1、浙江大学,复变函数与积分变换,贾厚玉,,浙江大学,第二章 解析函数,复变函数的导数,解析函数,解析函数的充要条件,初等解析函数,浙江大学,复变函数的导数与微分,I） 导数的定义,设函数w=f (z)定义在区域D上，z0为D中一点，如果极限,存在，那么就说f (z)在z0处可导。这个极限值称为f (z)在z0处的导数，记作,浙江大学,注意：,的方式是任意的，定义中的极限值存在,的要求与自变量的趋向方式无关。对于导数的这一限制比对一元实变函数的类似限制要严格得多，从而使复变可导函数具有许多独特的性质和应用。,定义： 如果f(z) 在区域D内处处可导，那么我们就说f(z) 在D内可导。,例：,浙江大
2、学,例：,极限不促在,取特殊的趋向，得到不同的极限值。,浙江大学,II） 可导与连续,f(z)=x+2yi 在整个复平面上处处连续，却处处不可导。,连续,可导,证明,III） 求导法则,可以将实函数中的运算法则推广至复变函数， 证法相同。,浙江大学,IV） 微分概念,假设f (z)在z0处可导，则,定义：若函数w=f(z)在点z0处的增量可以表示为,则称f(z)在点z0处可微，,若f (z)在z0处可导，则,可微与可导等价。,浙江大学,解析函数,定义：如果函数 f(z) 在z0及其z0 的邻域内处处可导，那么 称 f(z) 在z0解析。,如果 f(z) 在区域 D 内每一点处解析，那么称 f(
3、z) 在D内解析。,如果 f(z) 在z0处不解析，那么称z0为f(z)的奇点。,注记： 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的。,函数在一点处解析与在一点处可导是两个不等价的。,函数在一点处可导未必在该点处解析。 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多。,浙江大学,例：研究函数,解：,在复平面上处处解析。,在复平面上处处不解析。,上式的极限为0,上式的极限不存在,因此,仅在原点处可导，而在其余点都不可导，故在整个复平面处处不解析。,浙江大学,例：研究函数,的解析性。,因为w在复平面内除 z=0外处处可导，且,所以在除原点外的复平面内，该函数处处解析，而原点是它的奇点。,浙江大学,定理
4、（1）在区域 D 内解析的两个函数f(z)与g(z)的和、差、积、商（除去分母为零的点）在D内解析。,设函数 h = g(z)在z平面上的区域D内解析，而函数w=f(h)在 h平面上的区域G内解析。如果对D内的每一个点z，函数g(z)的对应值h 都属于G，那么复合函数w=f(g(z)在D内解析。,（2）,从上面的定理可以知道， 所有多项式在复平面内是处处解析的；,任何一个有理分式函数 在不含分母为零的点的区域内 是解析函数，使分母为零的点是它的奇点。,浙江大学,解析函数的充要条件（Cauchy Riemann 条件）,判别一个函数是否解析，如果只根据解析函数的定义，往往是困难的。,设 f(z)
5、 = u(x,y) + iv(x,y) 定义在D内，并且在D内任一点z=x+iy 可导，则,其中,令,浙江大学,在(x, y)处可微，而且满足方程,浙江大学,柯西黎曼方程 CauchyRiemann方程,定理一,设 函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 定义在区域D内，则,f(z) 在D内一点z=x+iy可导的充要条件是 u(x,y), v(x,y)在点（x, y）可微，并且在该点满足C-R方程。,必要性由前面的叙述可知。充分性的证明下面给出。,浙江大学,充分性的证明,因为u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，可知,浙江大学,根据CR方程，有,浙江大学,由于,或者,浙江大
6、学,定理二,函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在区域D内解析的充要条件是,u(x,y), v(x,y)在D内可微，并且满足C-R方程。,上述两个定理提供了判断函数 f(z) 在某点是否可导，在区域内是否解析的常用方法，也给出了一个简洁的求导公式。是否满足CR方程是定理中的主要条件。 如果 f(z) 在区域D内不满足CR方程，那么 f(z) 在D内不解析； 如果在D内满足CR方程，并且u和v具有一阶连续偏导数，那么 f(z) 在D内解析。,浙江大学,例 判定下列函数在何处可导，在何处解析,CR方程不满足,CR方程满足，实部虚部均有一阶连续偏导数,仅仅在原点满足CR方程,浙江大学
7、,例 设函数,问常数a,b,c,d取何值时，f(z)在复平面内处处解析？,解：,从而要满足CR方程，只需,浙江大学,例 如果,在区域D内处处为零，那么 f (z) 在D内恒为常数。,证明：,f (z) 在D内恒为常数。,浙江大学,解析函数与调和函数的关系,定义：设 u(x,y) 在平面区域具有二阶连续偏导数且满足,则称二元函数 u(x,y) 为调和函数。,定理：设 f(z) = u(x,y) + I v(x,y) 在区域 D 上解析。如果 u, v 的所有二阶偏导数连续，那么 u 和 v 为D内的调和函数。,浙江大学,共轭调和函数,一个解析函数的实部 u 和虚部 v 都是调和函数。,称v(x,
8、 y) 是 u(x, y) 的共轭调和函数。,如果已知区域D内的某个解析函数的实部u（或虚部 v），那么可以利用柯西黎曼方程求出它的虚部v （或实部u），从而得到D内的解析函数f (z) 的表达式。,设 u(x, y)是z0的一个邻域中的调和函数，则存在一个定义在这个邻域中的共轭调和函数v(x, y)，使得f(z) 在z0点解析。,定理：,浙江大学,证明：由CR方程，,Step1.,所以两边对y积分，得到,Step 2.,比较上式两边，解出单变量函数,的表达式，,然后求出v(x, y) 。,浙江大学,例. 已知函数,证明它是一个调和函数，,且求出其共轭调和函数v (x, y)。,例. 设 v
9、是 u 的共轭调和函数，,证明,是调和函数。,浙江大学,例. 函数 f(z) = u+iv 是一个解析函数，且,求 f(z) = u+iv 。,解：,因为f(z) 是解析函数，故由C-R方程，将上述两式加减，,浙江大学,令 y = 0,浙江大学,初等解析函数,指数函数,是在复平面上处处解析的函数，而且,可以验证，上述函数还具有性质：对任意复数z1，z2，恒有,自然地，把该函数定义为复平面上的指数函数，记为,浙江大学,复指数函数exp(z)具有如下性质：,当z取实数x时(y=0), 复指数函数与实指数函数一致，故可看成实指数函数的扩张。,（1）,当z取虚数时(x=0), 得到欧拉公式,（2）,在
10、整个z平面内，exp(z)无零点。,（3）,在整个z平面内，exp(z)处处解析，导函数正是本身。,（4）,（5）,（6）,浙江大学,浙江大学,对数函数,对数函数定义为指数函数的反函数。我们把满足方程,的函数w = f (z)称为对数函数，记作,令,由于Arg z 是多值的，所以对于每个非零 z，复对数 Ln z 也是多值的。,浙江大学,若Arg z 取主值 arg z ，那么Ln z 为一单值函数，记作 ln z ，称为Ln z 的主值：,例：,浙江大学,在实函数理论中，负数无对数，但现在应该说“负数有复对数”。,复变数对数函数是实变数对数函数的拓广。,不难验证,左边的等式应当理解为两端可能
11、取的函数值的全体是相同的。,下面的等式不成立：,浙江大学,对数函数的解析性：,就主值ln z 来说，ln |z| 除原点外在其他点都是连续的， 而 arg z 在原点与负实轴上都不连续，所以，除去原点与负实轴，在复平面内其他点，ln z 处处连续。,综上所述，,在区域,内的反函数,w = ln z 是单值的。 由反函数的求导法则，可知,所以 ln z 在除去原点及负实轴的平面内解析.,Ln z 在除去原点及负实轴的平面内也解析，并且有相同的导数值。,浙江大学,浙江大学,幂函数,定义： 设 z为不为零的复变数，,为任意一个复数，我们定义,乘幂,当z 为正实变数、,上式与微积分中的乘幂的定义一致,
12、当z 为复变数、,浙江大学,也是多值函数。,是单值的；,是有限多值的；,是无穷多值的。,浙江大学,例,浙江大学,三角函数与双曲函数,定义,正弦函数,余弦函数,双曲正弦函数,双曲余弦函数,当z为实变数时，左边的定义余初等微积分中的三角函数的定义一致,浙江大学,由于指数函数,在整个复平面上是解析的，所以,前面定义的三角函数与双曲函数均在整个复平面上解析，而且,还可以验证其它性质。,浙江大学,（1）,（2）,sin z，cos z 是以,为周期的周期函数；,sh z，ch z 是以,为周期的周期函数；,sin z，sh z 为奇函数；,cos z，ch z 为偶函数,（3）,验证以下三角恒等式,浙江大学,（4）,（5）,不是有界函数,取z = iy (y0),浙江大学,（6）,sin z 的零点为,cos z 的零点为,浙江大学,例：解方程,例：解方程,浙江大学,LHospital法则,若f(z)及g(z)在点z0解析，且 f(z0) = g(z0) = 0, g(z0) = 0，则,
