1、1第十一章 算法初步与框图一、知识网络算法初步算法与程序框图算法语句算法案例算法概念框图的逻辑结构输入语句赋值语句循环语句条件语句输出语句顺序结构循环结构条件结构第一节 算法与程序框图知识回顾1算法的概念：算法通常是指按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤2.程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.3.程序框图的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构、循环结构4.算法的描述方式有：自然语言、程序框图、程序语言5.算法的基本特征：明确性：算法的每一步执行什么是明确的；顺序性：算法的“前一步”是“后一步” 的前提， “后一步”是“前一步” 的继续；有限性：算法必须在
2、有限步内完成任务，不能无限制的持续进行； 通用性：算法应能解决某一类问题.典例精析例 1.如图所示是一个算法的程序框图，则该程序框图所表示的功能是 解析：首先要理解各程序框的含义,输入 a,b,c 三个数之后,接着判断 a,b 的大小,若 b 小，则把 b 赋给 a,否则执行下一步，即判断 a与 c 的大小，若 c 小，则把 c 赋给 a, 否则执行下一步，这样输出的 a 是 a,b,c 三个数中的最小值.所以该程序框图所表示的功能是求 a,b,c 三个数中的最小值.评注: 求 a,b,c 三个数中的最小值的算法设计也可以用下面程序框图来表示.例 2.下列程序框图表示的算法功能是（ ）（1）计
3、算小于 100 的奇数的连乘积（2）计算从 1 开始的连续奇数的连乘积（3）计算从 1 开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于 100 时，计算奇数的个数（4）计算 成立时 的最小值 5n0n解析：为了正确地理解程序框图表示的算法，可以将执行过程分解，分析每一步执行的结果.可以看出程序框图中含有当型的循环结构,故分析每一次循环的情况,列表如下:第一次: ；,Si第二次: ；137第三次: ,此时 不成立,输出结果是 7,程序框图表示的算5910S法功能是求使 成立时 的最小值. 选 D. nn2评注:通过列表,我们能清楚了解程序的每一步中的各个变量是怎样变化的,这正是程序运行的本质所在.本题若要求
4、编写求使成立时 的最小值的程序框图或程序时 ,很容易弄错输出的结果，应注意. 135n10n例 3.在音乐唱片超市里，每张唱片售价为 25 元，顾客如果购买 5 张以上（含 5 张）唱片，则按九折收费，如果购买 10 张以上（含 10 张）唱片，则按八折收费，请设计算法步骤并画出程序框图，要求输入张数 x，输出实际收费 y(元).分析:先写出 与 之间的函数关系式，有 ，再利用条件结构画程序框图yx2().100xy解： 算法步骤如下: 第一步，输入购买的张数 ,第二步，判断 是否小于 5，若是，计算 ；x25yx否则，判断 是否小于 10，若是，计算 ；否则，计算.20y第三步，输出 .程序
5、框图如下:评注:凡必须先根据条件做出判断，然后再决定进行哪一个步骤的问题，在画程序框图时，必须引入判断框，采用条件结构设计算法.如果变量分三级(或以上)时,就需要用到条件结构的嵌套,不能忽视结果中“是”、 “否”的书写，否则不知道执行哪一条路径.一般地,分 段的分段函数,需要引入 个n1n判断框.条件结构有以下两种基本类型.例 4.画出求 的值的程序框图.221130分析:这是一个有规律的数列求和问题,每次都进行了相同的运算,故应用循环结构进行算法设计.解:程序框图如下:(1)当型循环 (2)直到型循环评注: (1) 解题关键是选择好计数变量 和累加变量 的初始值,并写出用 表示的数列的通项公
6、式是 ；iSi(2)循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中,如累加求和, 累乘求积等问题.在循环结构中,要注意根据条件,设计合理的计数变量、累加(积)变量以及它们的初始值等 ,特别要注意循环结构中条件的表述要恰当、精确，以免出现多一次或少一次循环.（3）循环结构分为两类：一类是当型循环结构，如下左图所示；另一类是直到型循环结构，如下右图所示. 27?x否是输出 X 1i?i否3变式训练画出求 的值的程序框图.2211470解：程序框图如下:例 5.某工厂 2005 年的生产总值为 200 万元，技术改进后预计以后后每年的年生产总值都比上一年增长 5%.设计一个程序框图，输出预期年生产总值
7、超过 300 万元的最早年份及 2005 年到此年份之前(不包此年份) 的年生产总值的和.分析:本例可用循环结构来实现. (1) 确定“循环体”:设 a 为某年的年生产总值,n 为年份,S 为年产值的总和,则循环体为(2)初始化变量:n 的初始值为 2005,a 的初始值为 200,S 的初始值为 0.(3)设定循环控制条件: 30a解: 程序框图如下:评注:本问题的关健是设计好循环体,注意 与 之间的对应关系.本题若将 放在 之后,则输出时SanSa1n须重新赋值 ，否则 的值为超过 300 万的年份的下一年.本题也可用当型循环结构来表示.1nn变式训练：设计一个程序框图，求使 的最小 的值
8、，并输出此时 的值.12350 n解：程序框图如下：基础自测一、选择题1下列说法正确的是（ ）A算法就是某个问题的解题过程；B算法执行后可以产生不同的结果；C解决某一个具体问题算法不同结果不同；D算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施1解析：选项 A ，算法不能等同于解法；选项 B，例如：判断一个正整数是否为质数，结果为 “是质数”和“不是质数”两种；选项 C，解决某一个具体问题算法不同结果应该相同，否则算法构造的有问题；选项 D，算法可以为很多次，但不可以无限次2、如图所示的程序框图中，则第 3 个输出的数是( ) A1 B. C.2 D. 3522.解析：前 3 个分别输出的数是 1，
9、 ，2.故选 C.,0.51San4开始 12AN12A1N4?结束是否输出3如图给出的是求 的值的一个程序框图，2016421其中判断框内应填入的条件是 （ ）A.i10? B.i20? D.i10？选2,64i4.阅读右边的程序框图，若输入的 是 100，则输出的变量 和 的值依次是（ ST）A2550，2500B2550，2550C2500，2500D2500，25504.解析：依据框图可得 ，10986.250S.选 A. 975.2T52006 年 1 月份开始实施的个人所得税法规定：全月总收入不超过 元160的免征个人工资、薪金所得税，超过 元部分需征税设全月总收入金额为元，前三级
10、税率如下左表所示：x级数 全月应纳税金额 160x税率1 不超过 元部分55%2 超过 至 元部分0210%3 超过 至 元部分515% 开始结束输入 x输出 0输出输出0，等于=，小于=，小于等于.常用函数：绝对值 ABS，平方根 SQR，取整 INT.84.算法案例（1）辗转相除法和更相减损术辗转相除法和更相减损术都是求两个正整数的最大公约数的方法.（1）辗转相除法就是对于给定的两个正整数，用大数除以小数，若余数不为 0，则将小数和余数构成新的一对数，继续上面的除法，反复执行此步骤，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.（2）更相减损术就是对于给定的两个正整数，若它
11、们都是偶数，则将它们反复除以 2(假设进行了 k 次)，直到它们至少有一个不是偶数后，将大数减小数，然后将差和较小的数构成一对新数，继续上面的减法，反复执行此步骤，直到差和较小的数相等，此时相等的数再乘以原来约简的 即为所求两数的最大公约数.2k（2）秦九韶算法秦九韶算法是求多项式值的优秀算法.设 ，110()nnfxaxax改写为如下形式： 12).nn 设 010,vv223310nnxav这样求 n 次多项式 的值就转化为求 n 个一次多项式的值.当多项式中有些项不存在时，可将这几项看做 ，补齐后再()fx 0nx利用秦九韶算法进行计算.对于一个 n 次多项式，只需做 n 次乘法和 n
12、次加法运算即可.（3）进位制K 进制数的基数为 k，k 进制数是由 之间的数字构成的.01k:将十进制的数转化为 k 进制数的方法是除 k 取余法.1 10(,)nnnkaaak 把 进 制 数 化 为 十 进 制 数 的 方 法 为.110() 1nnk 典例精析例 1写出用循环语句描述求 的值的算法程序.2349S解：算法程序如下：（1）当型循环 （2）直到型循环评注: 在编写算法的程序时，可先画出程序框图，抓住程序框图表示算法这个核心.注意分别用当型循环和直到型循环语句编写的程序中，循环条件的区别与联系. 例 2、某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出的污水量
13、吨收取的污水处理费 元，运行程my序如下所示： 105*(32)IFmTHENPUyLSDI210()/“;SiWHILEiiNDPRITS12()/0“;SiDOiiLPUNTIRSE9请写出 y 与 m 的函数关系，并求排放污水 150 吨的污水处理费用.解： 这个程序反映的是一个分段函数因为 所以 ，故该厂应缴纳污水处理费 1400 元.150,1502(10)4y评注: 解决分段函数要用条件语句来处理.本题可画出程序框图帮助理解.例 3 求三个数 72,120,168 的最大公约数.解法 1:用辗转相除法先求 120,168 的最大公约数,因为 68248,82所以 120,168 的
14、最大公约数是 24.再求 72,24 的最大公约数,因为 ,所以 72,24 的最大公约数为 24,73即 72,120,168 的最大公约数为 24.解法 2:用更相减损术先求 120,168 的最大公约数,168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24所以 120,168 的最大公约数为 24.再求 72,24 的最大公约数,72-24=48，48-24=2472,24 的最大公约数为 24,即 72,120,168 的最大公约数为 24.评注: 辗转相除法与更相减损术均是求两个正整 数的最大公约数的方法,要理解和掌握它们的操作步骤.变式:试写出求正整数 的最
15、小公倍,()mn 数的算法程序.解:或例 4.用秦九韶算法求多项式 在 时的值.5432()256fxx2x分析：先改写多项式，再由内向外计算. 543:()26)fx解 0102345,67120vxv评注: 用秦九韶算法求多项式值,关健是正确将多项式改写,然后由内向外计算求得.本题也可简写为下式：3()5m,0/INPUTSDOrMnmLPNTIrSRED,1*0INPUTmniDOarMiLPNTIrRE1012345681720例 5.完成下列进制的转化解: 420(3) (10)1023(2)用 8 反复去除 101,直到商为 0 止,所得的余数(从末位读起) 就是十进制数 101
16、的8 进制表示所以12540余 数 (10)(8)45评注:将 进制的数转化为 进制的数的方法是先将 进制的数转化为十进制的数，再将这个数转化为 进制的数.kkk k变式训练：下面是把二进制数 化为十进制数的一个程序框图,判断框内应填入的条件是 ( )2)1.5?.4?.?.5?AiBiCiDi解: ,故判断框内应填入的条件 .选 C.32(2)1114i 基础自测一、选择题1下列给出的赋值语句中正确的是（ ）A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xj
17、kygcom126t:/.j 4MBA01. 解析:赋值语句的功能.选 B 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 时，下面的程序输出的结果是 ( )A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 37572 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析： . 选 C 0,3,2153运行下列程序：()(10)(1)_(8)_041isWHILEixNPRITsUT11当输入 56，42 时，输出的结果
18、是56 42 84 143.解析:该程序的功能是用辗转相除法求正整数 的最大公约数，故选 D,()mn4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j下边程序运行后输出的结果为( )A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 50504.解析: .选 D ,;,3;,;4,;5,0aaja二、填空题5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 三个数 的最大公约数是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/
19、.j 345 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析: .填8,87,4276.阅读下列程序:当程序输入 值为 123 时,问运行的结果是 _.x6.解析:算术运算符和 MOD 分别用取商和余数.该程序的功能是把一个三位数各位上的数字颠倒过来.所以运行的结果是 321.7已知 n 次多项式 ，如果在一种算法中，计算 （k2，3，4，n）的值需101()nn nPaxax 0x要 k1 次乘法，计算 的值共需要 9 次运算（6 次乘法，3 次加法） ，那么计算 的值共需要 次运3 1()P算.下面给出一种减少运算次数的算法： （k 0， 1，2，n1） 利用该算法，计00(),(
20、)()kkPa算 的值共需要 6 次运算，计算 的值共需要 次运算.30()x17解析：秦九韶算法适用一般的多项式 的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可101nn nxaxx到达 ，加法最多 n 次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多 n 次，加法最多 n 次.答案：65；20.21n05()1ajWHILEjMONDPRIT,0INPUTmnDOrMnLPNTIrRIED10()INPUTxFADTHENabcMOxaPRITENF128下面程序运行后输出的结果为_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8解析: 22，-22三、解答题9.用秦九韶算法求多项式 在 时的值.5432()31768fxxx25420102345:()3768),7698fxvxv9.解10设计程序，求出满足 的最小的正整数 n.11023n 10解：11若 ,试判断 的大小关系，并将 化为 7 进制的数.(2)(6)(9)1,10,85abc,abcc6.解析: 103777140()c余 数 1/0SiDOiiLPUNTISRE5203,xyIFTHENLSDIPRxyE
