1、1-3一粒子按规律 沿 轴运动，试分别求出该粒子沿 轴正向运动；沿 3295x=t-+xxx轴负向运动；加速运动；减速运动的时间间隔。解 由运动方程 可得质点的速度t(1)136d2xttv粒子的加速度 (2)tva由式(1)可看出 当 t3s 时，v0，粒子沿 x 轴正向运动；当 t1s 时，a0，粒子的加速度沿 x 轴正方向；当 t3s 或 0t1s 间隔内粒子加速运动，在 1st3s 间隔内粒子减速运动。1-4一质点的运动学方程为 ， (m)。试求：2xt21y(1)质点的轨迹方程；(2)在 s 时，质点的速度和加速度。2t解 (1) 由质点的运动方程 (1) 2t(2)1y消去参数 t
2、，可得质点的轨迹方程 2)(x(2) 由(1)、(2) 对时间 t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度txv2d12dytv所以 (3)jijiyxt2dxta2dyta所以 (4)ji把 t=2s 代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。jiv24jia21-5质点的运动学方程为 ， ，其中 A、 B、 为正常数，质点的轨道tAxsntBycos为一椭圆。试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心。证明 由质点的运动方程 (1)i(2)t对时间 t 求二阶导数，得质点的加速度 tAtxasind22tBtycos22所以加速度矢量为 rjia22cossntBtA可得
3、加速度矢量恒指向原点椭圆中心。1-6质点的运动学方程为 (m)，试求：jir2t(1) 质点的轨道方程；(2) 时质点的速度和加速度。2st解 (1) 由质点的运动方程，可得tx22ty消去参数 t， 可得轨道方程241x(2) 由速度、加速度定义式，有 jirvttd/a22将 t=2s 代入上两式，得jiv4ja1-7已知质点的运动学方程为 ， ， ，其中 、 、 均为常cosxrttrysinz=ctrc量。试求：(1)质点作什么运动? (2)其速度和加速度；(3)运动学方程的矢量式。解 (1) 质点的运动方程 (1) trxcos(2) yin(3)z由(1)、(2) 消去参数 t 得
4、 22rx此方程表示以原点为圆心以 r 为半径的圆，即质点的轨迹在 xoy 平面上的投影为圆。由式(2)可以看出，质点以速率 c 沿 z 轴匀速运动。综上可知，质点绕 z 轴作螺旋运动。(2) 由式(1)、(2) 、(3)两边对时间 t 求导数可得质点的速度rxvsindttycozv所以 kjikji ctrtrvossnzyx由式(1)、(2)、(3) 两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度trtacosd22xtrtyasind220z所以 jikjia trtrasincos22zyx (3) 由式(1)、(2) 、(3)得运动方程的矢量式 kjijir ctt1-8质点沿 x 轴运动
5、，已知 ，当 s 时，质点在原点左边 52m 处(向右为 轴28tv8t x正向)。试求：(1)质点的加速度和运动学方程；(2)质点的初速度和初位置；(3)分析质点的运动性质。解 (1) 质点的加速度 tva4/d又 所以 txv/dvx对上式两边积分，得 ttv)28(所以 cx3/由题知 m5288t所以 c= m31457因而质点的运动方程为 38tx(2) /s8020vm31457x(3) 质点沿 轴正方向作变加速直线运动，初速度为 8ms-1，初位置为-457 m.311-9一物体沿 轴运动，其加速度与位置的关系为 ，且物体在 处的速度为x xa620x10ms-1。求物体的速度与
6、位置的关系。解 xvttvaddx对上式两边积分得 xva0010 d62221()=3得 46xv1-10在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为 ，其中 为重力加Bvgag速度， 为与物体的质量、形状及媒质有关的常数，并设 时物体的初速度为零。试求：B 0t(1)物体的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度 )值。解 (1) 由 得 tva/dtBvgd两边积分，得 tvgd即 cBtln)ln(由 t=0 时 v=0 得c=g所以，物体的速率随时间变化的关系为： )1(Btegv(2) 当 a=0 时 有 a=g-Bv=0 （或以 代入）由此得收尾速率 v
7、=g/B1-11一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速 ，其中 为常数， 是离kyaky开平衡位置的坐标值，并设 处物体的速度为 ，试求速度 与 的函数关系。0y0vv解 由 yttvadd对上式两边积分 yyv000 ka即 2211故速度 v 与 y 的函数关系为 202ykv1-12一艘正以速率 匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶。其加速度的大0v小与速度的平方成正比，即 ，其中 为正常数。试求舰艇在关闭发动机后行驶 距2a x离时速度的大小。解 xvttvddax对上式两边积分 vvxka00dd0化简得 0ln1vkx所以 kxe01-13一粒子沿抛物线轨道 运动，且知
8、 。试求粒子在 处的速度和2yxxv-13m s 2m3x加速度。解 由粒子的轨道方程 2对时间 t 求导数 (1)xydvttv再对时间 t 求导数，并考虑到 是恒量 x(2)2xydvta把 m 代入式(1)得 32x sm432yv所以，粒子在 m 处的速度为32x -122xs5v与 x 轴正方向之间的夹角 834arctgrtxyv由式(2)得粒子在 m 处的加速度为32x-22s18a加速度方向沿 y 轴的正方向。1-14一物体作斜抛运动，抛射角为 ，初速度为 ，轨迹为一抛物线 (习题 1-14 图)。0v试分别求抛物线顶点 A 及下落点 B 处的曲率半径。解 物体在 A 点的速度
9、设为 ，法向加速度为 ，曲AvnAa率半径为 ，由题图显然有习题 1-14 图0vyxAB(1) cos0Av=g (2)na(3)An2v联立上述三式得 g20cos物体在 B 点的速度设为 ，法向加速度为 ，曲率半径为 ，由题图显然有BvnBaB(4)0(5)cosnBga(6)n2v联立上述三式得 cos20Bg1-15一物体作如习题 1-15 图所示的抛体运动，测得轨道点 A 处的速度大小为 ，其方v向与水平线的夹角为 ，试求点 A 的切向加速度和该处的曲率30半径。解 设 A 点处物体的切向加速度为 ，法向加速度为 ，tana曲率半径为 ，则 ntag由图知 g5.03sit 2/c
10、onga又 所以 n2v gvva32/n21-16在一个转动的齿轮上，一个齿尖 P 沿半径为 R 的圆周运动，其路程随时间的变化规律为 ，其中 和 都是正常量。试求 时刻齿尖 P 的速度及加速度的大小。201svtb0vbt解 设时刻 t 齿尖 P 的速率为 v， 切向加速度 ，法向加速度 ，则 tanaRbtvattsv/)(/d/202nt 习题 1-15 图yx30所以，t 时刻齿尖 P 的加速度为 2402n2t /)(Rbtva1-17火车在曲率半径 的圆弧轨道上行驶，已知火车的切向加速度 ，4mR -20.m sta求火车的瞬时速率为 时的法向加速度和加速度。-10 s解 火车的
11、法向加速度 2-2ns5.01va方向指向曲率中心 火车的总加速度 -222tn sm3.0设加速度 a 与速度 v 之间的夹角为 ，则0tn4.512.arcarc1-18一质点沿半径为 的圆周运动，其角位置 。试求0.1m3t(1)在 时它的法向加速度和切向加速度各是多少 ?2st(2)切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时， 值为多少?(3)何时切向加速度与法向加速度大小相等?解 质点的角速度 21d/t质点的线速度 .0.Rv质点的法向加速度 ，切向加速度 为nata(1)422.1.)1(t(2)tva4./dt(1)把 t=2s 代入(1)式和(2) 式，得此时 2t4nm/s82/1031a(2)质点的总加速度 2/162tn)3(4.t由 得 a21t.50.解得 t=0.66s所以 rad1.34t(3) 当 即 时tna1有 t=0.55s1-19河宽为 d，靠河岸处水流速度变为零，从岸边到中流，河水的流速与离开岸的距离成正比地增大，到中流处为 。某人以相对水流不变的速率 垂直水流方向驶船渡河，0vv试求船在达到中流之前的轨迹方程。解 取图示坐标系kyvx已知 时，2d0代入上式得 vk所以 (1)yd0x又 v积分得 (2)ty代入(1)式得 vd0x2积分得 (3)2t由(2)、(3)消去 t 得20ydvx
