1、第一章第一节易误点 1 不能从实物中抽象出几何图形由一个物体的特征可以确定物体的形状、大小，从而得到几何体，立体图形是从实物中抽象出来的。例 1 在如图 1-1-9 所示物体中，哪些物体的形状是柱体？（1） （2） （3） （4）图 1-1-9解：（1） （2）是柱体。注意：柱体的共同特征是：上下底面平行且形状相同、大小相等。易误点 2 面动成体时，对情况考虑不全，导致漏解把一个平面图形绕一条直线旋转即可得到立体图形，即面动成体，判断由平面图形旋转得到的立体图形的形状时，一要靠想象，二要靠动手实践。例 2 直角三角形绕其一边所在直线旋转一周后所形成的几何体是什么几何体？解： 如图 1-1-10
2、 所示，有两种情况：一是圆锥；一是底面重合的两圆锥扣在一起的几何体。(1) （2）图 1-1-10注意：解本题时，常忽略绕斜边所在直线旋转的情况。因此，解决此类问题时，首先要明确绕哪条边所在直线旋转。第二节易误点 1 不能正确判断平面图形折叠成的立体图形的形状判断平面图形折叠成的立体图形的形状时，不能只凭想象，最好动手折叠，折叠时注意：折成的立体图形的形状；每个平面的位置。例 1 把如图 1-2-12 所示图形折叠起来，它会变成右边哪个正方体？图 1-2-12 A B C解： B。注意：解决此类问题时要熟悉正方体的各类表面展开图，还要动手实际操作，探索 规律，及时归纳。易误点 2 不能正确判断
3、正方体的表面展开图了解正方体的几种表面展开图；通过动手操作确定正方体的表面展开图；积累活动经验，培养空间观念。例 2 下列图形中可为正方体的表面展开图的是A B C D解：D。第三节易误点 不能准确判断截面的形状判断截面的形状时要综合考虑以下几方面：截面的位置，截面与其它面的关系，截面与哪些面相交。例 一个正方体的截面不可能是A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 七边形解：用平面去截几何体所得的截面就是这个平面与几何体的面相交的线所围成的图形。正方体只有 6 个面，所以截面最多有 6 条边，不会出现七边形。选 D。注意：判断截面的形状时，先找出平面与几何体各面相交而成的线，再判断截面形状。第
4、四节易误点 1 不能正确判断看到物体的形状判断从三个方向看物体的形状时，要观察物体想象图形的形状，注意画从上面 看圆锥的形状时不要漏掉顶点（圆心） 。例 1 画出从上面看如图 1-4-24 所示的圆锥的形状图。解：如图 1-4-25 所示。图 1-4-24 图 1-4-25易误点 2 根据从三个方向看到的形状图描述物体的形状时容易出错根据从三个方向看到的形状图描述由小正方体组成的物体的形状时，以从上面看到的形状图为基础，结合从正面和左面看到的形状图，得到每一行、每一列的小正方形个数，从而得到立体图形的形状。例 2 如图 1-4-26 所示，是从三个方向看到的由一些相同的小正方体构成的立体图形的
5、形状图，这些相同的小正方体的个数是（ ）从正面看 从左面看 从上面看图 1-4-26A.4 B.5 C.6 D.7解：D。注意：解决此类问题的关键是从三个方向看到的形状图观察出小正方体的行数和列数，从而得出小正方体的个数。第二章第一节易误点 认为带“+”的数是正数，带 “-”的数是负数正数前面的“+” 可有可无，但负数前面一定带 “-”。例 下面各数中哪些是正数？+2012, -3.2， ,10.58, -9, +1112解：正数有+2012, ,10.58, +11。第二节易误点 画数轴时，容易缺少某个要素数轴必须具备三个要素：原点、正方向和单位长度。在画数轴时易出现的错误有：（1）缺少正方
6、向；（ 2）缺少原点；（ 3）单位长度不统一。例 如图 2-2-10 所示，数轴有几条？分别是哪几条？（1） （2） （3） （4）解：数轴有一条，是（3） 。注意：（1）缺少单位长度， （2 ）缺少原点， （4）缺少正方向，都是错误的。第三节易误点 1 对绝对值意义理解不透，认为只有正数的绝对值是它本身正数和 0 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。例 1 如果有一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是（）A.负数 B.负数或 0 C.正数或 0 D.正数解：正数和 0 的绝对值是它本身，故选 C。注意： 解此类问题时容易漏掉 0。易误点 2 已知一个数的绝对值求这个数的时，容易漏掉其
7、中一个互为相反数的两个数的绝对值相等，是同一个数。例 2 绝对值等于 8 的数是（）解：因为|8|=8，|-8|=-（-8）=8，所以绝对值等于 8 的数是8。注意：绝对值等于 8 的数是指到原点的距离为 8 的点表示的数，因此这样的数在原点左右两侧都存在，解此类问题时容易只写 8 或-8。第四节易误点 1 在进行有理数加法运算时，容易忽略符号在进行有理数加法运算时，可分为两步：1.确定符号；2.进行运算。例 1 计算：（-4.5）+0.5解：（-4.5）+0.5=-（4.5-0.5）=-4注意： 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，此类题容易带错符号。易误点 2 认为两数之和一定大于每一个
8、加数两正数相加时，两数之和一定大于每一个加数；但是，两有理数相加时，两数之和不一定大于每一个加数。例 2 两有理数相加时，两数之和一定大于每一个加数吗？解：不一定。如一正数和一负数相加时，和小于此正数；一有理数和 0 相加时，和等于此有理数；两负数相加时，和小于每一个加数。注意：“两数之和一定大于每一个加数”只满足于正数相加。第五节易误点 将有理数减法转化为加法时，符号易错。将有理数减法转化为加法的法则是：减去一个数，等于加上这个数的相反数。例 计算：（+6 ）+（ ）1125 110 15解：原式=（+6 ）+ （ ）+（11 ）=（+6 ）+（ +11 ）= （+6 ）+ （ 25 110
9、 15 25 110 15 2511 ）=（+6 ）+（ 11 ）= 4310 410 310 910注意 ：解此类题时，容易认为11 是减去 11 ，等于加上+11 。其实是加上11 。15 15 15 15第六节易误点 1 将有理数加减混合运算统一成加法运算时，符号容易出错进行有理数加减混合运算时，应先用有理数的减法法则把加减法统一为加法，然后再写成省略加号、括号的和的形式。例 1 计算： 2+（ 3）（45）+（12）解：原式= +（ ）+ +（ ）= 3+45 = 23=15注意：本题在写成和的形式的过程中，易把（ ）误以为4。易误点 2 使用运算律交换位置时，漏移符号进行有理数加减混
10、合运算时，为简化计算过程，常用到加法交换律和结合律。在交换位置时，要连同加数的符号一起交换。例 2 计算：1()2357)01(2740解：1371373=574254201520 0原 式注意：在本题，第一项和第三项结合时，容易误写成()2，没有考虑1()2前的负号。第七节易误点 1 多个有理数相乘时，积的符号容易出错在进行有理数乘法运算时，积的符号是由负因数的个数决定的。例 1 计算：3(5)(2)10（ -解：原式()注意：本题有 3 个负因数，因此积的符号为“” 。易误点 2 运用乘法对加法的分配律时，容易漏乘“”例 2 计算：1()(4836解：1=(61284原 式 -48)-)-
11、)注意：本题用 去乘括号内的各项时，不要漏掉各项的符号。第八节易误点 1 连除违背运算顺序当两个以上的数连除时，应该按照从左到右的顺序依次进行。例 1 计算：251()3513=解 ： 原 式注：本题容易先算5()3=()导致出错。易误点 2 进行有理数除法运算时，误用乘法运算律进行有理数除法运算，特别是除数是几个数的和的形式时，容易先用被除数除以括号里的各项，然后相加减。例 2 计算：1571()36293825136=()()625解 ： 原 式注意：解决此类问题时，应该先算括号里的，再算括号外的。第九节易误点 1 进行分数乘方运算时，容易出错分数乘方时，分子的乘方为分子，分母的乘方为分母
12、。底数是负数时，要根据乘方的次数决定符号。例 1 3()5计 算 ： 27=()()51解 ： 原 式注意：记得带上符号。易误点 2 对幂的意义理解不透而带错符号在进行幂的有关运算时，区分 ()na与 （ a为非 0 有理数） ，前者是 n个()a相乘，后者是 na的相反数。例 2 排列顺序： 2， 2(1)， 3解： 4， ()， ，所以 2 3(1) 2注意：本题容易将 2误以为 2 个 ()相乘。第十节易误点 1 把用科学计数法表示的数还原为原数时出错还原时误以为 10 的几次方，后面就有几个 0，或位数不够时漏补 0。应该是n 是几，就把小数点向右移几位。例 1 把用科学计数法表示的数
13、 86.031还原为原数解： 86.030注意：本题容易写成 60300000000。第十一节易误点 进行有理数混合运算时，运算顺序容易出错在进行有理数混合运算时，要按照正确的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号里的，同级运算，按照从左到右的顺序进行计算。例 213604()计 算 ： -5=-9+5)94解 ： 原 式 （注意：本题容易出现两个错误，1：将 23前的符号漏掉，2 ：先算14()。第十二节易误点 在输入算式时容易漏掉括号例 用计算器计算：23(4.378)5解：按键顺序为25x，结果为 14.6。第三章第一节易误点 不能正确用字母表示数量关系利用字母表示
14、数量关系时，要先从特殊情况中找出规律，再用含有字母的式子表示出规律。例 如图 3-12所示，各个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个端点）有 n()盆花，每个图案花盆的总数是 S，按照此规律推断 S 与 n的关系式n=2,s=3 n=3,s=6 n=4,s=9 图 3-12答：S=3n 3注意：在用字母表示图形的排列规律时，要先从已知的图形中发现规律，然后推广到一般情况，写出关系式。第二节易误点 1 列代数式时出错列代数式的关键是审清题意，明确运算顺序。例 1 用代数式表示： a 与 b 的 2 倍的和除以 c 所得的结果。解：2abc易误点 2 求代数式的值时，如果代入的数
15、值是负数时，容易漏掉括号求代数式的值时，如果代入的数值是负数时，此负数应该用括号括起来。例 2 当 a=4,b=2,c= -1 时，求 a-bc 的值。解：当 a=4,b=2,c= -1 时，a-bc= 42(1)6第三节易误点 1 判断单项式的系数和次数时出错单项式的系数是单项式中的数字因数，不要漏掉符号；单项式的次数是单项式中所有字母的指数和。例 1 指出下列单项式的系数和次数。252;3xyab解： 的系数是 ，次数是 3； 52ab的系数是 53，次数是 3。注意 （1） 是数字而非字母；（ 2） 是数字，故计算次数时不要算上 5。易误点 2 对多项式的项和次数理解不透而出错多项式的项
16、是多项式中的每个单项式，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数。例 2 对于多项式2135xyx，下列说法正确的是（）A.是六次四项式 B.最高次项的次数是 2 C.一次项是12D.常数项是 5解：多项式2135xyx由213,5xy这 4 项组成，其中 2xy的次数最高，是 3，故此多项式是三次四项式；它的最高次项的系数是 ，常数项是 5。注意 确定每项的系数时一定记得带上它前面的符号。第四节易误点 1 判断同类项时出错判断同类项时要注意两点：1.所含字母相同；2.相同字母的指数也相同。例 1 下列单项式中是同类项的有？ 22()-5;()1-5xyxy和 和解：（1）是同类项；（ 2
17、）不是同类项。注意：（1）中字母顺序虽然不同，但所含字母相同，相同字母的指数也相同，所以是同类项。易误点 2 括号前是 “，去括号时未改变符号括号前是 ，去括号时各项的符号都要改变。例 2 2213)4(1)xx计 算 ： （解：原式= = 265x第五节易误点 所找规律不满足题意解决探索规律的问题的一般方法是先从已知中发现规律，然后再用规律解决问题。找出的规律应能够反映问题的全部特征。例 观察下列各式：(1)2,46,(3)21,(4)26820,(5)468+103， 根据你发现的规律，写出第 n 个式子。解： 8+()n注意：本题易写成 2(1)n。第四章第一节易误点 混淆直线、射线、线
18、段用两个大写字母表示线段和直线时，字母无先后顺序；用两个大写字母表示射线时，表示端点的字母写在前面，只有端点相同，方向也相同的射线才是同一条射线。例 如图 4-1-16 所示，下列几何语句错误的是（）A.直线 AB 与直线 BA 是同一条直线B.射线 OA 与射线 OB 是同一条射线C.射线 OA 与射线 AB 是同一条射线 图 4-1-16D.线段 AB 与线段 BA 是同一条线段解：C.注意：不要误以为只要端点相同的射线就是同一条射线。第二节易误点 1 理解不透“ 两点间的距离”两点间的距离，即两点之间线段的长度。距离是一个数值，不是线段本身。例 1 下列说法正确的是：（1 ）A，B 两点
19、间的距离是线段 AB；（2 ）A，B 两点间的距离是线段 AB 的长度；（3）A，B 两点间的距离为 100cm。A.（1） （2） B.（2） （3 ） C.（1 ） （3） D.（2）解：B.易误点 2 图形不确定时求线段的长度容易漏解例 2 已知线段 AB=3cm,在直线 AB 上的一条线段 BC=1cm,D 是线段 AC 的中点，求 CD 的长度。解：如图 4-2-18（1） （2 ）所示。（1）当 C 在线段 AB 的延长线上时，CD=312()2ABCDcm（2）当 C 在线段 AB 上时，CD=()c综上所述，CD 的长度为 2cm 或 1cm。第三节易误点 角的表示方法同一顶点
20、处有多个角时，不能用一个大写字母表示角。例 如图 4-3-15 所示，图中有哪几个角？解：有AOC,AOB, BOC.图 4-3-15第四节易误点 对角的平分线的概念理解不透例 若BOC=12AOB，则 OC 是否为AOB 的角平分线？（1） （2） 图 4-4-15解：不一定，可能有两种情况（如图 4-4-15 所示） ，当 OC 在AOB 的内部时，OC 是AOB 的角平分线（如图 4-4-15（2）所示） 。第五节易误点 对正多边形的概念理解不透而出错各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。往往忽略各角也相等这个条件。例 一个四边形的四条边都相等，该四边形是正四边形吗？解：不一定。如图
21、4-5-17 所示，四条边都相等，但各角不相等的四边形不是正四边形。图 4-5-17第五章第一节易误点 错用等式的基本性质将方程变形运用等式的基本性质时，必须使等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不是0 的数） ，所得的结果才是等式。例 解方程：13x解：方程两边同时除以 ，得19x。第二节易误点 解一元一次方程的基本步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。去分母时，方程两边同乘各个分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项，同时要把分子作为整体加上括号，同时，移项不要忘变号例 解方程：3265x解：去分母，得 10x。移项，得 36210x。合并同类项，得 2x。系数化为 1，得
22、 。注意 去分母时，不含分母的项 2 不要漏乘 5。第三节易误点 列方程时单位不统一例 在一个底面直径为 0.2m的圆柱形水桶里盛水，把 936g的钢球全部浸没在水中，若取出钢球，则水面下降了多少厘米？（ 31cm钢质量为 7.8， 取 .14，结果精确到0.1cm）解：设水面下降了 x厘米，根据题意，得20936()7.8解方程，得 x 0所以水面下降了约 .3厘米。注意 列方程时 m化成 c。第四节易误点 误解销售问题中的有关概念明确商品的“利润=售价进价， ”，是解决销售问题的=10%售 价 -进 价利 润 率 进 价关键，不要误用公式而出错。例：某商品售价为 a 元，利润 20%，则进
23、价为元。答案： 120%注意：本题不要误以为分母是 20%第五节易误点 混淆体重有关量的和、差、倍、分关系例：某车间有 28 名工人，生产某种螺栓和螺帽，一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套，每人每天平均生产螺栓 12 个或螺帽 18 个，问：多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使一天所生产的螺栓和螺帽刚好配套？解：设 x 名工人生产螺栓，则有（28-x）名工人生产螺帽。根据题意，得 128()xx解得 x=12，,28-x=16因此，12 名工人生产螺栓， 16 名工人生产螺帽第六节易误点 列方程式单位不统一当方程中的量较多，且单位不统一时，找等量关系列方程式时，要将单位统一，否则等
24、式不成立例 甲、乙两人分别从相距 1500km 的 A， B 两地出发，相向而行，3min 后相遇，已知乙的速度是 5m/s，求甲的速度。解：设甲的速度是 x m/s，根据题意，得 .解得 .180510x103x因此，甲的速度是 m/s.10注意：题目中有两个不同的单位，一定要将单位统一。第六章 数据的收集与整理第一节易误点 收集数据的方式不合理收集数据的方式有多种，采用哪种方式收集数据是由调查问题及调查对象来确定的。要根据实际情况来选择，选择的方式要考虑方便实用，否则视为不合理。例 某电视台为了在某市调查节目的收视率，每个看电视的人都要被问到吗？你认为采取哪种方式收集数据较好？分析：在这种
25、情况下，被调查的对象太多，不可能采取试验等方式，否则费事费力，因此可以在有代表性的地方展开调查。解：不一定都要被问到，可在有代表性的地方采用问卷调查。第二节易误点 1 不理解所要调查的对象不理解“考察对象”的含义，导致对问题中的总体、个体、样本判断有误。例 1 要了解一批炮弹的杀伤半径，从中抽取了 5 发炮弹测量了其杀伤半径，在该问题中总体、个体、样本各指什么？解：总体：这批炮弹杀伤半径的全体；个体：每个炮弹的杀伤半径；样本：5 发炮弹的杀伤半径。注意：“考察对象”是指表示事物某一特征的数据，而不是事物本身，本题中要考察的是炮弹的杀伤半径，而不是炮弹。易误点 2 在抽样调查时，选取的样本不合理
26、在选取样本时，由于对样本不理解，选出的样本不具有代表性而出现错误。例 2 某市教育局要调查全市各个初中九年级学生的学习情况，让每个学校选出 20 名学生参加学习竞赛。这种做法是否合理？解：这种做法不合理，因为选取的 20 名学生不能代表各初中九年级学生的学习情况。注意：在选取样本时，为使样本具有代表性，可从下面的两个方面考虑：（1）样本的选取要有随机性；（2）样本的各个层次都不要有遗漏。第三节易误点 1 误用百分比的大小判断具体数量的大小在扇形统计图中只有各部分与总体的百分比而没有给定数据总数时，不能求出各部份的数量例 1 观察统计图，下列结论正确的是（ ）A. 甲校女生比乙校女生少B. 乙校
27、男生比甲校男生少C. 乙校女生比甲校男生多D. 甲、乙两校女生人数无法比较答案：D注意：扇形统计图反映的是部分在总体中所占的百分比，而不是反映各部分的具体数量，在同一扇形统计图中，那一部分所占的百分比大，哪一部分的数量就多，但在两个扇形统计图中由于总体的数量不一定相同，所以不能用百分比的大小去判断具体数量的多少，这就是容易出错之处，要注意。易误点 2 对频数分布直方图的意义理解不透，不能由图获取正确信息频数分布直方图中，频数越大，小长方形就越高，频数的大小可以根据纵轴对应的数量来确定。例 2 某班 48 名学生，在一次语文测试中分数只取整数，统计其成绩，绘制出频数分布直方图。如图所示，从左到右
28、的小长方形的高度比是 1:3:6:4:2,则由图可知其分数在 70.5 到 80.5 之间的人数是多少？解：设第一小组的频数为 a，其他小组的频数分别为 3a，6a ，4a ，2a 。由已知得a+3a+6a+4a+2a=48，解得 a=3，故6a=18，即分数在 70.5 到 80.5 之间的有 18 人。注意：本题易错为 70.5 到 80.5 之间的人数是 6 人，题设给出小长方形高度比为1:3:6:4:2，实质上是各小组频数之比，正确理解频数直方图，知道小长方形的高表示的数量是解决问题的关键。第四节易误点 混淆三种统计图的特点，不能选择合适的统计图例 要清楚地反映某同学数学成绩的变化情况。应选择的统计图是（ ）A、条形统计图 B、折线统计图C、扇形统计图 D、以上都可以答案：B注意：在进行数据描述时往往不能正确地选择和使用统计图，从而导致结果不直观、不准确，理解三种统计图各自的特点，是选用合适的统计图描述数据的关键。
