1、第六章 真空中的静电场习题选解6-1 三个电量为 的点电荷各放在边q长为 的等边三角形的三个顶点上，电荷r放在三角形的重心上。为使每(0)Q个负电荷受力为零， 之值应为多大？Q解：以三角形上顶点所置的电荷( )为q例，其余两个负电荷对其作用力的合力为 ，方向如图所示，其大小为1f 题 6-1 图221 0043cos4rqrqf 中心处 对上顶点电荷的作用力为 ，方向与 相反，如图所示，其大小为Q1f22320044rQqrf由 ，得 。12fQq6-2 在某一时刻，从 的放射性衰变中跑出来的 粒子的中心离残核 的238U234Th中心为 。试问：（1）作用在 粒子上的力为多大？（2） 粒子的
2、加速59.0rm度为多大？解：（1）由反应 ，可知 粒子带两个单位正电荷，即238234990Th+He191.20QC离子带 90 个单位正电荷，即Th 19294e它们距离为 159.0rm由库仑定律可得它们之间的相互作用力为： 1919912 5203.204(.)4()QF Nr（2） 粒子的质量为：-q-q-qQ1f2f2727272()(1.60.1)6.810pnm Kg 由牛顿第二定律得： 282758Fams 6-3 如图所示，有四个电量均为 的点电荷，分别放置在如图所示的Cq6101，2，3，4 点上，点 1 与点 4 距离等于点1 与点 2 的距离，长 ，第 3 个电荷位
3、于m2、4 两电荷连线中点。求作用在第 3 个点电荷上的力。解：由图可知，第 3 个电荷与其它各电荷等距，均为 。各电荷之间均2rm为斥力，且第 2、4 两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力平衡。由库仑定律，作用于电荷 3 的力为题 6-3 图题 6-3 图NrqF2213008.4力的方向沿第 1 电荷指向第 3 电荷，与 轴成 角。x456-4 在直角三角形 的 点放置点电荷 ， 点放置点电荷ABCCq9108.B，已知 ，试求直角顶点 处的场强 。q9208.40.4,0.m E解： 点电荷在 点产生的场强为A， 方向向下1E1421018.4Vrq点电荷在 点产生的场强为
4、，方BC2E向向右1420207.4mVrE题 6-4 图根据场强叠加原理， 点场强C14210.3mVE设 与 夹角为 ，EB2tan12rctanrcta3.7E6-5 如图所示的电荷分布为电四极子，它由两个相同的电偶极子组成。证明在电四极子轴线的延长线上，离中心为 （ ）re的 点处的电场强度为 ，式中P403QE，称为这种电荷分布的电四极矩。2eqrQ 题 6-5 图解：由于各电荷在 点产生的电场方向都在 轴上，根据场强叠加原理Px2220004()4()e eqqErrr2206()e由于 ，式中 可略去er2er402604rqqEeP又电四极矩 2eQ故 403rQEP题 6-5
5、 图6-6 如图所示，一根很长的绝缘棒，均匀带电，单位长度上的电荷量为 ，试求距棒的一端垂直距离为 的 点处的电场强度。dP解：建立如图所示坐标，在棒上任取一线元 在 点产生的场强为xE题 6-6 图)(4)(4202020 dxdxrdqE场强 可分解成沿 轴、 轴的分量y2sindxEdx 2coEy题 6-6 图0232)(4dxdxx1220()8004d3102220004 4()()yydxxE d 点场强 P dEyx024方向与 轴夹角为 Yarctn5xy6-7 一根带电细棒长为 ，沿 轴放置，其一端在原点，电荷线密度 （l2 Ax为正的常数） 。求 轴上， 处的电场强度。A
6、xb解：在坐标为 处取线元 ，带电量为 ，该线元在 点的场强为 ，dxAxdqPdE方向沿 轴正方向x20)(4xlbqdE整个带电细棒在 点产生的电场为l xlbAddE202)(4题 6-7 图xlbdxlblAl 22420 )()(20202l l xlld20 000(1ln84)l lAAblblx)2(l40l场强 方向沿 轴正方向Ex6-8 如图所示，一根绝缘细胶棒弯成半径为 的半圆形。其上一半均匀带电荷 ，另一Rq半均匀带电荷 。求圆心 处的场强。qO解：以圆心为原点建立如图所示 坐标，xy题 6-8 图在胶棒带正电部分任取一线元 ，与 夹角为 ，线元带电荷量 ，在dlAdl
7、Rq2点产生电场强度O dRqlqRE2030204把场强 分解成沿 轴和 轴的分量dExysindcoEy2220 0sinxxqqEddRR2220 0coyy题 6-8 图同理，胶棒带负电部分在 点的场强 沿 轴方向的分量 与 大小相等，方OExxE向相同；沿 轴方向的分量 与 大小相等，方向相反，互相抵消，故点场强为yy方向沿 轴正向。202RqExx6-9 一无限大均匀带电平面，电荷面密度为 ，在平面上开一个半径为 的圆R洞，求在这个圆洞轴线上距洞心 处一点 的场强。rP解：开了一个圆洞的无限大均匀带电平面，相当于一个无限大均匀带电平面又加了一块带异号电荷，面密度 相同的圆盘。距洞心
8、 处 点的场强rPpE式中 为无限大均匀带电平面在 点产生的场强 题 6-9 图 P02E方向垂直于平面向外为半径为 的均匀带负电圆盘在其轴线上距中心为 处的 产生的场强。在圆ERrP盘上取半径为 ，宽为 的细圆环，在 点产生场强rrdP23202320 )(4)(4rdrdqE RR rdrd 021200232 )()(方向垂直圆盘向里20(1)r故 方向垂直平面向外2120)(REP6-10 如图所示，一条长为 的均匀带电l直线，所带电量为 ，求带电直线延长线q上任一点 的场强。P解：在坐标为 处取线元，带电量rdrlqd2该线元在带电直线延长线上距原点为 的x点产生的场强为P 题 6-
9、10 图题 6-10 图20)(4rxdqE整个带电直线在 点的场强P l l llrxlqrxdqrxlqddE )1(8)(8)(24 02020 220001()8()4()qllxl l6-11 用场强叠加原理，求证无限大均匀带平面外任一点的场强大小为（提示：把无限大平面分成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分） 。02E解：（1）建如图 坐标，以板上任一点 为圆心，取半径为 ，宽度为()axyzOr的环形面积元，带电量为：dr。rdq2由圆环电荷在其轴线上任一点 的场强公式)(xP2320)(4rdE方向沿 轴正方向。x点总场强P302()xrdEd1200()rx题 6-11 图
10、()a（ ， 的方向沿 轴正方向） 0Ex（2）建如图 所示的三维坐标，在()b与 轴相距为 处取一细长线元，沿 轴方zyy向单位长度带电荷为 ，由长直带电直d线场强公式，线元在 轴距原点 为 的点xOa的场强P2021ayddE题 6-11 图()b由于对称性， 的 轴分量总和为零所以 cosdx220 0arctnadyyy 002因为 ，所以 的方向沿 轴正方向。Ex6-12 如图所示，半径为 的带电细圆环，线电荷密度 ， 为常数，Rcos00为半径 与 轴夹角，求圆环中心 处的电场强度。RxO解：在带电圆环上任取一线元 ，带电量为 ，线元dlRddlqs0与原点 的连线与 轴夹角为 ，
11、在 点的场强 大小为OE题 6-12 图 dRdRdqEcos4cos402020沿 轴和 轴的分量dExy dRdEx 20cos4cosy inin0整个带电圆环在 点的场强 沿 轴和 轴的分量Oxy 20 02002 4)sin41(cos4 RRdRdExx 20 200)i(sinyy故 04xERii的方向沿 轴负方向。Ex6-13 如图所示，两条平行的无限长均匀带电直线，相距为 ，线电荷密度分别d为 和 ，求：（1）两线构成的平面的中垂面上的场强分布；（2）两直线单位长度的相互作用力。解：（1）在两线构成平面的中垂直面上任取一点 距两线构成平面为 ，到两线Py距离为 。两带电直线
12、在 点的场强为22()dyP21201)4(dyE21202)(y题 6-13 图由于对称性，两线在 点的场强沿 轴Py方向的分量，方向相反，大小相等，相互抵消 1212cosxEE11220()()4ddyxyoE1E2Ed / 2- d / 2 +-+ -P题 6-13 图方向沿 轴正方向20()4dy x（2）两直线相距为 ，带正电直线在带负电直线处的场强为 。由dE02，带负电直线单位长度的电荷受电场力 ，方向指向带正电直qEF dF02线。同理，带正电直线单位长度受电场力 ，方向指向带负电直线。d02故有 ，两带电直线相互吸引。F6-14 如图所示，长为 、线电荷密l度为 的两根相同
13、的均匀带电细塑料棒，沿同一直线放置，两棒近端相距为 ，求两l棒间的静电相互作用力。 题 6-14 图解：（1）建立如图所示 坐标，在左棒中坐标为 处取线元 ，带电量 ，xxdxdxq线元 在坐标 处的场强dxr20)(4xrdE左棒在坐标 处点的场强r 题 6-14 图l lxrdxrdd0022)(4)(410 001()()()444lldrxrxrl（2）在右棒中坐标为 处取线元 ，带电量 ，该线元受电场力dq)1(402rlEdqF右棒受总电场力为 l ll rdrdrlrdF32 323200 )(4)1(42 2320 004ln()llnln4 3lr 的方向沿 轴正方向。两棒间
14、的静电力大小相等，方向相反，互为斥力。x6-15 用细的不导电的塑料棒弯成半径为 的圆弧，棒两端点间的空隙为cm5，棒上均匀分布着 的正电荷，求圆心处场强的大小和方向。cm2C9102.3解：有微小间隙的带正电圆弧棒，等效于一个相同半径的带正电圆环加个弧长等于间隙的带负电小圆弧棒。由场强叠加原理，圆心 场强OA0B圆 棒E对于均匀带正电的圆环，由于对称性在圆心 的电场强度为零， 。0圆 环上一带负电小圆弧棒相对于圆心 可近似O题 6-15 图看成一个点电荷，电量为： dlRq2A0014BEl130274.8mVRqdl圆心处场强 ，方向指向空隙。A10.74BEVm6-16 如图所示，一点电
15、荷 处于边长为的正方形平面中垂线上， 与平面中心q q点相距 ，求通过正方形平面的电场强度通量 。O/2a e解：以点电荷所在处为中心，以图中正方形为一面作一边长为 的正方体，由高斯a定理知：通过正方体表面的电通量为 0qdAESo q题 6-16 图 则通过该正方形平面的电通量为 。066-17 设匀强电场的场强为 ， 与半径为 的半球面的轴线平行。试计算通ER过此半球面的电场强度通量。解：方法一：在半球面上取宽为 的环状面积元，dldrSsin2通过面元 的电场强度通量dSEecosdRin2通过整个半球面的电场强度通量 20cosiEdee RR2022sin1题 6-17 图方法二：通
16、过半球面的电场强度通量与垂直通过大圆面 的电场强度通量相等。S通过 面的电场强度通量：S ERSe2故通过半球面的电场强度通量亦为 。26-18 在量子模型中，中性氢原子具有如下的电荷分布：一个大小为 的电荷e被密度为 的负电荷所包围， 是“玻尔半径 ”， ， 是02a/rCe0100.53mC为了使电荷总量等于 所需要的常量。试问在半径为 的球内净电荷是多少？距核0远处的电场强度多大？0解：由 ，可得02a/rCe 02202440edrCedra/r由 0303020 3002032 48880 axaeadre/ra/r原式成为 eC43所以 30a要求半径为 的球内的静电荷。应先求半径
17、 的球内的负电荷0a q0 002/2 2344.3aaraeqrdde球内净电荷为 19.67.8eqC由高斯定律 0204daEAS.1046.315.89120920 mVq6-19 在半径分别为 , 的两个同心球面上，分别均匀带电为 和 ，求空1R2 1Q2间的场强分布，并作出 关系曲线。rE解：电荷在球面上对称分布，两球面电荷产生的电场也是球对称分布，场强方向沿径向向外。（1）以球心 为圆心， 为半径（ ）作一同心球面，由高斯定理，球面Or10Rr包围电荷量为零，即 IsdAES因而 I0（2）以 为圆心，半径为 （Or ）作一同心球面，由21Rr高斯定理1I0sQdAES21I04
18、r201rQEI题 6-19 图（3）以 为圆心，半径为 （ ）作一同心的球面，由高斯定理Or2R12I0sQdAES212I04r所以 12I0QEr曲线如图 6-19 所示。rE6-20 设均匀带电球壳内、外半径分别为 和 ，带电量为 。分别利用高斯1R2Q定理与用均匀带电球面的电场叠加求场强分布，并画出 图。rE解：由于电荷分布具有球对称性，空间电场分布也具有球对称性。（1）在 的区域，电量为零。1rR由高斯定理 ，因而各点场强为零。0sdAES（2）在 区域，以 为半径作同心球面。12rr由高斯定理 0sqdES由 3313214()4QqVrRR)(431202RrQE因此 3120
19、r（3）在 区域，以 为半径作同心球面，2rRr由高斯定理 0sqQdAES024r20rQE曲线如图 6-20 所示。rE 题 6-20 图6-21 无限长共轴圆柱面，半径分别为 和 ( )，均匀带电，单位长度1R21上的电量分别为 和 。求距轴为 处的场强(1) ；(2) ；(3) 。12rr2rR2r解：（1）在半径为 的圆柱面内作半径为 ，高为 的同轴圆柱面，作1R(1)l为高斯面。通过此高斯面的通量 0ssssqdddAA侧上 底 下 底ESES各点 垂直于轴线，上下底面电通量为零 02侧rl因而 (E1R)（2）在半径为 、 的两圆柱面间作半径为 ，高为 的同轴圆柱1R2 r(21
20、R)l面作为高斯面，由高斯定理 10sqldAES10sld侧ES012lr可见 rE01（3）同理在 的区域 2rR0216-22 一半径为 的无限长带电圆柱，其体电荷密度为 ( )， 为常数。r00求场强分布。解：（1）在圆柱体内 处（ ） ，取一rR点 ，过 以底面半径为 ，高为 作闭合同Pl轴圆柱面。圆柱面包围的电荷量 00(2)rrqdVldr题 6-22 图33002rllr通过圆柱侧面的电通量为 ，通过两底面的电通量为零，由高斯定理E0sqdAS302rllE可得 的方向沿矢径 的方向023r（2）在圆柱体外 处（ ）取一点 ，过 点以底面半径为 ，高为 作闭合rRPl同轴圆柱面
21、。圆柱面包围电荷量 RRRldrldrldVq00030322)( 由高斯定理 0sqdAES302lRrl得 的方向沿矢径 的方向rE03Er6-23 如图所示，一电量为 的电荷从坐标原点 运动到点 。设电C712O)4,(场强度为 。412()NEij（1）试计算经下述路径时，电场力做的功 ),(0,4),.(A),(0,.B)4,(,0,.（2）点 相对坐标原点 的电势差。,O解：（1）电荷在电场中运动时，电场力做功 ()xyzAqdEdl（a）路径为 4,)0, 0)4,()0,4( yqxyxE（b）路径为 ,)()4,0dyExqA题 6-23 图（c）路径为 4,(,), 0)4
22、,(0),0( dxEqyA（2）点 相对于坐标原点的电势，即它们之间的电势差 ，等于单位正电荷(4,) U从点 移到 时，电场力所做的功。,O(0,)(4,)(,)4UVdEl6-24 如图所示，半径为 的均匀带电球面，带电量为 ，沿半径方向有一均RQ匀带电细线，线电荷密度为 ，长度为 ，细线近端离球心的距离为 。设球和细线上l l的电荷分布固定。求细线在电场中的电势能。题 6-24 图解：以带电球面圆心 为原点，通过带电直线作 坐标如图。带电球面在轴线Ox处场强为x方向沿 轴正方向204xQE该点的电势为 2004xxVdldx在带电细线上 处取线元 ，带电量为 ，线元 的电势能为qdQW
23、x04细线在电场中的电势能 l llQxxd2 0200 ln4n46-25 如图所示，试计算线性电四极子在很远处（ ）的电势。er解：在距电四极子很远处取一点 ，P距 为 ，夹角为 ，由点电荷电场的q2r电势 题 6-25 图 31 020100 44iiP rqrqVrq210由于 故 err21cos2er cos1er故 32120)()(4rqVP3120)(cos4rqe题 6-25 图230320coscos4rqrqee6-26 如图所示，点电荷 ，与它在同一直线上的 三点分别距C91 CBA、为 ，若选 为电势零点，求qcmc21、 B两点的电势 。CA、 CAV、 题 6-
24、26 图解：以点电荷 为原点，沿 的连线qq,建 坐标，在 坐标轴上，各点场强方向都沿 轴xxx正方向。题 6-26 图204xqE对于 、 两点，电势差ABBA dxqdxV2.0122.014E2.01 0.01. 5)(4 Vxxq由 ， 故 0BVVA5对于 、 两点，电势差为：C 3.02 3.02.3.02 15)(4VxqdxEdxCB 由 ， 故 0BVVC156-27 真空中一均匀带电细圆环，线电荷密度为 ，求其圆心处电势。解：在细圆环上取长为 的线元，带电量为dl dlq在圆心处产生的电势 RlqdV004整个带电圆环在圆心 的电势ORl20 002题 6-27 图6-28
25、 半径为 的球形水滴具有电势 。求：（ 1）水滴上所带的电荷量。mV3（2）如果两个相同的上述水滴结合成一个较大的水滴，其电势值为多少（假定结合时电荷没有漏失）？解：（1）设水滴所带电荷均匀分布在水滴表面。水滴内任一点场强为零，电势与水滴表面电势相等。对于水滴外任一点 ，电场强度xR204xQE水滴的电势 RddV20题 6-28 图001()44RQdxR故 pCV7.67.612（2）两水滴合成一较大水滴，电量 ，半径 ，水滴外任Q RR26.13一点 （ ）的电场强度x1.6R204xE大水滴的电势 RRdQdV26.120VRQxQR4762.14)(42026.10 6-29 两个同
26、心的均匀带电球面，半径分别为 ， ，已知内5cm20.c球面的电势为 ，外球面的电势 。 （1）求内、外球面上所带电量；160V23V（2）在两个球面之间何处的电势为零？解：（1）设内球面带电量为 ，外球面带电量为 ，由电势叠加原理1Q2Q2101064VVR22003由- 得： 90414210201 RQRQ410121 92.59 6.7. C将 的数值代入式可得：1Q1023.QC（2）在两球面之间，电势表达式为 20014RrVr令 ， 得0rV cmQ.216-30 如图所示，已知长为 ，均匀带电，电量为 的细棒，求 轴上一点l Qz的电势 及场强 的 轴分量 （要求用 来求场强）
27、 。),0(aPPPEzz VE解：在细棒某点 取线元 ，带电量xddxlq线元在 点的电势 2004axrV细棒在 点的电势PlPaxddV0242200ln()ln4lQxa题 6-30 图由电场强度与电势梯度的关系 ()VxyzEijkzz轴上任一点（ ）的电势为 zz,0zllQV20n4故 )ll(20zzEz 220 14()Ql zlzl20220 4zlQllzl 在 点，),0(aPz 204alEz6-31 两无限长带异号电荷的同轴圆柱面，单位长度上的电量为 ，180.3mC内半径为 ，外半径为 ，一电子在两圆柱面间沿半径为 的圆m210m21 2周路径匀速转动。问此电子的
28、动能为多少？解：设圆柱面单位长度的电量为 ，两同轴圆柱间的场强rE02电子作匀速圆周运动的向心力由电场力提供 emaFn20rv20e题 6-31 图所以电子的动能 217014.32keEmJv6-32 一电偶极子放在均匀电场中，其电偶极矩与场强成 角，场强的大小为30，作用在电偶极子上的力偶矩为 ，试计算其电偶极矩和电1302mV mN21.5势能。解：电矩 与电场夹角为电偶极子受力偶矩eqPl qMlEsinmCEqlPe 510.sin的方向由负电荷指向正电荷，与 成 角。e E3设电偶极子 所在点 的电势为， ab，。 在 两点的电势能 ，abU， q， , aWqU，电偶极子的电势
29、能W +- q lqq +- ab E题 6-32 图()cosabEl2cos8.610ePEJ6-33 一带电粒子经过加速电压加速后其速度增大，已知电子的质量为，电荷量绝对值为 。kgm310.9 C19.（1）假设电子质量与速度无关，把静止电子加速到光速需要多高的电压？（2）若考虑电子质量随速度而变化，那么静止电子经过上述电压加速后，其速度是多少？它是光速的百分之几？解：（1）依题意，设电子质量与速度无关 221eeqUmcvVc506.（2）若考虑电子质量随速度而变化，电子运动质量 21emcv当静止电子经电压 加速后，电子动能为U2qUEeK221emcv22()eccqUv121()0.745emc可见 0.745.%cv
