1、试卷第 1 页，总 15 页2015 年高考理科数学试卷全国 1 卷1设复数 z 满足 = ，则|z|=（ ）1i（A）1 （B） （C） （D）2232 =（ ）oosin0cs160in（A） （B） （C） （D）33212123设命题 ： ，则 为（ ）p,nNp（A） （B）2,n2,nN（C） （D）=4投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.3125已知 M（ ）是双曲线 C： 上的一点， 是 C 上的两
2、个焦点，0,xy21xy12,F若 ，则 的取值范围是（ ）12F0（A） （- ， ） （B） （- ， ）336（C） （ ， ） （D） （ ， ）2236 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（ ）（A）14 斛 （B）22 斛 （C）36 斛 （D）6
3、6 斛7设 为 所在平面内一点 ，则（ ）DC3B（A） （B）143A14AC（C） （D）B3试卷第 2 页，总 15 页8函数 = 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为（ ）()fxcos)()fx（A） （B）13,4kkZ13(2,4kkZ（C） （D）() )9执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（ ）（A）5 （B）6 （C）7 （D）810 的展开式中， 的系数为（ ）25()xy52xy（A）10 （B）20 （C）30 （D）6011圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体
4、的表面积为 16 + 20 ，则 r=（ ）（A）1 （B）2 （C）4 （D）812设函数 = ,其中 a 1，若存在唯一的整数 ，使得()fx1)ex0x0()fx0，则 的取值范围是（ ）a（A）- ，1） （B）- ， ） （C） ， ） （D） ，1）32e32e432e432e13若函数 f（x）= 为偶函数，则 a= ln()ax14一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标2164y准方程为.试卷第 3 页，总 15 页15若 满足约束条件 ，则 的最大值为.,xy104xyyx16在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，则 AB 的取值
5、范围是.17 （本小题满分 12 分） 为数列 的前 项和.已知 0， = .nSnana2n43nS（）求 的通项公式；na（）设 ,求数列 的前 项和.1nbnb18如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC.（）证明：平面 AEC平面 AFC；（）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.19某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费和年销售量 （ =1,2，8）数据
6、作了初步处理，得到下面的散点图及一些ixi统计量的值. xyw821()iix821()iiw81()iiixy81()iiiwy46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8试卷第 4 页，总 15 页表中 ， =iiwx18iw（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传x费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题：（）年宣传费 x=49 时，年销售量及
7、年利润的预报值是多少？（）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据 , ， ,其回归线 的斜率和截1()uv2()nuvvu距的最小二乘估计分别为：20 （本小题满分 12 分）在直角坐标系 中，曲线 C：y= 与直线xoy24x（ 0）交与 M,N 两点，ykxa（）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？说明理由.21 （本小题满分 12 分）已知函数 f（x）= .31,()ln4axgx（）当 a 为何值时，x 轴为曲线 的切线；()y（）用 表示 m,n 中的最小值，设函数mi
8、n,，讨论 h（x）零点的个数.()()(0)hxfxg22 （本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，AB 是 的直径，AC 是 的切线，BC 交 于 E. （）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是 的切线；试卷第 5 页，总 15 页（）若 ，求ACB 的大小. 3OACE23 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 : = 2，圆 ： ,以坐标原点xy1xC2211xy为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求 ， 的极坐标方程；1C2（）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 , ,求34R23MN的面积. 2MN24 （本
9、小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 =|x+1|-2|x-a|，a0.（）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（）若 f（x）的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.【答案解析】1.【答案】A【解析】由 得， = = ，故|z|=1，故选 A.1zi1i()1ii考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等.2.【答案】D【解析】原式= = = ，故选 D.oosin20c1s20in1osi3012考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.3.【答案】C【解析】 : ，故选 C.p2,nN考点：本题主要考查特称命题的否定4.【答案】A【解
10、析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选 A.2330.64.C考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式5.【答案】A【解析】由题知 ， ，所以 = 12(3,0)(,)F201xy12MF= ，解得 ，00(3,)(,)xyxy2200303y试卷第 6 页，总 15 页故选 A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为 r，则 = ，所以米堆的体积为12384r16= ，故堆放的米约为 1.6222，故选 B.2163()5430909考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7.【答案】A
11、【解析】由题知 =11()33ADCABCAB，故选 A.143B考点：平面向量的线性运算8.【答案】D【解析】由五点作图知， ，解得 ， ，所以1+4253=4，令 ，解得 ()cos)4fx,4kxkZ12kx， ，故单调减区间为（ ， ） ， ，故选 D.32kZ1234考点：三角函数图像与性质9.【答案】C【解析】执行第 1 次，t=0.01,S=1,n=0,m= =0.5,S=S-2m=0.5, =0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，2m执行第 2 次，S=S-m=0.25, =0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，执行第 3 次，S=S-m=0.1
12、25, =0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，2m执行第 4 次，S=S-m=0.0625, =0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，执行第 5 次，S=S-m=0.03125, =0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，执行第 6 次，S=S-m=0.015625, =0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循2m环，执行第 7 次，S=S-m=0.0078125, =0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出 n=7，故选 C.考点：本题注意考查程序框图1
13、0.【 答案】C【解析】在 的 5 个因式中，2 个取因式中 剩余的 3 个因式中 1 个取 ，2()xy2xx试卷第 7 页，总 15 页其余因式取 y,故 的系数为 =30，故选 C.52xy2153C考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.11.【 答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为 =2
14、214rr=16 + 20 ，解得 r=2，故选 B.254r考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式12.【答案】D【解析】设 = ， ，由题知存在唯一的整数 ，使得 在()gx21)eyax0x0()g直线 的下方.ya因为 ，所以当 时， 0，当 时， 0，()x2()g12()所以当 时， = ，12max(g1-e当 时， =-1， ，直线 恒过（1,0）斜率且 ，故0x)30yaxa，且 ，解得 1，故选 D.(1ag1(ge32e考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题13.【 答案】1【解析】由题知 是奇函数，所以2ln()yxa= ，
15、解得 =1.2ln()xa2ln()ln0xa考点：函数的奇偶性14.【 答案】 235()4y【解析】设圆心为（ ，0） ，则半径为 ，则 ，解得 ，故aa22(4)a3a试卷第 8 页，总 15 页圆的方程为 .235()4xy考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程15.【 答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， 是可行域内一点与原yx点连线的斜率，由图可知，点 A（1,3）与原点连线的斜率最大，故 的最大值为 3.考点：线性规划解法16.【 答案】 （ ， ）62+【解析】如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，
16、在BCE 中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得 ，siniBC即 ，解得 = ，平移 AD ，当 D 与 C 重合时，AB 最短，此oo2sin30i75BE6+2时与 AB 交于 F，在BCF 中，B=BFC=75，FCB=30，由正弦定理知，即 ，解得 BF= ，所以 AB 的取值isiCoosin30i75BF62范围为（ ， ）.62+考点：正余弦定理；数形结合思想17.【 答案】 （） （）21n164n【解析】试题分析：（）先用数列第 项与前 项和的关系求出数列 的递推公式，可以na判断数列 是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列 的通项公式；na（）根据（
17、）数列 的通项公式，再用拆项消去法求其前 项和.nb试卷第 9 页，总 15 页试题解析：（）当 时， ，因为 ，所以1n21143+aSa0n=3，1a当 时， = = ，即2n221nn1nnn，因为 ，所以 =2，1()()()aa01a所以数列 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，n所以 = ；2（）由（）知， = ，nb11()(2)323n所以数列 前 n 项和为 =1b= .1()()()235723n 164n考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法18.【 答案】 （）见解析（）【解析】试题分析：（）连接 BD，设 BDAC=G，连接 E
18、G，FG，EF，在菱形 ABCD 中，不妨设GB=1 易证 EGAC，通过计算可证 EGFG，根据线面垂直判定定理可知 EG平面AFC，由面面垂直判定定理知平面 AFC平面 AEC；（）以 G 为坐标原点，分别以的方向为 轴，y 轴正方向， 为单位长度，建立空间直角坐标系 G-,GBCx|GBxyz，利用向量法可求出异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值.试题解析：（）连接 BD，设 BDAC=G，连接 EG，FG，EF，在菱形 ABCD 中，不妨设GB=1，由ABC=120，可得 AG=GC= .3由 BE平面 ABCD，AB=BC 可知，AE=EC，又AEEC，EG= ，EGAC，3在
19、RtEBG 中，可得 BE= ，故 DF= .2在 RtFDG 中，可得 FG= .6在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE= ，DF= 可得 EF= ，232 ，EGFG，22EGFACFG=G，EG平面 AFC，试卷第 10 页，总 15 页EG 面 AEC，平面 AFC平面 AEC. （）如图，以 G 为坐标原点，分别以 的方向为 轴，y 轴正方向， 为,GBCx|GB单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz，由（）可得 A（0， ，0） ，E（1,0, 3） ，F（1,0， ） ，C（0， ，0） ， =（1， ， ） ， =（-1，-223E2CF， ）.10 分3故 .3co
20、s,|AEFC所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为 . 3考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力19.【 答案】 （） 适合作为年销售 关于年宣传费用 的回归方程类型；ycdxyx（） （）46.2410.68【解析】试题分析：（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令，先求出建立 关于 的线性回归方程，即可 关于 的回归方程；（）wxywyx（）利用 关于 的回归方程先求出年销售量 的预报值，再根据年利率 z 与 x、y的关系为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值；（）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值，列出关于 的方
21、程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析：（）由散点图可以判断， 适合作为年销售 关于年宣传费用 的回归ycdxyx方程类型.试卷第 11 页，总 15 页（）令 ，先建立 关于 的线性回归方程，由于 =wxyw812()iiiiiwyd，108.=6 =563-686.8=100.6.cydw 关于 的线性回归方程为 ，10.68yw 关于 的回归方程为 .yxx（） （）由（）知，当 =49 时，年销售量 的预报值xy=576.6，10.6849. 57.263z（）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值，0.(18)1.620.xx当 = ，即 时， 取
22、得最大值.x3.624故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.12 分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20.【 答案】 （） 或 （）存在0axy0axy【解析】试题分析：（）先求出 M,N 的坐标，再利用导数求出 M,N.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将 代入曲线 C 的方程整理成关于 的一元二次方程，设ykxx出 M,N 的坐标和 P 点坐标，利用设而不求思想，将直线 PM，PN 的斜率之和用 表示出a来，利用直线 PM，PN 的斜率为 0,即可求出 关系，从而找出适合条件的 P 点坐标.,ab试题解析：（）由题设可得 ， ，或 ，
23、(2)M(2,)N(2,)M.(2,)Na ，故 在 = 处的到数值为 ，C 在 处的切线方程1yx24yxaa(2,)a为，即 .(2)aa0y故 在 =- 处的到数值为- ，C 在 处的切线方程为4xya(2,)a试卷第 12 页，总 15 页，即 .(2)yaxa0xya故所求切线方程为 或 .（）存在符合题意的点，证明如下：设 P（0，b）为复合题意得点， ， ，直线 PM，PN 的斜率分别为1(,)Mxy2(,)Ny.12,k将 代入 C 得方程整理得 .yxa240xka .12124,k = = .1212ybx1212()kxbx()kba当 时，有 =0，则直线 PM 的倾斜
24、角与直线 PN 的倾斜角互补，ak故OPM=OPN，所以 符合题意. (0,)Pa考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力21【答案】 （） ；（）当 或 时， 由一个零点；当34345a()hx或 时， 有两个零点；当 时， 有三个零点.34a5()hx34【解析】试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的 值；（）根据对数函数的图像与性质将 分为 研究x1,01x的零点个数，若零点不容易求解，则对 再分类讨论.()hx a试题解析：（）设曲线 与 轴相切于点 ，则 ，()yfx0(,)x0()fx，即 ，解得 .0()fx3021
25、4xa013,24a因此，当 时， 轴是曲线 的切线. 4()yfx（）当 时， ，从而 ，(1,)x()ln0g()min(),()0hxfxgx 在（1，+）无零点.()h当 =1 时，若 ，则 ， ,故x54a5(1)04fa(1)in(),1()0hfg试卷第 13 页，总 15 页=1 是 的零点；若 ，则 ，x()h54a5(1)04fa,故 =1 不是 的零点.1min,(1)0fgfx()h当 时， ，所以只需考虑 在（0,1）的零点个数.(0,)xlnxfx（）若 或 ，则 在（0,1）无零点，故 在（0,1）单3a2()3fxa()fx调，而 ， ，所以当 时， 在（0，1
26、）有一个零点；1()4f5()4fa()fx当 0 时， 在（0，1）无零点.x（）若 ，则 在（0， ）单调递减，在（ ，1）单调递增，3a()f3a3a故当 = 时， 取的最小值，最小值为 = .x()fx()f24若 0，即 0， 在（0,1）无零点.()3af4a()fx若 =0，即 ，则 在（0,1）有唯一零点；()f3()f若 0，即 ，由于 ， ，所以当()3af4a1(0)4f5()4fa时， 在（0,1）有两个零点；当 时， 在（0,1）54()fx3()fx有一个零点.10 分综上，当 或 时， 由一个零点；当 或 时， 有3a54()hx4a5()h两个零点；当 时， 有
27、三个零点. 考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想22.【 答案】 （）见解析（）60【解析】试题分析：（）由圆的切线性质及圆周角定理知，AEBC，ACAB，由直角三角形中线性质知 DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证DEC+OEB=90，即OED=90，所以 DE 是圆 O 的切线；（）设 CE=1,由 得，AB= ，设 AE= ，由勾股3OACE23x定理得 ，由直角三角形射影定理可得 ，列出关于 的21BEx B方程，解出 ，即可求出ACB 的大小.试题解析：（）连结 AE，由已知得，AEBC，ACAB，在 RtAEC 中，由已知得 DE=DC，D
28、EC=DCE，连结 OE，OBE=OEB，试卷第 14 页，总 15 页ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE 是圆 O 的切线.（）设 CE=1，AE= ,由已知得 AB= ， ，x2321BEx由射影定理可得， ，2AEC ，解得 = ，ACB=60. 21xx考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理23.【 答案】 （） , （）cos2cos4in012【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 ， 的极坐标方程；1C2（）将将 代入 即可求出|MN|，利用三角形面=42cos4in0积公式即可求出 的面积.2CMNA试题解析：
29、（）因为 ，cs,ixy 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为1o2C.5 分2cos4in0（）将 代入 ，得 ，解得=2cs4in02340= ， = ，|MN|= = ，12212因为 的半径为 1，则 的面积 = .C2CMNAo1si452考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系24.【 答案】 （） （） （2，+）|3x【解析】试题分析：（）利用零点分析法将不等式 f（x）1 化为一元一次不等式组来解；（）将 化为分段函数，求出 与 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三()fx()f角形的面积，根据题意列出关于 的不等式，即可解出 的取值范围.aa试题解析：（）当 a=1 时，不等式 f（x）1 化为|x+1|-2|x-1|1，试卷第 15 页，总 15 页等价于 或 或 ，解得12x121x21x，23所以不等式 f（x）1 的解集为 . |3x（）由题设可得， ，12,(),af xx所以函数 的图像与 轴围成的三角形的三个顶点分别为 ，()fx 21(,0)3aA， ，所以ABC 的面积为 .(21,0Ba,+1Ca2(1)3a由题设得 6，解得 .2()32所以 的取值范围为（2，+）. 考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法
