1、12016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 参考答案一、选择题：112：DBCBA ADCCB AB二、填空题：（13） （14）10 （15）64 （16）2160002三、解答题：（17）解：（I）由 得 ，cos(cos)CaB+bA2cos(scos)inCinAB+iAC即 ，又 ， ；1cs0,)3（II） ， ， ，271ab13si22ABCSa6ab213，所以 的周长为 5ab57（18）解：（I） ， ， 平面 ，,AFEDFEAEFDC又 平面 ABEF，所以平面 平面 ；（II）以 E 为坐标原点，EF ，EB 分别为 x 轴和 y 轴建立空间直角坐标系（如图
2、），设 ，则 ，21因为二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 ，60即 ，60o易得 ， ， ，(0,)B(,)A3(,)2，1,2,B设平面 与平面 的法向量分别ECD为 和 ，则11(,)nxyz22(,)nxyz111 110033(,)(,)02Bxyz令 ，则 ，x1,yz1(,)n由 ，22222()(,033,)0nBAxCzyz令 ，则 ，2z2,xy1(,)n，1233(,0)(,2)219cos, 4n所以二面角 E-BC-A 的余弦值为 9ABCDEFx yz2（19）解：（I）这 100 台机器更换的易损零件数为 8，9，10，11 时的频率为分别为 ，
3、， ， ，15215故 1 台机器更换的易损零件数为 8，9，10，11 时发生的概率分别为 ， ， ， ，每台机器更换与否相互独立， ，16,7,201,X故两台机器更换易损零件个数及对应概率如下表：8（ ）59（ ）510（ ）511（ ）158（ ）116（ 2）17（ ）218（ ）1219（ ）29（ ）2517（ 5）18（ ）419（ ）520（ ）510（ ）118（12）19（ ）220（ ）1221（ ）1211（ ）519（ 5）20（ ） 21（ ）522（ ）5所以求 的分布列为：X16 17 18 19 20 21 22p125462525125（II） ，所以 的
4、最小值为 19；17(),()P8PX9n（III）若买 19 件时费用期望为：，40251)1920(5)02(5)012(571920 若买 20 件时费用期望为：，48)1()( 所以应选用 19n（20）解：（I）圆心为 ，圆的半径为 ， ，,0A4ADAC，又 ， ，DC/BECEBD， BE所以点 E 的轨迹是以点 和点 为焦点，以 4 为长轴长的椭圆，即 ，(1,)(,0) 2,1ac3b所以点 E 的轨迹方程为： 243xy（II）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 ， ， ，1x3MN8PQ此时四边形 MPNQ 面积为 ；1当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的
5、方程为 ，()yk与椭圆 联立得： ，243xy22(34)840kx3设 ，则 ， ，12(,)(,)MxyN212834kx2143kx|MN| ，2834k2()直线 方程为 ，即 ，PQ(1)yx10ky所以圆心 到直线 的距离为 ， ，(1,0)APQ2d2234161kPQd2 2221()342 341MPNQkkkS k四 边 形，1(,83)34k综上可知四边形 MPNQ 面积的取值范围为 ,83)（21）解：（I） ()(2)(1(2)xx xfeaea当 时， ，此时函数 只有一个零点，不符合题意舍去；0af当 时，由 ，由 ，0f)01所以 在 上递减，在 上递增，()
6、fx,1)(,，又 ，所以函数 在 上只有一个零点，mine2)fa()fx,)当 时， ，此时， ，所以函数 在 上只有一个零点xx此时函数 有两个零点()f当 时， ，02ealn()1由 ，由()12fxxa或 ()0ln(2)1fxax所以 在 和 上递增，在 上递减，,l,，()fe极 小 值 2)(2(ln)10f a极 大 值此时函数 至多一个零点，不符合题意，舍去；当 时， 恒成立，2a()(2)(1)()0xx xfeae此时函数 至多一个零点，不符合题意，舍去；fx当 时， ，由 ，由eln()1a()0ln(2)f a或()012fx所以 在 和 上递增， 在 上递减，f
7、,l,()fx1,l，因为 在 上递减，所以 ，()0fe极 大 值 ()f,l ()=(ln2)0fxfa极 小 值此时函数 至多一个零点，不符合题意，舍去x综上可知 ,a（II）由（I）若 x1，x 2 是 的两个零点，则 ，不妨令 ，则()f 0a1212要证 ，只要证 ， ， ，当 时， 在 上递减，1212x12x0a()fx,1)4且 ， 所以，只要证 ，1()0fx()f2()0fx，又2221)xea22(1)0xeaxf e令 (,(xxy，222)(1)xxeee ，1,0,x0y在 上递减，当 时，2()xy()x0y，即 成立，,2f成立1222（本小题满分 10 分）
8、选修 41：几何证明选讲解：（）设 是 的中点，连结 EABOE因为 ,0,O所以 6在 中， ，Rt12即 到直线 的距离等于 的半径，ABA所以直线 与 相切（）因为 ，所以 不是 四点所在圆的圆心，OD,BCD设 是 四点所在圆的圆心，作直线 ,CO由已知的 在线段 的垂直平分线上，又 在线段 的垂直平分线上，所以 AOAB同理可证， ，所以 /A23（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程解：（）消去参数 得到 的普通方程 故 是以 为圆心， 为半径的t1221xya1C0,a圆将 代入 的普通方程中，得到 的极坐标方程cos,inxyC为 22in10a（）曲线 的公共点的极坐标满足方程组: .,C22sin104coa若 ，由方程组得 ，由已知 ，可得 026cos8incos10at，从而 ，解得 （舍去）， 216cos8in02时，极点也为 的公共点，在 上a12,3C所以 24（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲解：（） ,33214,xf的图像如图所示yfx（）由函数 的表达式及图像，f5当 时，可得 ，或 ；1fx1x3当 时，可得 ，或 5x故 的解集为 ； 的解集为 fx1f1,53x或所以 的解集为 113xx或 或
