的水平位移： )(476.05tan1mloBHACHC 点的铅垂位移： )(476.01ml2-12 图示实心圆杆 AB 和 AC 在 A 点以铰相连接，在 A 点作用有铅垂向下的力 。已知
6、kNF35杆 AB 和 AC 的直径分别为 和 ，钢的弹性模量 。试求 A 点在铅d21d152 GPaE210垂方向的位移。解：（1）求 AB、AC 杆的轴力以节点 A 为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出：0X045sin30sinoABoCN(a)A2：Y3coscosABC(b)703AN(a) (b)联立解得：；kAB1.8 kNNAC621.52（2）由变形能原理求 A 点的铅垂方向的位移2121ElNlF)(212AllA式中， ；(45sin/01 mlo )(1603sin/802 mlo；213.3 22754.A故： )(36.1)7210563210487(3
7、5 mA 2-13 图示 A 和 B 两点之间原有水平方向的一根直径 的钢丝，在钢丝的中点 C 加一竖向d荷载 F。已知钢丝产生的线应变为 ，其材料的弹性模量 ，. GPaE210钢丝的自重不计。试求： （1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律） ；（2）钢丝在 C 点下降的距离 ；（3）荷载 F 的值。解：（1）求钢丝横截面上的应力)(7350.21MPaE（2）求钢丝在 C 点下降的距离。其中，AC 和 BC 各 。)(21mlANl m5.396507.103coso834).ar()(.7tnmo（3）求荷载 F 的值以 C 结点为研究对象，由其平稀衡条件
8、可得：0Y0si2PaNnAP )(239.678.4si1.35702 N习题 2-15水平刚性杆 AB 由三根 BC,BD 和 ED 支撑，如图，在杆的 A 端承受铅垂荷载 F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为 A1=12 平方毫米，A2=6 平方毫米，A,3=9 平方毫米，杆的弹性模量E=210Gpa，求：（1） 端点 A 的水平和铅垂位移。（2） 应用功能原理求端点 A 的铅垂位移。解：（1）303233110312311 171962,/()/(/)cos45in060,0.53.8724llNNNfdxFklkdxlFFKKNFlEAll 有由 胡 克 定 理 ，x2y21.47
9、30ll 从 而 得 ， ， （ ）（2） y12y+0.VFAlFl（ ）2-16 简易起重设备的计算简图如图所示。已知斜杆 AB 用两根 63mm40mm4mm 不等边角钢组成，钢的许用应力=170MPa 。试问在提起重量为 P=l5kN 的重物时，斜杆 AB 是否满足强度条件? 解:1.对滑轮 A 进行受力分析如图： FY=0 ； F NABsin300=2F，得，F NAB=4F=60kN 2查附录的 63mm40mm4mm 不等边角钢的面积 A=4.0582=8.116cm 由正应力公式： =F NAB /A=6010/(8.11610-4)=73.9106 Pa=73.9MPa所以
10、斜杆 AB 满足强度条件。2-17 简单桁架及其受力如图所示，水平杆 BC 的长度 保持不变，斜杆 AB 的长度可随夹角 的l 变化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：（1）两杆的夹角；（2）两杆横截面面积的比值。解：（1）求轴力取节点 B 为研究对象，由其平衡条件得：0YsinFNABi0X0cosBCABN2-17cotsinFC（2）求工作应力siABABBCBCFNcot（3）求杆系的总重量。 是重力密度（简称重度，单位： ） 。)(BABllVW 3/mkNcosCA)1(BBl（4）代入题
11、设条件求两杆的夹角条件： ，sinABABFNsinFAB， cotBCBC cotBC条件： 的总重量为最小。W)cos1(BABl )cos1(BCABl)tinFl )sincoi(lcosi12Fl2sinco1l从 的表达式可知， 是 角的一元函数。当 的一阶导数等于零时， 取得最小值。WWW 0si 2cs)(i222 ld0cos3sin2 2，1cos3.s，o4709).ar(2 45.o（5）求两杆横截面面积的比值，sinFABcotABCcos1tsicotiFBCA因为： ， ，12332312，coscos所以： 3BCA2-18 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢
12、组成。已知材料的许用应力 ，试MPa170选择 AC 和 CD 的角钢型号。解：（1）求支座反力由对称性可知，)(20kNRBA（2）求 AC 杆和 CD 杆的轴力以 A 节点为研究对象，由其平衡条件得：0YcosACNR)(67.35/2inkN以 C 节点为研究对象，由其平衡条件得：0XcosACDN)(3.295/430kN（3）由强度条件确定 AC、CD 杆的角钢型号AC 杆：222569.18.156/1706 cmmNAC 选用 2 （面积 ） 。827cCD 杆：222 5.1748.175/17093 cmmNACD选用 2 （面积 ） 。6529c2-19 一结构受力如图所示
13、，杆件 AB、CD、EF、 GH 都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力 ，材料的弹性模量 ，杆 AC 及 EG 可视为刚性的。试选择各杆的角MPa170GPaE210钢型号，并分别求点 D、C、A 处的铅垂位移 、 、 。DCA解：（1）求各杆的轴力)(2403.kNNAB680CDFM02.15.30GHN)(74)4(1kNY03617EFN)(8kN（2）由强度条件确定 AC、CD 杆的角钢型号AB 杆：2221.4765.14/1704 cmmAB 选用 2 （面积 ） 。5692CD 杆：22259.3941.3/170 cmmNACD选用 2 （面积 ） 。54278EF 杆
14、：22241.01.094/17086 cmmNAEF 选用 2 （面积 ） 。5428GH 杆：22235.1059.103/1704 cmmNAGH选用 2 （面积 ） 。528.6.（3）求点 D、C、A 处的铅垂位移 、 、DCA)(7.2694.12034mElNlAB )(0.786llCD )(5.1210mEAlNlF)(47.874llGHEG 杆的变形协调图如图所示。 38.1GHEFDl.47.1580.)(mD)(45.2907.5.mlCDC)(72AB2-10 已知混凝土的密度 =2.25103kg/m3，许用压应力 =2MPa。试按强度条件确定图示混凝土柱所需的横
15、截面面积 A1 和 A2。若混凝土的弹性模量 E=20GPa，试求柱顶 A 的位移。解：混凝土柱各段轴力分别为：)(121211 lxgAlFxgAFNN 混凝土柱各段危险截面分别为柱中截面和柱底截面，其轴力分别为：由强度条件： 取 A1 =0.576m 取 A2 =0.664m 柱底固定，则柱顶位移值等于柱的伸缩量，可用叠加原理计算2-21 （1）刚性梁 AB 用两根钢杆 AC、BD 悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆 AC 和 BD 的直径分别为 和 ，钢的许用应力 ，弹性模量 。试校核md25d182MPa170GPaE210钢杆的强度，并计算钢杆的变形 、 及 A、 B 两点的竖向位移
16、、 。AClBDl AB解：（1）校核钢杆的强度 求轴力)(67.105.43kNNAC3B 计算工作应力2514.2067mACMPa8.1352-2128.3NNBD07. 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力 170MPa，即 ； ，所以 AC 及ACBDBD 杆的强度足够，不会发生破坏。（2）计算 、AClBD)(21max21max1 lAgFlgAFNN maxN 22361 576.0)(18.9025. mgl 2236321 4.)(.0lF EglAlFEglAxliliNi 2)(2d211939308.5.276.021 m4.28.95.4.1)( 393)(618
17、.25.4902167mEAlNlC)(.3.llBD（3）计算 A、B 两点的竖向位移 、AB第三章 扭转3-1 一传动轴作匀速转动，转速 ，轴上装有五个轮子，主动轮输入的功率为60kW，从动轮，依次输出 18kW，12kW,22kW 和 8kW。试作轴的扭矩图。解： kN kN kN kN 3-2 实心圆轴的直径 mm，长 m，其两端所受外力偶矩 ，材料的切变模量 。试求：（1）最大切应力及两端截面间的相对扭转角；（2）图示截面上 A， B， C三点处切应力的数值及方向；（3） C点处的切应变。peWMTmax式中， 。 3-2)(196340145.361 33 md故： MPamNpe
18、 2.7903max，式中， 。故：pGIlT )(9817460145.21 444dI op radmmNIl 02.)(25.9876/0841229 （2）求图示截面上 A、B、C 三点处切应力的数值及方向， 由横截面上切应力分布规律可知：MPaA3.71ax， A、B、C 三点的切应力方向如图所示。BC6.5025（3）计算 C 点处的切应变343 106.107.1086. PaG3-3 空心钢轴的外径 ，内径 。已知间距为 的两横截面的相对扭转角mDmd5ml7.2，材料的切变模量 。试求：o8.1G（1）轴内的最大切应力；（2）当轴以 的速度旋转时，轴所传递的功率。in/80r
19、解；（1）计算轴内的最大切应力。)(920387)5.1(01459.32)1(3 4444 mDIp 66 33W式中， 。d/，pGIlTmmNl 270920387/81/459.3814 mN45.86301)(56.mkNMPaWTp 518.46184075.33max （2）当轴以 的速度旋转时，轴所传递的功率in/r)(56.80599mkNNMTkke )(74.1./80563. Wk 3-4 某小型水电站的水轮机容量为 50kW，转速为 300r/min，钢轴直径为 75mm，如果在正常运转下且只考虑扭矩作用，其许用剪应力=20MPa。试校核轴的强度。解： 3-5 图示绞
20、车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力 F 均为 0.2kN，已知轴材料的许用切应力 ，试求：MPa40（1）AB 轴的直径；（2）绞车所能吊起的最大重量。解：（1）计算 AB 轴的直径AB 轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶矩相等：)(08.42.mkNMee 右左16右主 动 轮扭矩图如图所示。 3-5由 AB 轴的强度条件得：3maxdWepe右右mNMde 7.21/40159.386163 右（2）计算绞车所能吊起的最大重量主动轮与从动轮之间的啮合力相等：，35.0.从 动 轮主 动 轮 ee )(28.016.2035kNe 从 动 轮由卷扬机转筒的平衡条件得：
21、，从 动 轮eMP2. 8P)(1.5./3-6 已知钻探机钻杆（参看题 3-2 图）的外径 ，内径 ，功率 ，转mD60md0kWP35.7速 ，钻杆入土深度 ，钻杆材料的 ，许用切应力 。假min/180rl40GMPa8Ma40设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度 ；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）两端截面的相对扭转角。解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度 m)(390.185.749.5.9kNnNMke 设钻杆轴为 轴，则： ， ， xxMel)/(0975.43. mklme（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核作钻杆
22、扭矩图。xxxT0975.43.)(40,； 0)()(mkNMe扭矩图如图所示。强度校核， peWmax式中， )(21958)60(11459.36)1(6 34343 mDp MPaNMpe 7.295803max因为 ， ，即 ，所以轴的强度足够，不会发生破坏。Pa761.ax40max（3）计算两端截面的相对扭转角 40)(pGIdT式中， )(65872)0(161459.32)1(32 4444 mDIp 3-7 图示一等直圆杆，已知 ， ， ， 。试求：（1）最大切应力；（2）截面 A相对于截面 C的扭转角。解：（1）由已知得扭矩图（a）（2） 3-8 直径 的等直圆杆，在自由
23、端截面上承受外力偶 ，而在圆杆表面上的 Amd50 mkNMe6点将移动到 A1点，如图所示。已知 ，圆杆材料的弹性模量 ，试求泊mAs31 GPaE210松比 （提示：各向同性材料的三个弹性常数 E、G、 间存在如下关系： 。 )(解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩： 。设 两截面之间的相对对转角为 ，mkNMTe61,O则 ， .2dssGIlTP式中， )(61359201459.3231 444 mdp GPaMamNsIlTp 487.17.86024 由 得：)1(EG29.0187.21G3-9 直径 的钢圆杆，受轴向拉 60kN 作用时，在标距为 200mm 的长度内伸长了d50.
24、113mm。当其承受一对扭转外力偶矩 时，在标距为 200mm 的长度内相对扭转了mkNMe.0.732 的角度。试求钢材的弹性常数 E、G 和 。o 解：（1）求弹性模量 EANlGPaMamNl 48.2168.216473.02514.306 （2）求剪切弹性模量 G)(8499.314dIp由 得PIlTGPaMmNIlGp 7.8136.814349)180/.732.0(26 （3）泊松比 由 得：)1(E25.068.12G3-10 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为 d；空心轴外径为 D，内径为 ，且 。试求当空心轴与
25、实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力 ），扭矩 T相等时的重量比和刚度比。第一种：解：重量比= 因为 即 故 故 刚度比= 第二种：解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求 D。pWTmax式中， ，故： )1(643D.27)8.0(343max, T空3-101.273T（1）求实心圆轴的最大切应力，式中， ，故：pWTmax316dp163max, dT实， ，163d975.27)(3TdD92.D（3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比512.09.360)(.)8.01()25.0)( 222220 ddlW实空（4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比，4445.)8.1(3DDIp 空 4
26、41.32dIp实 9190.)(90.025. 444 ddGIp实空= 3-11 全长为 ，两端面直径分别为 的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩l 21,d eM，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。解：如图所示，取微元体 ，则其两端面之间的扭转角为：xPeGIdxM式中， 4321plxr122121dxlrl12ldd4124)(uxl，dlu12dl12故： lelelelpelpe udGMduluGMxIxGMI 041212040400 )(332lelele dxldGlMudGlMudG 03121203120412 )()(3)(3 = 3213212131212 )(
27、)(3 ddldl eee3-12 已知实心圆轴的转速 ，传递的功率 ，轴材料的许用切应力min/0rkWp0，切变模量 。若要求在 2m 长度的相对扭转角不超过 ，试求该轴的直径。MPa60GPa8 o解： 10pePIlGlT式中， ； 。故：)(504.135499mkNnNke 4321dIp，GlMIep180GlMde8324 mmNlde 29.1/801.3205442642 取 。m3.13-13 习题 3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力 ，切变模量 ，许可单位长度扭转角 。试按强度及刚度条件选择圆轴的直径。解：由 3-1题得： 故选用 。3-14 阶梯形圆杆， AE段
28、为空心，外径 D=140mm，内径 d=100mm； BC段为实心，直径 d=100mm。外力偶矩 ， ， 。已知： ， ， 。试校核该轴的强度和刚度。解：扭矩图如图（a）（1）强度= ， BC段强度基本满足= 故强度满足。（2）刚度BC段： BC段刚度基本满足。AE段： AE段刚度满足，显然 EB段刚度也满足。3-15有一壁厚为 25mm、内径为 250mm的空心薄壁圆管，其长度为 1m，作用在轴两端面内的外力偶矩为 180 。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。已知材料的切变模量 。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。解： 3-16 一端固定的圆截面杆 AB，承受集度为 的均布
29、外力偶作用，如图所示。试求杆内积蓄的应m变能。已矩材料的切变模量为 G。解： dxxmIdxTVp 42422 163)( pl GIlmdlGdlxd621616 3243242024 3-163-17 簧杆直径 mm的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力 作用，弹簧的平均直径为 mm，材料的切变模量 。试求：（1）簧杆内的最大切应力；（2）为使其伸长量等于 6mm所需的弹簧有效圈数。解： ， 故 因为 故 圈3-18 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力 F如图，簧丝直径 ，材料的许用切应力md10，切变模量为 G，弹簧的有效圈数为 。试求：MPa50 n（1）弹簧的许可切应力；（2）证明弹簧的伸长 。
30、)(1621214Rdn解：（1）求弹簧的许可应力用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离 体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上：剪力 扭矩FQRT最大扭矩： 2max，)41(614232322ax“ax RdFdFWAp NmRdF .957)104(106/5.3)41(6223 因为 ，所以上式中小括号里的第二项，即由 Q所产生的剪应力/0/D可以忽略不计。此时 NmRdF 25.981106/5.3)41(6 23223 （2）证明弹簧的伸长 )(1621214RGdn外力功： ， FW2pIdTU dnRGIFRIGIdRUnpnpnp 32012120320 )() 1244
31、RGInFp，UW124Ip)(62 21214124 RdGnFRInFp 3-19 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶矩 。已知材料的切变模量 ，试求：（1）杆内最大切应力的大小、位置和方向；（2）横截面矩边中点处的切应力；（3）杆的单位长度扭转角。解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向， ， ， 由表得 ， ， 长边中点处的切应力，在上面，由外指向里（2）计算横截面短边中点处的切应力MPa短边中点处的切应力，在前面由上往上（3）求单位长度的转角3-21 图示 T形薄壁截面杆的长度 ，在两端受扭转力矩作用，材料的切变模量 ，ml2 GPa80杆的横截面上和扭矩为 。试求杆在纯扭转时的最大
32、切应力及单位长度扭转角。kN.0解：（1）求最大切应力 MPahTii 25102.33621maxax （2）求单位长度转角)(9201235.3 4313 mhIiit mNGITi /56.1.38/08. 00412290 3-22 示为一闭口薄壁截面杆的横截面，杆在两端承受一外力偶 。材料的许用切应力eM。试求：MPa6（1）按强度条件确定其许可扭转力偶矩 e（2）若在杆上沿母线切开一条纤缝，则其许可扭转力偶矩 将减至多少？e解：（1）确定许可扭转力偶矩 eM2min0in0max ATeiMemin0)(2809)5.10()25.130( 2mA )(371.374689kNNM
33、e mkN7.（2）求开口薄壁时的 emaxaxteIax/teM)(70923)927(314mIt )(1.148/06kNNe kM2.3-23 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求：（1） 最大切应力之比；（2） 相对扭转角之比。解：（1）求最大切应力之比开口： teIM开 口max,303021rrIt 依题意：，故：r420330304aIt 23max,MIMeete开 口闭口： ，20ax, aAee闭 口 23432max, ae闭 口开 口（3） 求相对扭转角之比开口： ， 3303021rrIt 3 4GaMITetet开 口闭口： 342020 4GaMGAsTseee闭 口23 44aMGaee闭 口开 口第四章 弯曲应力 4-1 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。a（5）=h（4） 0010 02220 02341214, 3RABSSqFaMqaqaFqab（5）=f（4）4-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：（a）
