1、大 学 物 理 学习题解答陕西师范大学物理学与信息技术学院基础物理教学组2006-5-82说 明：该习题解答与范中和主编的大学物理学各章习题完全对应。每题基本上只给出了一种解答，可作为教师备课时的参考。题解完成后尚未核对，难免有错误和疏漏之处。望使用者谅解。编 者2006-5-83第 2 章 运动学21 一质点作直线运动，其运动方程为 , x 以 m 计，t 以 s 计。试求：2tx（1）质点从 t = 0 到 t = 3 s 时间内的位移；（2）质点在 t = 0 到 t = 3 s 时间内所通过的路程解 （1）t = 0 时，x 0 = 2 ；t =3 时，x 3 = 1；所以， m)()
2、(xx（2）本题需注意在题设时间内运动方向发生了变化。对 x 求极值，并令 02dttx可得 t = 1s ,即质点在 t = 0 到 t = 1s 内沿 x 正向运动，然后反向运动。分段计算 ， 11ttx m4)1()3(2txt路程为 m5s22 已知质点沿 x 轴作直线运动，其运动方程为 。试求：（1）326tx质点在最初 4s 内位移；（2）质点在最初 4s 时间内所通过的路程解 （1）t = 0 时， x0 = 2 ；t = 4 时，x 4 = 30所以，质点在最初 4s 内位移的大小 320（2）由 61d2tt可求得在运动中质点改变运动方向的时刻为 t1 = 2 s , t2
3、= 0 (舍去)则 ，m0.821xm442x所以，质点在最初 4 s 时间间隔内的路程为 821xs23 在星际空间飞行的一枚火箭，当它以恒定速率燃烧它的燃料时，其运动方程可表示为 ，其中 是喷出气流相对于火箭体)1ln(bttutx /s0.3u的喷射速度， 是与燃烧速率成正比的一个常量。试求：（ 1）t = 0 时刻，s/05.73b此火箭的速度和加速度；（2）t = 120 s 时，此火箭的速度和加速度解 ；)1ln(dbtutxvbtuva1d（1）t = 0 时 ， v = 0 ， 233s.m505.74（2）t = 120s 时， )1205.71ln(033v 13s.m9.
4、63s.m25.71a24 如图所示，湖中有一只小船，岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为 h ，t = 0 时，船与滑轮间的绳长为 l0 。试求：当人以匀速 v0 拉绳时，船在距岸边 x 处的速度和加速度。解 （1） 设任意时刻 t ，绳长为 l，由题意；船到岸边的水平距离为 x ，则tld02hlx小船的运动速度为 tlhlltvdd2202vxh负号表示小船在水面上向岸靠近。小船的运动速度为 )(02vlta2002d)(dxhthl负号表示加速度的方向指向岸边，小船在水面上加速靠岸。25 一升降机以加速度 上升，当上升速度为 时，有一螺丝2sm.1 1sm4.从升降机的天
5、花板上松脱，天花板与升降机的底面相距 2.74 m 。计算：（1）螺丝从升降机的天花板落到底面所需要的时间；（2）螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离 .解 （1）以地面为参考系，取 Oy 坐标轴向上 ，升降机的运动方程为201atvy螺丝的运动方程为 2gh当螺丝落至底面时，有 y1 = y2 ,即 202011gtvhat所以 s75.agt(2)螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 m716.0202gtvyhd26 已知一质点的运动方程为 (SI)。试求：（1）质点的运动jir)(2tt轨迹；（2）t = 1s 和 t = 2 s 时刻，质点的位置矢量；（ 3）1s 末和 2 s 末质点
6、的速度；vxlv0h5（4）质点的加速度。解 （1）质点在 x 、y 方向运动方程的分量形式为 x = 2t ， y = 2t 2消去时间 t , 可得 241x其运动轨迹为一抛物线（2） 时 ； 时 s1tjir21st jir242（3）质点运动的速度 v jirttd时 v1st 即 ， （ 1 为 v1 与 x 轴的夹角）m/21vo45时 v2stji即 ， （ 2 为 v2 与 x 轴的夹角）/52 63o（4）质点运动的加速度 jadt27 一质点在 Oxy 平面上运动，其运动方程为 jir2)310(tt试求：（1）质点的轨迹方程；（2）质点的速度、加速度。解 （1） 质点运动
7、方程的分量式为 ，2310tx2ty消去时间参数 t，可得运动的轨迹方程 y（2）速度 v jit46加速度 a28 一质点在 Oxy 平面上运动，其运动方程为jir )1.0cos(3)1.0sin(3tt试求质点在 5s 时的速度和加速度 。解 速度 v jir )1.0sin(3.).(.dttt 加速度 jia .co.1.0sin.3222 tttt = 5 s 时的速度为 jv)m.(加速度 ias03229 一质点从坐标原点开始沿抛物线 y = 0.5 x2 运动，它在 Ox 轴上分速度6为一恒量，试求：（1）质点的运动方程；（2）质点位于 x = 2 m 处的速度sm0.4xv
8、和加速度 。解 （1）因 为常数，故 ax = 0 。当 t = 0 时，x = 0 ，可得质点在 x 方1s0.4xv向的运动方程为 t又由质点的抛物线方程，有 28ty所以 jir4t（2）任意时刻 ； v16djt16dva由 和 x = 2，可得 t = 0.5 st4所以，当质点位于 x = 2.0 m 时，其速度 ，加速度 ji84ja16210 一汽艇以速率 沿直线行驶。发动机关闭后，汽艇因受到阻力而具有与速度0vv 成正比且方向相反的加速度 ，其中 k 为常数。试求发动机关闭后， （1）任意时a刻 t 汽艇的速度；（2）汽艇能滑行的距离。解 本题注意根据已知条件在计算过程中进行
9、适当的变量变换。（1）由 ， kvtadtv00d得 te0（2）因为 ， kststdskv00所以 v0发动机关闭后汽艇能滑行的距离为 ks/0211 一物体沿 x 轴作直线运动，其加速度为 ，k 是常数。在 t = 0 时，2va， 。试求（1）速率随坐标变化的规律；（2）坐标和速率随时间变化的规律。0vx解 本题注意变量变换。（1）因为 ； 2ddkvxtvta xkv0d0所以 ke0（2）因为 ， 2vta tkv02d0可得 10k7又因为 ， txvdtkvtxd1d00所以 )1ln(kv212 一质点沿 x 轴作直线运动，其速度大小 ， （SI 制） 。质点的初始238t位
10、置在 x 轴正方向 10 m 处，试求：（1） 时，质点的加速度；（2）质点的运动方st程；（3）第二秒内的平均速度。解 根据题意可知， 时， ，0t10s8vm0x（1）质点的加速度 ta6d时， s2t 2ms1（2） 由 ttvxd)38(2两边积分 td01因此，质点的运动方程为 3tx（3）第二秒内的平均速度为 112s.m5txtv213 质点作圆周运动，轨道半径 r = 0.2 m，以角量表示的运动方程为（SI） 。试求：（1）第 3s 末的角速度和角加速度；（2）第 3s 末的切向210t加速度和法向加速度的大小。解 （1）因为 210t故 ， ttd/ d/以 t = 3s
11、代入， ，1sar32sra（2） ， 2m.0at 2sm8.3n214 一质点在半径为 r = 0.10m 的圆周上运动，其角位置为 。 （1）在 34tt = 2.0s 时，质点的法向加速度和切向加速度各为多少？（ 2）t 为多少时，法向加速度和切向加速度的量值相等？解 (1)由于 ，则 ，342t21dttd法向加速度 4n.1tra8切向加速度 trat4.2t = 2.0s 时， ， 22n sm103st 22sm8.4dtrast（2）要使 ,则有 t rtr4)(2所以 t = 0.55 s215 一汽车发动机曲轴的转速，在 12 s 内由 20 r/s 均匀地增加到 45
12、r/s 。试求：（1）发动机曲轴转动的角加速度；（2）在这段时间内，曲轴转过的圈数。解 （1）由于角速度 （n 为单位时间内的转数） ，根据角加速度的定义2，在匀速转动中角加速度为 td 200 srad1.3)(2tnt（2）发动机曲轴转过的角度为 ttt )(21000 在 12 s 内曲轴转过的圈数为 圈392tnN216 某种电机启动后转速随时间变化的关系为 ，式中)1(20te。求：（1) t = 6 s 时的转速；(2) 角加速度随时间变化的规律；(3) 启动10srad.9后 6 s 内转过的圈数。解 (1)根据题意，将 t = 6 s 代入，即得 1020 s6.895.)e1
13、(t（2）角加速度随时间变化的规律为 2s.4dttt（3）t = 6 s 时转过的角度为 rad9.36)e1(26060 t则 t = 6 s 时电动机转过的圈数 圈87.5N217 半径为 r = 0.50m 的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比，在 t = 2 s 时，测得轮缘上一点的速度值为 。求：（1）该轮在 t = 0.5s 的角sm0.4速度，轮缘上一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在 2s 内所转过的角度。解 由题意 ，因 R = v ,可得比例系数 2kt22rtvk所以 2)(t(1) 则 t= 0.5s 时，角速度为 1srad5.09角加速度 2s
14、rad4dt切向加速度 m1rat总加速度 n2nertt22sm01.)()(2) 在 2 s 内该点所转过的角度 rad3.52d0tt218 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为 2 m 的圆形轨道运动。已知质点的角速度与时间的平方成正比，即 （SI 制） 。式中 k 为常数。已知质点在第 2 s 末的2kt速度为 32 m /s 。试求 t = 0.5 s 时质点的速度和加速度。解 首先确定常数 k 。已知 t = 2 s 时，v = 32 m/s , 则有 324Rtv故 ， ，24t4RvRtat8d当 t 0.5 s ， ， 12s.mt 2s.mtt 22s.mvan，22.5
15、8ntao10.4tant219 由山顶上以初速度 v0 水平抛出一小球，若取山顶为坐标原点，沿 v0 方向为 x 轴正方向，竖直向下为 y 轴正方向，从小球抛出瞬间开始计时。试求：（1）小球的轨迹方程；（2）在 t 时刻，小球的切向加速度和法向加速度。解 （1）小球在 x 轴作匀速直线运动 ， y 轴上作自由落体 tvx021gty上述两方程联立消 t， 可得小球的轨迹方程 20g（2） ， 0vxgtyt 时刻，小球的速率 202tgvyxt 时刻，小球的切向加速度 20dttat因为 ，所以，法向加速度 2ntga 202tgvagtn220 已知声音在空气中传播的速率为 344 m/s
16、 。当正西方向的风速为 30 m/s 时，声音相对于地面向东、向西和向北传播的速率各是多大？ 10解 ， m/s301v/s342v向东传播的声音的速率 m/s374021E向西传播的声音的速率 1W向北传播的声音的速率 /s34034221vN221 一架飞机从 A 处向东飞到 B 处，然后又向西飞回到 A 处。 已知 A、B 间的距离为 l，空气相对地面的速率为 u，飞机相对空气的速率 v 保持不变。试证：（1）假定空气是静止的（即 u0） ，飞机往返飞行时间为 ；lt1（2）假定空气的速度方向向东，飞机往返飞行时间为 ；22u（3）假定空气的速度方向向北，飞机往返飞行的时间为 。23vl
17、t试证：由速度关系 v = u + v （1）u0 时，飞机往返飞行时间为 llt21（2）空气相对地面的速度为 u 向东，从 A B 所需时间为 uvl从 B A 所需时间为 vl所以，飞机往返飞行时间为 22 lvlult（3）空气相对地面的速度为 u 向北，如图 221 所示，vvu( a )A vvu( b )B习题 221从 A B，飞机相对地面的速度为 ；从 B A 飞机相对地面的速度的大小2uv与从 A B 等值，但方向相反。所以，飞机往返飞行的时间为 23llt11第 3 章 牛顿定律及其内在随机性3-1 一木块能在与水平面成 角的斜面上匀速下滑。若使它以速率 v0 沿此斜面向
18、上滑动，试证明它能沿该斜面向上滑动的距离为 v02/（4gsin ） 。解 选定木块为研究对象，取沿斜面向上为 x 轴正向， 下滑 （1）0sinfFmg上滑 （2）af由式（2）知，加速度为一常量，有（3）sv202解上述方程组，可得木块能上滑的距离 sin42200gvas3-2 在一水平直路上，一辆车速 的汽车的刹车距离为 s = 35 m 。如果1hkm9v路面相同，只是有 110 的下降斜度，这辆汽车的刹车距离将变为多少？解： 在水平路上 为定值，则 ，而 kagksv2所以 gsvk2设斜面夹角为，刹车距离为 ，加速度为 ，则 a amgmkcossin所以 )cosin(22kg
19、vavs代入已知数值，注意 sin = 0.1 ,可得 5.393-3 如图所示，质量 m = 0.50kg 的小球挂在倾角 的光滑斜面上。o0（1）当斜面以加速度 a = 2.0m/s2 水平向右运动时，绳中的张力及小球对斜面的正压力各是多大？（2）当斜面的加速度至少为多大时，小球将脱离斜面？mgN T上滑fmgN下滑fmgN12解：(1)对小球 x 向： maNTsincoy 向： 0ssing可得N32.)0sin8.93co2(5.)ico( oamT7520sngN小球对斜面的压力 N7.（2）小球刚要脱离斜面时 N = 0，则 ， maTcosgTsin由此二式可解得 2/0.17
20、3tan/8.9t/ga3-4 在水平面上一辆汽车以速率 v 行驶，当汽车与前面一堵墙相距为 d 时，司机才发现自己必须制动或拐弯。设车辆与地面之间的静摩擦系数为 s .问若司机制动停车（不拐弯），他需要的最小距离 d1 为多大？若他不制动而作 90o 拐弯（作圆弧形行驶） ，他需要的最小距离 d2 又有多大？哪种办法最安全？解：汽车制动时，受到摩擦力作用，作匀减速直线运动，在拐弯情况下，汽车作圆周运动，摩擦力提供向心力。通过求出两种情况下汽车制动的距离，比较可以知道第一种方法更安全。设汽车质量为 m 加速度为 a，则在制动时有 ，mags12adv所以 gvds2/1若不制动而拐弯，则有 2
21、dvs所以 gvds2由于 d1 d2 可知制动安全。3-5 月球的质量是地球的 ，月球的半径为地球半径的 。不计自转的影响，试计8113算地球上体重 600N 的人在月球上时体重多大？解： 因为地球上人体重为 N602eerMmGg所以月球上体重为 22138emrrN6.97292eegrG133-6 一枚质量为 3.03103kg 的火箭，放在与地面成 58.0倾角的发射架上，点火后发动机以恒力 61.2 kN 作用于火箭，火箭轨迹始终与地面成 58.0的夹角。飞行 48.0s 后关闭发动机，计算此时火箭的高度及距发射点的距离（忽略燃料质量和空气阻力） 。解 tvmaFxxdcosvtx
22、tF00dcosdx0480cosd m1023.214ttax同理 tvagFyydsinvtytgF00d)sin(dmvy)i(0480im1.2sin1322 tgFtay火箭距发射点 O 的距离为 49.yx3-7 在光滑水平面上固定了一个半径为 R 的圆环，一个质量为 m 的物体 A 以初速度为v0 靠圆环内壁作圆周运动，物体与环壁的摩擦系数为 ，试求物体 A 任意时刻的速率 v？解：选取自然坐标, 切向 ftvmd法向 ，而 ，所以 NRm2ftvRd2由上式得 tvtd002则 tR013-8 光滑的水平桌面上放置一半径为 R 的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦因数
23、为 。开始时物体的速率为 v0 ,求：（1）t 时刻物体的速率；（2）当物体速率从 v0 减少到 时，物体所经历的时间及经过的路程。02解： (1)取自然坐标，有 ， RmaFnN2tvmaFtf d摩擦力的大小 ，由上述各式可得 f tv2取初始条件 t = 0 时 v = v 0 , 并对上式积分 vt020dfN m14所以 tvR0（2）当物体的速率从 v 0 减少到 时，由上式可得 210vRt物体在这段时间内所经过的路程 ttvsdd0002lnR3-9 一质量为 10kg 的质点在力 （F 的单位为 N，t 的单位为 s）的作用401t下，沿 x 轴作直线运动。在 t = 0 时
24、，质点位于 x = 5.0m 处，其速度 。求质10m.6v点在任意时刻的速度和位置。解：由题意 tvmtd412依据初始条件，t 0 = 0 时 ，积分 1s.6vtvtd4120所以 2t又因 v = d x/d t,并由初始条件：t 0 = 0 时 x 0=5.0m，积分 ttxt60 2所以 3265tt3-10 质量为 m 的质点在外力 F 的作用下沿 x 轴运动，已知 t = 0 时质点应位于原点，且初始速度为零，力 F 随距离线性地减小，x = 0 时，F = F0 ; x = L, F = 0.试求质点在;x = L 处的速率。解： 由题意，力 F 与 x 的关系为 0由牛顿第
25、二定律 ，而 tvdxvttvdd则 xLFm0积分 vdd000所以 mLF3-11 轻型飞机连同驾驶员总质量为 1.0103kg 。飞机以 的速率在水平跑道1sm0.515上着陆后，驾驶员开始制动，若阻力与时间成正比，比例系数 ，求：12sN0.5（1）10s 后飞机的速率；（2）飞机着陆后 10s 内滑行的距离 。解： 以地面飞机滑行方向为坐标正方向，有 tvmdtvtd00得 2t =10s 时， 1sm.3v又 txtd)2(d00故飞机着陆后 10s 内所滑行的距离 m46730tvxs3-12 一物体自地球表面以速率 v0 竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为 f kmv 2，其中
26、 m 为物体的质量，k 为常量。试求：（1）该物体能上升的高度；（2）物体返回地面时速度的值（设重力加速度为常量） 。解 以地面为原点，y 轴竖直向上（1）上抛 ； tvmkgd2yvtd积分 ； 故有 hvky002d gkh20maxIn1（2）下落 tvgd2积分 则 002dhvky 2/100gkv3-13 如图所示，电梯相对地面以加速度 a 竖直向上运动，电梯中有一滑轮固定在电梯顶部，滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为 m1 和 m2 的物体 A 和 B，且 mlm 2。设滑轮的质量和滑轮与绳索间的摩擦均略去不计，如以电梯为参考系，求物体相对地面的加速度和绳的张力。解 取坐标 y 向下
27、，设 为物体相对电梯的加速度，ra有 rTamg11raTg22，由上述各式可得 21T)(21mar绳的张力 )(211gT习题 312 图 上抛mgf mgf下落16物体 A 对地面的加速度 211)(magarB 对地面的加速度为 212 )()(r第 4 章 动量守恒与能量守恒41 一粒子弹在枪膛中所受的合力为 ；式中 F 和 t 的单位分tF51034别为 m 和 s，假设子弹出枪口时所示合力为零，此时子弹的速度为 。试求：m/sv（1）子弹在枪膛中经历的时间；（2）子弹在枪膛中所受的冲量；（3）子弹的质量。解 （1）由题意 ；所以 013405t 3t（2）子弹在枪膛中所受的冲量
28、s.N60d)14(530 tI（3）由动量定理，可得子弹的质量 kg23vm42 一个质量为 m = 0.14 kg 的垒球沿水平方向以 的速率投来，经棒打m/s51v击后，沿与水平方向成 的方向向回飞出，o45速率变为 。 （1）求棒给球的冲量的大/s802v小与方向。 （2）如果球与棒接触的时间为，求棒对球的平均冲力的大小。它是垒.t球本身重量的几倍？解 （1）如图所示，设垒球飞来方向为 x 轴方向，棒对球的冲量大小为 12vmIcos2121vsN9.6与垒球投来方向的夹角 为 coinart8021omv215o（2）棒对球的平均冲力 452.96tIF此力为垒球本身重量的 = 61
29、6 倍)8.0/(8)/(g43 自动步枪连发时每分钟射出 120 发子弹，每发子弹的质量为 m =7.9103 kg，子弹出枪口的速率为 735 m / s 。子弹射出时，枪托每分钟对肩部的平均压力为多少？xmv1mv2I习题 42 用图17解 以分钟计，枪对子弹的平均推力为 N6.1607359.12tNmvF由牛顿第三定律可知，枪托对肩的压力等于 11.6 N 。44 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一个质量为 50 kg 的杂技演员，在走钢丝练习时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使他被悬挂起来。已知安全带的长度为 5 m ，安全带弹性缓冲作用时间约为 0.5 s。若取
30、重力加速度 ，2s.m10g则安全带对杂技演员的平均作用力为多少？解 以杂技演员为研究对象，人跌至 5 m 处时的速率为 hv21在缓冲过程中，根据动量定理，有 2)(tgF可得 N150thtvgF45 以炮弹以速率 v0 沿倾角 的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为相等的两块，一块沿 仰角上飞，一块沿 的俯角下冲，求刚爆炸后这两块碎片的速率各为oo45多少？解 如题图所示，炮弹炸裂前速率为 ，沿cs0v水平方向，炸裂后两块分别以 v1 和 v2 飞行。忽略爆炸过程中重力的作用，炮弹及碎块的动量守恒。于是有水平方向： o2o10 45cs45cscosmmv竖直方向： 2inin2v联立解
31、此二式，可得 cos0146 一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6 m。爆炸 1.00 s 后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为。问第二块落在距抛出点多远的地面210.上。 （设空气的阻力不计）解 取如图示坐标，爆炸前，物体在最高点 A的速度的水平分量 hgxtvx210物体爆炸后，第一块碎片竖直落下 211gtvy碎片落地时，有 y1 = 0 , t = t1 ,则由上式得 121th习题 46 用图O v0y xv1x1h x2v2习题 425 用图v2yxv0cosv145045018根据动量守恒定律，在最高点处有 ， ， x
32、xmv201ymv210可解得爆炸后第二块碎片抛出时的速度分量分别为，1102 s02hgxvx 11212 s7.4tghvy爆炸后，第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为 ， 212x落地时，y 2 = 0 ，可解得第二块碎片落地222gtvhyy点的水平位置 m50x47 一载人小船静止于湖面上，小船质量为 100kg，船头到船尾共长 3.6 m，人的质量为 50 kg ,试问当人从船尾走到船头时，船将移动多少距离？假定水的阻力不计。解 假定船的质量为 M，速度为 v，人的质量为 m，相对于船的速度为 u，其方向与v 的方向相反。选 x 轴沿 v 的方向，由该方向动量守恒有 ()0Mv上式各
33、项乘时间 t 得 。()0mut设 t 时间内船走的路程为 S，人相对于船走过的路程为 ，则有 ，S )(Sm故 2.15063MS48 A、B 两球在光滑水平面上运动，已知 A 球的质量为 、速度为kg21，B 球的质量为 、速度为 。两球碰11s.m20ivkg32m2s.)5.0(jiv撞后合为一体，求碰撞后的速度。解 以 v 表示碰撞后的速度。由动量守恒定律 v)(2121m所以 1s.)302.(ji49 质量为 M 的人手里拿着一个质量为 m 的物体，此人用与水平面成 角的速率v0 向前跳去 .当他达到最高点时，他将物体以相对于人为 u 的水平速率向后抛出 .问：由于人抛出物体，他
34、跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）解 取如图所示坐标.把人与物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物的过程中，满足动量守恒，有 )(cos)(0uvmvm式中 v 为人抛物后相对地面的水平速率 ， vu 为抛出物对地面的水平速率。得 Ms0 习题 49 用图 O v0 vy xx19人的水平速率的增量为 umMvcos0而人从最高点到地面的运动时间为 gtin所以，人跳跃后增加的距离 uvtx)(si0410 一人从 10 m 深的井中提水，起始时，桶及桶中水的总质量为 10 kg，由于水桶漏水，每升高 1 m 要漏去 0.20 kg 的水 .水桶被匀速地从井中提到井口，求人所做的
35、功。解 水桶在匀速上提过程中，a = 0，拉力与水桶重力平衡，有 mgF取坐标 y 竖直向上，水桶位于 y 处时，拉力 ygF2.0人对水桶的拉力的功为 J8d)2.0(10ygA411 长度为 2 m 的细绳的一端系在天花板上，另一端系一质量为 0.20 kg 的小球。现把小球移至使细绳与竖直方向成 角的位置，然后从静止释放。试求：（1）在绳索从o3转到 角的过程中，重力和张力所做的功；（2）物体在最低位置时的动能和速率；o300（3）在最低位置时绳的张力。解 如图所示，重力的功 J53.0)cos1(mglAG张力的功 0dTsA（2）在最低位置时的动能为 J.kGE小球在最低位置的速率为
36、 1sm30.22Av（3）当小球在最低位置时，由牛顿定律可得； lmPT2N49.2lgT412 最初处于静止的质点受到外力的作用，该力的冲量为 ，在同一时间间隔s4内，该力所做的功为 2 J, 问该质点的质量为多少？解 由题意， ， ，根据动量定理，有0p0kE0mvpI由动能定理，有 21mvA所以 kg42kIEm l习题 411 用图 mgTO20413 一质量为 m 的质点，系在细绳的一端，绳的另一端固定在平面上。此质点在粗糙水平面上作半径为 r 的圆周运动。设质点的最初速率是 v0。当它运动一周时，其速率为 v0/2。求：（1）摩擦力做的功；（ 2）动摩擦因数；（ 3）在静止以前
37、质点运动了多少圈？解（1）摩擦力做功为 202020k 81mEA（2）由于 ，故有 mgfgrsf8co可得动摩擦因数为 rv16320（3）一周中损失的动能为 ，则在静止前可运行的圈数为 圈208 340kAEn414 用铁锤把钉子敲入墙面木版。设木版对钉子的阻力与钉子进入木版的深度成正比。若第一次敲击，能把钉子钉入木板 。第二m12次敲击时，保持第一次敲击钉子的速度不变，那么第二次能把钉子钉入多深？解 F = kx（k 为常数） ，由动能定理， 10dxkE21dxkE按题意， ，即 21k 210xk可得 m4.2x415 质量为 3 kg 的质点在力 F 作用下沿直线运动，已知质点的
38、运动方程为；x 和 t 的单位分别为 m 和 s 。试求：（ 1）在最初 4 s 内作用力 F 所做32ttx的功；（2） t = 1s 时，力 F 对质点所做功的瞬时功率。解 （1）由 238dttv得 时， ， 时，0t10s.341s.9v由动能定理 J0.5220mA（2）由 ttva68d得 时， ，则 1t2s. NaF时， ，所以 1vW12vP416 质量为 1kg 的物体，以初速度 从高度 240 m 处自由落下，并陷入沙s.4 oyx习题 414 用图x1OF = kxx221坑中，陷入的深度为 0.2 m ，不计空气阻力，求沙对物体的平均阻力。解 物体下落 h 距离 22
39、011mvghv陷入沙坑深度 S fss所以 201)(vgfs代入数值得 f = 1.2104 N417 劲度系数为 k 的轻弹簧竖直悬挂，弹簧下端挂一物体，平衡时弹簧已有一伸长。若以物体的平衡位置为竖直 y 轴的原点，取物体的平衡位置作为弹性势能和重力势能的零点。试证：当物体的位置坐标为 y 时，弹性势能和重力势能之和为 。21ky证 设在平衡时弹簧已被拉长 ，则 00kymg当物体再下降距离 y 时，弹性势能为 ykE022021p)(以平衡位置为重力势能零点，则此时重力势能为 yk2p此时弹性势能和重力势能的和为 201p 1418 有一种说法认为地球上的一次灾难性物种（如恐龙）绝灭是
40、由于 6500 万年前一颗大的小行星撞入地球引起的。设小行星的半径是 10km，密度为 6.0103 kg/ m3（和地球的一样）它撞入地球将释放多少引力势能？这能量是唐山地震估计能量的多少倍？（1976 年，,唐山地震释放的能量约为 1018J。 ）解 小行星落到地面上所释放的引力势能为 EAAERGMrp由于小行星运行轨道半径 比地球半径 大的多，所以有ArEREpmGM34AErJ106.24p此能量约是唐山地震释放能量（约 1018J）的 106 倍。419 两颗中子星质量都是 1030 kg ，相距 1010 m 。如果它们最初都是静止的。（1）当它们的距离减小到一半时，它们的速度各
41、是多大？（2）当它们就要碰到时，它们的速度又将各是多大？解 （1）由机械能守恒可得，对两中子星的距离 r 减小到一半的过程，有212/vrGm由此得 s10.831rv22（2）同理，要碰上的过程，有 212mvRGrm由此得 = 4.1107 m / sRGv122420 如题图所示，有一半径为 R 的半球形光滑面，有一物块从半球形光滑面的最高点由静止沿球面滑下，若摩擦力略去不计。求此物块离开半球面的位置以及物块在该位置的速度。解 系统机械能守恒 cos21gvg物块沿法向 RmTcos物块脱离球面时，支持力 T= 0，所以 o2.483arcs物块此时的速率为 oggvv 的方向与重力 P
42、 方向的夹角为 o8.4190421 一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，离开地面的高度等于地球半径的 2 倍（即 2R） 。试以 m、 R ，引入恒量 G ，地球质量 M 表示出：（1）卫星的动能；（2）卫星在地球引力场中的引力势能；（3）卫星的总机械能。解 （1）对卫星用牛顿第二定律 Rmv3)(2由此式可得卫星的动能为 Ek621（2）引力势能为 GMp3（3）卫星的总机械能为 RGmMRmpk 63422 一轻弹簧的原长为 ，劲度系数为 k，上端固定，下端悬挂一质量为 m 的物体，0l先用手托住，使弹簧保持原长。然后突然将物体释放，物体达最低位置时弹簧的最大伸长量和弹性力是多
43、少？物体经过平衡位置时的速率为多少？解 以 v 表示物体再落下一段距离 y 时的速度，则机械能守恒定律给出021mvkg物体达到最低位置时， ，上式给出 max,0kgy/ax此时弹力为最大值 kyfa物体经过平衡位置时，应有 0g习题 420 图Rm23由以上各式得 021212000 mvkgmvkymg由此得物体的速度为 ykg000/(423 质量 m1 的弹丸 A ，穿过如题图所示的摆锤 B 后，速率由 v 减少到 v/2 。已知摆锤的质量为 m2，摆线长度为 l ，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动 ，v 的最小值应为多少？解 碰撞 21vv摆锤达最高点（v 3 为摆锤在
44、最高点的速率） lvmg232摆锤从最低点到最高点 322211lvm所以 glv521424 如题图所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为M ，从与水平成倾角 30o 斜面上的点 B 由静止下滑。设斜面对车的阻力为车重的 0.25 倍，矿车下滑距离 l 时，与缓冲弹簧一道沿斜面运动。当矿车使弹簧产生最大压缩形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹性力作用，使之返回原位置 B 再装货。试问要完成这一过程，空载时与满载时车的质量之比应为多大？解 设弹簧被压缩的最大距离为 x，矿车在下滑和上行的全过程中，摩擦力所做的功为)(25.0.(f lMgmA式中 M 和 m 分别为矿车满载和空载时的质量。根据功能原理，在矿车运动的全过程中，摩擦力所做的功应等于系统机械能增量的负值，故有 )(kPf E由于矿车返回原位时速度为零，故E k = 0 ；而 ,故有sin)(xlgMmpsin)(f xlgMmA可解得 31425 如图所示，质量为 m1 的钢球以速率为 v 射向质量为 m2 的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为 k 的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动。求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离 . m1m2v习题 425 用图m2习题 423 用图Olm1 v BAMB习题 424 用图l24解 设弹簧的最大压缩量为 x0
