2013年河南省中考数学试卷.doc

1、第 1 页（共 32 页）2013 年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的1 （3 分）2 的相反数是（ ）A B2 C D22 （3 分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B C D3 （3 分）方程（x2） （x+3 ）=0 的解是（ ）Ax=2 Bx= 3 Cx 1=2，x 2=3 Dx 1=2，x 2=34 （3 分）在一次体育测试中，小芳所在小组 8 人的成绩分别是：46，47，48 ， 48，49，49，49，50，则 8 人体育成绩的中位数是（ ）A47 B48 C48.5 D495 （3

2、分）如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“2”相对的面上的数字是（ ）A1 B4 C5 D66 （3 分）不等式组 的最小整数解为（ ）第 2 页（共 32 页）A 1 B0 C1 D27 （3 分）如图，CD 是O 的直径，弦 ABCD 于点 G，直线 EF 与O 相切于点 D，则下列结论中不一定正确的是（ ）AAG=BG BABEF CADBC DABC=ADC8 （3 分）在二次函数 y=x2+2x+1 的图象中，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是（ ）Ax 1 Bx1 Cx1 Dx1二、填空题（每小题 3 分，满分 21 分）9

3、（3 分）计算：|3| = 10 （3 分）将一副直角三角板 ABC 和 EDF 如图放置（其中A=60，F=45）使点 E 落在 AC 边上，且 EDBC ，则CEF 的度数为 11 （3 分）化简： = 12 （3 分）已知扇形的半径为 4cm，圆心角为 120，则扇形的弧长为 cm13 （3 分）现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字1， 2，3，4把卡片背面上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的第 3 页（共 32 页）概率是 14 （3 分）如图，抛物线的顶点为 P（2，2） ，与 y 轴交于点 A（0，3） 若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P（

4、2， 2） ，点 A 的对应点为 A，则抛物线上 PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为 15 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=3 ，BC=4 ，点 E 是 BC 边上一点，连接AE，把B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B处当CEB为直角三角形时，BE 的长为 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16 （8 分）先化简，再求值：（x +2） 2+（2x +1） （ 2x1） 4x（x+1） ，其中x= 17 （9 分）从 2013 年 1 月 7 日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气某市记者为了了解” 雾霾天气的主要原因“ ，随机调查了该市部分市民，并对调查结

5、果进行整理绘制了如下尚不完整的统计图表组别 观点 频数（人数）A 大气气压低，空气不流动80B 地面灰尘大，空气湿度低m第 4 页（共 32 页）C 汽车尾气排放 nD 工厂造成的污染 120E 其他 60请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）填空：m= ，n= 扇形统计图中 E 组所占的百分比为 %；（2）若该市人口约有 100 万人，请你估计其中持 D 组“观点”的市民人数；（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持 C 组“观点”的概率是多少？18 （9 分）如图，在等边三角形 ABC 中，BC=6cm射线 AGBC ，点 E 从点 A出发沿射线 AG 以 1cm/s 的

6、速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线 BC 以 2cm/s的速度运动，设运动时间为 t（s） （1）连接 EF，当 EF 经过 AC 边的中点 D 时，求证： ADECDF ；（2）填空：当 t 为 s 时，四边形 ACFE 是菱形；当 t 为 s 时，以 A、F 、C、E 为顶点的四边形是直角梯形19 （9 分）我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的 162 米增加到 176.6 米，以抬高蓄水位如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为 BE，背水第 5 页（共 32 页）坡坡角BAE=68，新坝体的高为 DE，背

7、水坡坡角DCE=60 求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度 AC（结果精确到 0.1 米参考数据：sin680.93，cos680.37，tan682.50， ） 20 （9 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为（2，3） 双曲线 y= （ x0）的图象经过 BC 的中点 D，且与 AB 交于点 E，连接 DE（1）求 k 的值及点 E 的坐标；（2）若点 F 是 OC 边上一点，且FBCDEB，求直线 FB 的解析式21 （10 分）某文具商店销售功能相同的 A、B 两种品牌的计算器，购买 2 个 A品牌和 3 个 B 品牌的计算器共需

8、 156 元；购买 3 个 A 品牌和 1 个 B 品牌的计算器共需 122 元（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按原价的八折销售，B 品牌计算器 5 个以上超出部分按原价的七折销售，设购买 x 个 A 品牌的计算器需要 y1 元，购买 x 个 B 品牌的计算器需要y2 元，分别求出 y1、y 2 关于 x 的函数关系式；（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数第 6 页（共 32 页）量超过 5 个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由22 （10 分）如图 1，将两个完全相同的

9、三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90， B=E=30（1）操作发现如图 2，固定ABC ，使 DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是 ；设BDC 的面积为 S1， AEC 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是 （2）猜想论证当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB 交 BC 于点 E

10、（如图 4） 若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCF =SBDE ，请直接写出相应的 BF 的长第 7 页（共 32 页）23 （11 分）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y= x+2 交于 C、D 两点，其中点C 在 y 轴上，点 D 的坐标为（3， ） 点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一动点，过点 P 作 PEx 轴于点 E，交 CD 于点 F（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 的横坐标为 m，当 m 为何值时，以 O、C 、P、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由（3）若存在点 P，使PCF=45，请直接写出相应的点 P 的坐标第 8 页（共 32 页）2013

11、年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的1 （3 分）2 的相反数是（ ）A B2 C D2【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案【解答】解：2 的相反数是 2，故选：D【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义2 （3 分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出【解答】解：A、此图形旋转 180后不能与原图形重合，此图形不是中心

12、对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、此图形旋转 180后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；第 9 页（共 32 页）C、此图形旋转 180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形旋转 180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确故选：D【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键3 （3 分）方程（x2） （x+3 ）=0 的解是（ ）Ax=2 Bx= 3 Cx 1=2，x 2=3 Dx 1=2，x 2=3【分析】根据已知得出两个一元一

13、次方程，求出方程的解即可【解答】解：（x2） （x+3 ）=0 ，x2=0， x+3=0，x1=2，x 2=3，故选 D【点评】本题考查了解一元关键是能把一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程4 （3 分）在一次体育测试中，小芳所在小组 8 人的成绩分别是：46，47，48 ， 48，49，49，49，50，则 8 人体育成绩的中位数是（ ）A47 B48 C48.5 D49【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数

14、，由此计算即可【解答】解：这组数据的中位数为 =48.5故选 C第 10 页（共 32 页）【点评】本题考查了中位数的知识，解答本题的关键是掌握中位数的定义，注意在求解前观察：数据是否为从小到大排列5 （3 分）如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“2”相对的面上的数字是（ ）A1 B4 C5 D6【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“2”与“4”是相对面，“3”与“5”是相对面，“1”与“6”是相对面故选 B【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的

15、文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题6 （3 分）不等式组 的最小整数解为（ ）A 1 B0 C1 D2【分析】先求出不等式组的解集，再求其最小整数解即可【解答】解：不等式组解集为1x2，其中整数解为 0，1，2故最小整数解是 0故选 B【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，属于基础题，正确解出不等式的解集是解决本题的关键求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较第 11 页（共 32 页）大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了7 （3 分）如图，CD 是O 的直径，弦 ABCD 于点 G，直线 EF 与O 相切于点 D，则下列结论中不一定正确的是（ ）AAG

16、=BG BABEF CADBC DABC=ADC【分析】根据切线的性质，垂径定理即可作出判断【解答】解：A、CD 是O 的直径，弦 ABCD 于点 G，AG=BG，故正确；B、直线 EF 与O 相切于点 D，CDEF，又ABCD，ABEF，故正确；C、只有当弧 AC=弧 AD 时， ADBC ，当两个互不等时，则不平行，故选项错误；D、根据同弧所对的圆周角相等，可以得到ABC=ADC故选项正确故选 C【点评】本题考查了切线的性质定理、圆周角定理以及垂径定理，理解定理是关键8 （3 分）在二次函数 y=x2+2x+1 的图象中，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是（ ）Ax 1 B

17、x1 Cx1 Dx1【分析】抛物线 y=x2+2x+1 中的对称轴是直线 x=1，开口向下，x 1 时，y 随 x第 12 页（共 32 页）的增大而增大【解答】解：a=10，二次函数图象开口向下，又对称轴是直线 x=1，当 x1 时，函数图象在对称轴的左边， y 随 x 的增大增大故选 A【点评】本题考查了二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的性质：当 a0，抛物线开口向下，对称轴为直线 x= ，在对称轴左边，y 随 x 的增大而增大二、填空题（每小题 3 分，满分 21 分）9 （3 分）计算：|3| = 1 【分析】分别进行绝对值的运算及二次根式的化简，然后合并即可【解答】解：原式=3

18、2=1故答案为：1【点评】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是能进行绝对值及二次根式的化简10 （3 分）将一副直角三角板 ABC 和 EDF 如图放置（其中A=60，F=45）使点 E 落在 AC 边上，且 EDBC ，则CEF 的度数为 15 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出1，再根据两直线平行，内错角相等求出2，然后根据CEF=452 计算即可得解【解答】解：A=60，F=45，第 13 页（共 32 页）1=9060=30，DEF=90 45=45，EDBC，2=1=30，CEF=DEF2=4530=15故答案为：15 【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质是

19、基础题，熟记性质是解题的关键11 （3 分）化简： = 【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果【解答】解：原式= + = = 故答案为： 【点评】此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母12 （3 分）已知扇形的半径为 4cm，圆心角为 120，则扇形的弧长为 cm【分析】根据弧长公式求出扇形的弧长【解答】解：l 扇形 = = ，则扇形的弧长= cm第 14 页（共 32 页）故答案为： 【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式13 （3 分）现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字1， 2，3，4把卡片背

20、面上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出数字之积为负数的情况数，求出所求的概率即可【解答】解：列表如下：1 2 3 41 （2，1） （3 ， 1） （4 ， 1）2 （1，2） （3 ， 2） （4 ， 2）3 （1，3） （2，3） （4 ，3）4 （1，4） （2，4） （3 ，4） 所有等可能的情况数有 12 种，其中数字之积为负数的情况有 8 种，则 P 数字之积为负数= = 故答案为： 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比14 （3 分）如图，抛物线的顶点为 P（2

21、，2） ，与 y 轴交于点 A（0，3） 若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P（2， 2） ，点 A 的对应点为 A，则抛物线上 PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为 12 第 15 页（共 32 页）【分析】根据平移的性质得出四边形 APPA是平行四边形，进而得出 AD，PP的长，求出面积即可【解答】解：连接 AP，AP，过点 A 作 ADPP于点 D，由题意可得出：APAP，AP=AP ，四边形 APPA是平行四边形，抛物线的顶点为 P（2，2） ，与 y 轴交于点 A（0，3） ，平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P（2， 2） ，PO= =2 ，AOP=45，又AD

22、OP，ADO 是等腰直角三角形，PP=2 2=4 ，AD=DO=sin45OA= 3= ，抛物线上 PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4 =12故答案为：12【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据已知得出 AD，PP是解题关键15 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=3 ，BC=4 ，点 E 是 BC 边上一点，连接第 16 页（共 32 页）AE，把B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B处当CEB为直角三角形时，BE 的长为 或 3 【分析】当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点 B落在矩形内部时，如答图 1 所示连结 AC，

23、先利用勾股定理计算出 AC=5，根据折叠的性质得ABE=B=90，而当CEB为直角三角形时，只能得到 EBC=90 ，所以点 A、B、C 共线，即B沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B处，则 EB=EB，AB=AB=3，可计算出 CB=2，设 BE=x，则 EB=x，CE=4 x，然后在 RtCEB中运用勾股定理可计算出 x当点 B落在 AD 边上时，如答图 2 所示此时 ABEB为正方形【解答】解：当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点 B落在矩形内部时，如答图 1 所示连结 AC，在 RtABC 中，AB=3，BC=4 ，AC= =5，B 沿 AE 折叠，使点 B 落在

24、点 B处，ABE=B=90，当CEB为直角三角形时，只能得到 EBC=90 ，第 17 页（共 32 页）点 A、B、C 共线，即B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B处，EB=EB，AB=AB=3 ，CB=53=2 ，设 BE=x，则 EB=x，CE=4 x，在 RtCEB中，EB 2+CB2=CE2，x 2+22=（4 x） 2，解得 x= ，BE= ；当点 B落在 AD 边上时，如答图 2 所示此时 ABEB为正方形，BE=AB=3综上所述，BE 的长为 或 3故答案为： 或 3【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等也考查了矩形的性

25、质以及勾股定理注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16 （8 分）先化简，再求值：（x +2） 2+（2x +1） （ 2x1） 4x（x+1） ，其中x= 【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，最后一项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式=x 2+4x+4+4x214x24x=x2+3，当 x= 时，原式 =2+3=5【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，第 18 页（共 32 页）平方差公式，单项式乘多项式，去括号

26、法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键17 （9 分）从 2013 年 1 月 7 日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气某市记者为了了解” 雾霾天气的主要原因“ ，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理绘制了如下尚不完整的统计图表组别 观点 频数（人数）A 大气气压低，空气不流动80B 地面灰尘大，空气湿度低mC 汽车尾气排放 nD 工厂造成的污染 120E 其他 60请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）填空：m= 40 ，n= 100 扇形统计图中 E 组所占的百分比为 15 %；（2）若该市人口约有 100 万人，请你估计其中持 D 组“观点”的市民人

27、数；（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持 C 组“观点”的概率是多少？【分析】 （1）求得总人数，然后根据百分比的定义即可求得；（2）利用总人数 100 万，乘以所对应的比例即可求解；（3）利用频率的计算公式即可求解第 19 页（共 32 页）【解答】解：（1）总人数是：8020%=400（人） ，则 m=40010%=40（人） ，C 组的频数 n=400804012060=100（人） ，E 组所占的百分比是： 100%=15%；故答案为：40，100，15% ；（2）100 =30（万人） ；所以持 D 组“观点”的市民人数为 30 万人；（3）随机抽查一人，则此人持

28、C 组“ 观点”的概率是 = 答：随机抽查一人，则此人持 C 组“ 观点”的概率是 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，以及列举法求概率18 （9 分）如图，在等边三角形 ABC 中，BC=6cm射线 AGBC ，点 E 从点 A出发沿射线 AG 以 1cm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线 BC 以 2cm/s的速度运动，设运动时间为 t（s） （1）连接 EF，当 EF 经过 AC 边的中点 D 时，求证： ADECDF ；（2）填空：当 t 为 6 s 时，四边形 ACFE 是菱形；当 t 为 1.5 s 时，以 A、F、C、E 为顶点的四边

29、形是直角梯形【分析】 （1）由题意得到 AD=CD，再由 AG 与 BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用 AAS 即可得证；（2）若四边形 ACFE 是菱形，则有 CF=AC=AE=6，由 E 的速度求出 E 运动的时第 20 页（共 32 页）间即可；分两种情况考虑：若 CEAG，此时四点构成三角形，不是直角梯形；若AFBC，求出 BF 的长度及时间 t 的值【解答】 （1）证明：AG BC ，EAD= DCF，AED=DFC，D 为 AC 的中点，AD=CD，在ADE 和 CDF 中，ADE CDF（AAS ） ；（2）解：若四边形 ACFE 是菱形，则有 CF=AC=

30、AE=6，则此时的时间 t=61=6（s ） ；四边形 AFCE 为直角梯形时，（I）若 CEAG，则 AE=CF= BC=3，BF=3 2=6，即点 F 与点 C 重合，不是直角梯形（II）若 AFBC，ABC 为等边三角形，F 为 BC 中点，即 BF=3，此时的时间为 32=1.5（s） ；故答案为：6；1.5【点评】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及直角梯形，弄清题意是解本题的关键19 （9 分）我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的 162 米增加到 176.6 米，以抬高蓄第 21 页（共

31、32 页）水位如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为 BE，背水坡坡角BAE=68，新坝体的高为 DE，背水坡坡角DCE=60 求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度 AC（结果精确到 0.1 米参考数据：sin680.93，cos680.37，tan682.50， ） 【分析】在 RtBAE 中，根据 BE=162 米，BAE=68，解直角三角形求出 AE 的长度，然后在 RtDCE 中解直角三角形求出 CE 的长度，然后根据 AC=CEAE 求出 AC 的长度即可【解答】解：在 RtBAE 中，BE=162 米，BAE=68，AE= = =64.8（米） ，在 RtDC

32、E 中，DE=176.6 米， DCE=60，CE= = = 102.08（米） ，则 AC=CEAE=102.0864.8=37.3（米） 答：工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度 AC 约为 37.3 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形20 （9 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为（2，3） 双曲线 y= （ x0）的图象经过 BC 的中点 D，且与 AB 交于点 E，连接 DE第 22 页（共 32 页）（1）求 k 的值及点 E 的坐标；（2）若点 F 是 OC 边上一点

33、，且FBCDEB，求直线 FB 的解析式【分析】 （1）首先根据点 B 的坐标和点 D 为 BC 的中点表示出点 D 的坐标，代入反比例函数的解析式求得 k 值，然后将点 E 的横坐标代入求得 E 点的纵坐标即可；（2）根据FBC DEB，利用相似三角形对应边的比相等确定点 F 的坐标后即可求得直线 FB 的解析式【解答】解：（1）BCx 轴，点 B 的坐标为（2，3） ，BC=2，点 D 为 BC 的中点，CD=1，点 D 的坐标为（ 1，3） ，代入双曲线 y= （x 0 ）得 k=13=3；BAy 轴，点 E 的横坐标与点 B 的横坐标相等，为 2，点 E 在双曲线上，y=点 E 的坐标

34、为（2， ） ；（2）点 E 的坐标为（2， ） ，B 的坐标为（2， 3） ，点 D 的坐标为（1，3） ，BD=1，BE= ，BC=2第 23 页（共 32 页）FBC DEB，即：FC=点 F 的坐标为（0， ）设直线 FB 的解析式 y=kx+b（k0）则解得：k= ，b=直线 FB 的解析式 y=【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及矩形的性质，解题时注意点的坐标与线段长的相互转化21 （10 分）某文具商店销售功能相同的 A、B 两种品牌的计算器，购买 2 个 A品牌和 3 个 B 品牌的计算器共需 156 元；购买 3 个 A 品牌和 1 个 B 品牌的计算器共需 1

35、22 元（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按原价的八折销售，B 品牌计算器 5 个以上超出部分按原价的七折销售，设购买 x 个 A 品牌的计算器需要 y1 元，购买 x 个 B 品牌的计算器需要y2 元，分别求出 y1、y 2 关于 x 的函数关系式；（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过 5 个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由【分析】 （1）设 A、B 两种品牌的计算器的单价分别为 a 元、b 元，然后根据156 元， 122 元列出二元一次方程组，求解即可；（2）

36、A 品牌，根据八折销售列出关系式即可，B 品牌分不超过 5 个，按照原价第 24 页（共 32 页）销售和超过 5 个两种情况列出关系式整理即可；（3）先求出购买两种品牌计算器相同的情况，然后讨论求解【解答】解：（1）设 A、B 两种品牌的计算器的单价分别为 a 元、b 元，根据题意得， ，解得： ，答：A 种品牌计算器 30 元/ 个，B 种品牌计算器 32 元/ 个；（2）A 品牌：y 1=30x0.8=24x；B 品牌：当 0x5 时，y 2=32x，当 x5 时，y 2=532+32（x5）0.7=22.4x+48，综上所述：y1=24x，y2= ；（3）当 y1=y2 时，24x=2

37、2.4x+48，解得 x=30，即购买 30 个计算器时，两种品牌都一样；当 y1y 2 时，24x22.4x+48，解得 x30 ，即购买超过 30 个计算器时，B 品牌更合算；当 y1y 2 时，24x22.4x+48，解得 x30 ，即购买不足 30 个计算器时，A 品牌更合算【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用， （1）读懂题目信息，理清题中等量关系是解题的关键， （2）B 品牌计算器难点在于要分情况讨论， （3）先求出购买计算器相同时的个数是解题的关键22 （10 分）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90， B=E=30（

38、1）操作发现第 25 页（共 32 页）如图 2，固定ABC ，使 DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是 DEAC ；设BDC 的面积为 S1， AEC 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是 S 1=S2 （2）猜想论证当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB 交 BC 于点 E（如图 4） 若在射

39、线 BA 上存在点 F，使 SDCF =SBDE ，请直接写出相应的 BF 的长【分析】 （1）根据旋转的性质可得 AC=CD，然后求出ACD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得ACD=60，然后根据内错角相等，两直线平行解答；第 26 页（共 32 页）根据等边三角形的性质可得 AC=AD，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 AC= AB，然后求出 AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点 C 到 AB 的距离等于点 D 到 AC 的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得 BC=CE，AC=CD ，再求出 ACN=DCM ，然后利用“角

40、角边”证明ACN 和DCM 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点 D 作 DF1BE，求出四边形 BEDF1 是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点 F1 为所求的点，过点 D作 DF2BD，求出F 1DF2=60，从而得到DF 1F2 是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出CDF 1=CDF 2，利用“边角边” 证明 CDF 1 和CDF 2 全等，根据全等三角形的面积相等可得点 F2 也是所求的点，然后在等腰BDE 中求出 BE的长，即可得解【解答】解：（1）DEC 绕点 C

41、旋转点 D 恰好落在 AB 边上，AC=CD，BAC=90 B=9030=60，ACD 是等边三角形，ACD=60，又CDE= BAC=60，ACD=CDE，DEAC；B=30，C=90 ，CD=AC= AB，BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，ACD 的边 AC、AD 上的高相等，第 27 页（共 32 页）BDC 的面积和AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等） ，即 S1=S2；故答案为：DEAC；S 1=S2；（2）如图，DEC 是由 ABC 绕点 C 旋转得到，BC=CE，AC=CD ，ACN +BCN=90， DCM+BCN=180 90=90，ACN=DCM ，在AC

42、N 和DCM 中，ACN DCM（AAS） ，AN=DM，BDC 的面积和AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等） ，即 S1=S2；（3）如图，过点 D 作 DF1BE，易求四边形 BEDF1 是菱形，所以 BE=DF1，且 BE、DF 1 上的高相等，此时 SDCF1 =SBDE ；过点 D 作 DF2BD，ABC=60 ，F 1DBE，F 2F1D=ABC=60，BF 1=DF1，F 1BD= ABC=30，F 2DB=90，F 1DF2=ABC=60，DF 1F2 是等边三角形，第 28 页（共 32 页）DF 1=DF2，BD=CD，ABC=60，点 D 是角平分线上一点，D

43、BC=DCB= 60=30，CDF 1=180BCD=18030=150，CDF 2=36015060=150，CDF 1= CDF2，在CDF 1 和CDF 2 中，CDF 1CDF 2（SAS） ，点 F2 也是所求的点，ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点，DEAB，DBC=BDE=ABD= 60=30，又BD=4，BE= 4cos30=2 = ，BF 1= ，BF 2=BF1+F1F2= + = ，故 BF 的长为 或 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的第 29 页（共 32 页）判定与性质，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练

44、掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点 F 有两个23 （11 分）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y= x+2 交于 C、D 两点，其中点C 在 y 轴上，点 D 的坐标为（3， ） 点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一动点，过点 P 作 PEx 轴于点 E，交 CD 于点 F（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 的横坐标为 m，当 m 为何值时，以 O、C 、P、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由（3）若存在点 P，使PCF=45，请直接写出相应的点 P 的坐标【分析】 （1）首先求出点 C 的坐标，然后利用待定系数

45、法求出抛物线的解析式；（2）本问采用数形结合的数学思想求解将直线 y= x+2 沿 y 轴向上或向下平移 2 个单位之后得到的直线，与抛物线 y 轴右侧的交点，即为所求之交点由答图 1 可以直观地看出，这样的交点有 3 个联立解析式解方程组，即可求出m 的值；（3）本问符合条件的点 P 有 2 个，如答图 2 所示，注意不要漏解在求点 P 坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点 P 的坐标第 30 页（共 32 页）【解答】解：（1）在直线解析式 y= x+2 中，令 x=0，得 y=2，C （0，2） 点 C（0，2） 、D（3， ）在抛物线 y=x2+b

46、x+c 上， ，解得 b= ，c=2，抛物线的解析式为：y=x 2+ x+2（2）PF OC，且以 O、C、P、F 为顶点的四边形是平行四边形，PF=OC=2，将直线 y= x+2 沿 y 轴向上、下平移 2 个单位之后得到的直线，与抛物线 y轴右侧的交点，即为所求之交点由答图 1 可以直观地看出，这样的交点有 3 个将直线 y= x+2 沿 y 轴向上平移 2 个单位，得到直线 y= x+4，联立 ，解得 x1=1，x 2=2，m 1=1，m 2=2；将直线 y= x+2 沿 y 轴向下平移 2 个单位，得到直线 y= x，联立 ，解得 x3= ，x 4= （不合题意，舍去） ，m 3= 当 m 为值为 1，2 或 时，以 O、C、P、F 为顶点的四边形是平行四边