1、热学教程习题参考答案第六章 习 题6-1. 有人声称设计出一热机工作于两个温度恒定的热源之间，高温和低温热源分别为 400K 和 250K；当此热机从高温热源吸热 2.510 cal 时，对外作功 20 kWh，而向7低温热源放出的热量恰为两者之差，这可能吗？解：此热机的效率应为 ，故当热机从高温热源吸%5.3402512T热 cal 时，能提供的功为 cal，同时向7105.2Q 671038.9. QW低温热源放出热量为 cal。这样，倘若本76712 2.189.Q题所设计的热机能够实现，它对外的作功值 kwh cal 显然超过了此卡20诺热机可能的最大输出功 cal，所以设计这样的热机
2、是不可能的。6038.96-2设有 1mol 的某种单原子理想气体，完成如图所示的一个准静态循环过程，试求：(1)经过一个循环气体所作的净功；(2)在态 C 和态 A 之间的内能差；(3) 从 A 经 B 到 C 过程中气体吸收的热量。( 答:( 1)314 J;(2)600 J;(3)1157 J)解：如图所示，1mol 单原子气体完成的是圆形准静态循环过程。在 图上，描述此圆的方程为 , 其中的Vp12200Vp。3050m1,Pa1（1）经过一个循环过程，气体所做的功等于描述此循环过程的圆面积，即 J；340p（2）与 A 和 C 点的温度为 和 ，RVppTA02RVppTC06故两点
3、之间的内能差为 J，其中的定容热06CUAC容 ；RV3（3）依据热力学第一定律，气体在 ABC 过程中吸收的热量 ，其中的内WUQ能增量 已由（2）求得；而过程中所做的功可由过程曲线下所包含的面积求得：UJ，故 J；574100VpW157Q 习题 6-2 图（4）循环最高和最低温度分别发生在 ，201p201V和 ，202p20V所以相应的最高温度值为： K，2.8201 RVpT最低温度值为 K；1.022 Rp（5）此循环效率为 ，式中的循环功已由（ 1）求得 J，而循环吸1QW 314W热将发生在气体从最低温度 升至最高温度 之间，故 2T1T。%3769.0.83.232112 T
4、RQ6-3一定量理想气体作卡诺循环,热源温度 = 400 K,冷却器温度为 K.若已1 280 T知: =10atm, =0.01 m , =0.02 m , =1.4, 试求:(l) 及 ;(2)一个循环中1p1V323432,p3,V气体作的功;(3) 从热源吸收的热量;(4) 循环的效率. (答:(1) ， ，atm5 at4.1 ， (2)2.110 J; (3)7.010 J; (4)30 %)at2684 ;104509432323 ,V.- 33解：(1) 先由等温过程方程，可得 atm ；再应用绝热过程方程，并2p考虑到绝热指数 可得 m3, .1 25.22113 10948
5、40 T和 atm。而 atm,。再由 ，可4323Vp 6.434V1Vp计算得 m3；2405.（2）卡诺循环功为 J；（3）从高温热源吸收432121lnlnVTVRW 2110.lnVp的热量为 J；1Q307l（4）循环效率 。%.W6-4一卡诺机,高温热源的温度为 400 K,在每一循环中在此温度下吸入 418 J 的热量，并向低温热源放出 334.4 J 的热量 .试求:(l)低温热源的温度是多少? (2)此循环的效率是多少? (答 :(1)320 K;(2)20 %)解：（1）低温热源的温度 K ；320418.30122 QT（2）循环效率为 %42T习题 6-5 图 习题
6、6-7 图6-5如图所示，有 1mol 理想气体完成的循环过程，其中 CA 为绝热过程。A 点的状态参量为 、B 点的状态参量为 和绝热指数 均为已知。(l)气体在1,VT2,VTAB， BC 两过程中和外界交换热量吗？是放热还是吸热？(2)求 C 点的状态参量；(3)此循环是否为卡诺循环？求循环效率。(答:(1)AB 吸热， BC 放热；(2) ， ； ；(3)不是。2c V12cTcc RTVp)。ln1112V解：（1）AB 吸热过程，BC 放热过程；（2） ， ， ；2C12TCCCVRTp（3）此循环不是卡诺循环。在此循环的等温过程中，气体吸热，1mol 气体吸收的热量为 ，对外作功
7、为 ，故12lnVRQ11ln212 VRTW可得循环效率为。12ln1VW6-6.若可逆卡诺循环中的工作物质不是理想气体,而服从状态方程 .试RTbvp证明此卡诺循环的效率仍为 .12T解：由气体的状态方程 可见，这种气体的分子Rbvp有体积，但没有引力，是一种刚性球，所以这种气体的内能仍应只与温度有关，而与气体的体积无关。事实上，由内能公式得到的结果：，0pbvRTpTvuv也说明了这一点。故由热力学第一定律可知，等温过程中系统吸收（或放出）的热量 应等于系统对外（或外界对系统）所做的功 ：QW。 2121 12lnddVbVRTbpW由气体内能只与温度有关这一性质，还可以证明：对于这种气
8、体，理想气体的摩尔热容公式 仍然成立。所以，将热力学第一定律应用于绝热过程，可得：RCVp，0dddd bVTCTVbRTCVpUp积分后，得绝热过程方程为 ，式中的 是const101bVpC绝热指数。现在我们可以写出，在温度为 和 的等温过程中，气体所吸收和放出的12热量分别为： 和 。bVRTQ341lnbVRTQ21l故得此卡诺循环效率为 。 12341212lnT其中用到公式 ，这是因为依据绝热过程方程，可以写出：bV4312和 。1312TT 14112 bVTbT6-7.设燃气涡轮机内工质进行如图所示的循环过程,其中 1-2,3-4 为绝热过程;2-3，4-1为等压过程.若 ,试
9、证此循环的效率 为:12p .1 2314 T解：此燃气涡轮机的循环效率为 。231421 TCTQpp考虑到在绝热过程中 ， 112413,pp因此有 。1243T故可得 1 23 其中 是绝热指数； 。1p6-8设有一以理想气体为工作物质的热机循环,如图所示.由等压过程 CA、等容过程 AB 和绝热过程 BC 所组成。若已知 和绝热指数 .证明此热机的循环效率CABVp, 为:.11 1 BCAV 习题 6-8 图 习题 6-9 图解：由于热机循环效率为 ，121QW其中 为气体在等体过程 AB 中所吸收的热量； 是气ABVTCQ1 ACpTQ2体在等压过程中放出的热量，所以可得 。111
10、2 ACABCABCVTT因为对于理想气体我们有 ；AC再应用绝热过程方程，可得 。 ACBCABVpT故可得到需证的结果 ， 其中 是绝热指数。112ACVQVp6-9.如图所示的理想气体为工质的热机循环,其中 AB 和 CD 是等压过程,BC 和 DA是绝热过程.已知 B 点和 C 点的温度分别为 和 .证明: 此热机循环的效率为 2T3.23 1T解：与题 6-6 类似，可以证明此热机循环效率为。2322332312 11TTQADAD在证明过程中用到绝热过程方程 。考虑到在等压过 3,CBpp程中 ，因此可以得到 ，故可得上列等式。CDBApp, 32DA6-10.一圆筒装有压强和温度
11、分别为 2 atm 和 300 K 的氧气,容积为 3L.使氧气经历下列过程：等压加热到 500K；等容冷却到 250K；等压冷却到 150K；等容加热到300K。(1)在 图上画出四个过程,并计算每个过程终态的 和 值；(2)计算氧气在Vp pV一个循环中所作的净功；(3)计算此循环效率。(答：(1)习题 6-11 图， =3L， ；(2)202.7 J;(3)9.2 %)atm0.1 at,0.2431pp41VL5326-11以理想气体为工质的制冷机进行如图所示的循环过程,其中 AB，CD 分别是温度为 的等温过程;BC,DA 为等压过程.证明此制冷机的制冷系数为: .12T 121 T
12、解：由于 和 分别表示低温热源和高温热源的温度，所以可以判断，系统从温度为的低温热源处吸收的热量 ，即此制冷机的制冷量。故可写出此制1 1212lnpRTQ冷机的制冷系数为 ，其中 表示外界对系统所做的循环功。根据热力学第W一定律，可知： 1212121221 lnlnpRTCpTCQWp 。lnTR所以，此制冷机的制冷系数为 。1216-12设有卡诺热机,它的低温热源的温度为 280 K,效率为 40.现若使此热机效率提高到 50 %,试问:(l)如低温热源的温度保持不变 ,高温热源的温度必须增加多少? (2)如高温热源的温度保持不变,低温热源的温度必须降低多少? (答:(1)93.3 K;
13、(2)46.6 K.)解：（1）依据卡诺热机效率的公式 ，可得：当 ， K 时，12T4.0280TK ；当 ， K 时， K ；这就是说,在保持低温热源温度7.46T5.0280T560不变的情况下，为使热机效率提高 ，高温热源的温度必须增高 K ；（2）同%13.9样，应用卡诺热机效率公式，可得：当 ， K， K，这就是说，.1T42低温热源的温度必须降低 K。6.46-13一个平均输出功率为 50 MW 的发电厂,热机循环的高温热源温度为 =1000 K1T和低温热源温度为 =300 K，试求:(l)理论上热机的最高效率为多少? (2)这个厂只能达2T到这效率的 70 %,为了产生 50
14、 MW 的电功率,每秒钟需要提供多少焦耳的热量 ? (3)如果低温热源是一条河流,其流量为 10 m /s,试求由于电厂释放的热量而引起的河水温升是3多少?(答:(1)70%;(2)1.0210 J;(3)1.25 K.)8解：（1）理论上可构筑热机的最高效率应等于工作于最高温度 K 和最低温10T度 K 之间的卡诺热机的温效率，即 ；302T %7312（2）由于此厂热机效率只能达到最高效率的 ，故工厂热机的实际效率为 。%7049由此可见，为产生 MW 的电功率，工厂需通过燃烧能源，为此热机提供热量：A50MW；10249.5061 AQ（3）热机向低温热源放出热量为 MW。 5210.5
15、. 762 Q这部分热量为河流的流水所吸收。已知河流的流量为 m3/s cm3/s g /s M7，故若设水的比热 ，则河水的温升为11gKJ8.4gcal K。25.02.5772 MQT6-14设有一制冷机,低温部分温度为-10,散热部分温度为 35,所耗功率为 1500W.设制冷机实际制冷系数为理想制冷系数的 l3.若用此制冷机 ,将 25的水制成 -10的冰,已知冰的融解热和比热分别为 334.4 J/g 和 2.09 J/gK,问此制冷机每小时能制冰多少千克? ( 答:22.7 Kg)解：要把 1g 的 25的水制成 -10的冰，需放出的热量为 ，其中31Tclq的 和 分别为水的比
16、热、冰的比热和水的凝结热；而 和 分别等于 和31,cl 1T325，故可得 cal/g 。另一方面，此致冷0018.409218.43251q机的制冷系数为 5.463212TPtQ则一小时吸收热量为 )cal/h(05.9.62t制冰量为kg/h。9.212.62qQM6-15彼此不发生化学作用的两种气体,体积分别为 =5.0 L 和 =3.0 L,温度都1V2是 300 K,压强都是 =1.0 atm.现把它们混合在一起 ,求熵的改变.(答:1.79 J/K.)p解：6-16 2 mol 理想气体在 4.0 atm 下的体积为 10 L(见图上所示习题 6-16 图的 A 点).若已知此
17、气体的 =20.9J/molK,试用 证明:自 A 到 C,沿 ABC 路径和VCTQADC 路径进行时,两条路径所得到的熵改变是相等的.证明：6-17把 2.0g 的空气分别(l)等容(2) 等压从 40冷却到 0,求过程中的熵变.(答:(1)-0.2 J/K;(2)-0.28 J/K.)6-18在一个大气压下，30g 温度为-40的冰变为温度为 100的水蒸汽，设冰和水的热容量为常数，求上述过程的熵变化值 .设冰的比热为 2.09J/gK,冰的熔解热为S 334.4J/g,水的汽化热为 2253J/g.(答： =267 J/K.) 解：将整个过程分为-40冰变为 0的冰，0的冰变为 0的水
18、，0的水变为 100的水和，100的水变为 100的水蒸汽四个过程，则总的熵变为 )J/K(267lnln32321 34321 321 TMQcTMQc TQdcdSS TT汽 化水熔 解冰 汽 化水熔 解冰6-19. 若已知 24时水蒸气的饱和蒸气压为 0.029824 bar，此时水蒸气的焓是2545.0 kJ/kg，水的焓是 100.59 kJ/kg。(1) 试求 1kg 水蒸气凝结为水时的熵变；(2)若初态为 1mol 过冷水蒸气，其温度和压强分别 24和 1bar，当它转化为 24的饱和水蒸气和饱和水时熵变化多少? 水蒸气可处理为理想气体。 (答:(1)-8.23 kJ/kgK;(
19、2)29.3,-118.8 J/molK )6-20. 应用习题 5-11 的数据,计算 1mol 铜在 1atm 下,温度从 300K 升到 1200K 时熵的改变.(答:3.7210 J/molK)4解：熵变为 )Kmol/J(1072.3ln412121 TCdTQS6-21证明质量为 ,比热为常数 的物质,当温度从 变化到 时,它的熵变化为:mc1T2.212ln S试问:在冷却时此物质的熵是否减少?如果减少的话,与熵增加原理有没有矛盾?为什么?解：熵变为 12ln2121 TmcdTQS冷却时，此物质的熵是减少的，但是由于此物质向外传热，外界吸收热量，外界温度必然比该物质低，则系统和
20、外界总的熵变仍然是正的，熵仍然是增加的。6-22以理想气体为例，证明下列两种情况的熵变为零:(l)如图(a)所示,由两条等容线和两条绝热线组成的循环过程;(2)如图(b) 所示,由等温线,等压线和等容线所组成的循环过程.证明：由于熵是态函数，当系统经历一个循环过程的时候，系统的熵变必为零。6-23. 均匀杆的一端温度为 ,另一端的温度为 ,试证明达到均匀温度1T2T后的熵变为2/)(1T.mmpp cTc 21121 2lnlln (提示:应用局域平衡假设,把杆分割为质量为 的体元,在温度从 变到xAVdT后的熵变为 ,总的熵变应等于对整根杆和整个温区的积分.)TdxAcp/d6-24. 证明
21、:(1)理想气体发生向真空的绝热自由膨胀,体积由 变为 ,熵变为1V2;(2)理想气体经历节流膨胀 ,压强由 降为 ,熵变为0 ln1212VCS 1p2;(3)温度 的 kg 的水与温度 的 kg 的水混合,熵变为： pR1Tm2Tm,当 = = 时, 简化lnll 1222112m 12为 .4n 11Sp证明：略。6-25.设有一定量的理想气体经历如下奥托(Otto)循环 :绝热压缩从 到 ;1,TV2,等容吸热 从 到 ;绝热膨胀从 到 ;等容放热 ,由 回到1Q2,TV3, 32,TV41,2Q4.这是一种四冲程汽油机的定容加热循环.试在 图上画出此循环;并证明循环效1,T p习题
22、6-22 用图率 ,其中 和 分别是气体的绝热压缩比和绝热指数.121V证明：上课讲过，略。6-26.若将奥托循环中的第步改为等压吸热 ，其它各步保持不变。这是一种定1Q压加热的四冲程循环,称为狄塞尔(Diesel)循环。试在 图上画出此循环；并证明循Vp环效率为 11其中 ， 和 分别是气体的绝热压缩比，定压膨胀比和绝热指数.21V23证明：上课讲过，略。6-27. 个气体分子占有容积 ,它们都可能处在 中的任何一点上.在某一时刻, 个n1V1Vn气体分子全都处于 中的某一部分 的概率为 .试证明: 理想气体的体积由12nW2 等温地膨胀至 过程中熵的改变为 : ,其中 是玻耳兹曼常数.2V
23、 kSlBBk6-28. 从艾特金司(B.W.Atkins)棋盘游戏看玻耳兹曼熵的物理意义.设有由 1600 个小格组成的棋盘,分为如图 a 所示的两个区域 :100 个小格组成的中心区 A 和 1500 个小格组成的外围区 B。开始时完全相同的 100 个棋子填满 A 区,B 区是空域.若棋手从 A 区任意取出 个棋子放到 B 区的任意小格n中去,在 A 和 B 区内形成如图 b 所示的 分布.虽说棋子本身是不可分辨的,但n10格子在平面上的位置是可分辨的,故棋子可因它所在位置不同而加以区别.(1)试证明,棋手在 A 区里从中心区的 100 个棋子中有 种取出 个棋子的不同方!10!ACnn
24、法;在 B 区他有 种摆布 个棋子的不同方法.(2) 分别计算!150!BnCn时的 A 和 B 两区的玻耳兹曼熵 的数值( 作为一级近似,可应用103,2和n BS和3.2.3 中的斯特林公式算 的数值.有条件的学员可用计算机计算,并将计算结果与用斯10特林公式算得的结果比较).(3)能否应用有关概率分布的知识说明 (和相应的 )在nCAAS处有单一的极大值,而 (和相应的 )在 范围内随 是单调增加的.从50nnCBBS50n而得出系统的总熵 在 处有极大值.(4)试说明为什么这个 应等于AS 习题 6-28 图 (a) 习题 6-28 图 (b)93.75? (5)试阐述由上述计算你得到的启示和对玻耳兹曼熵的理解.(6)现在设想把棋子换成二维气体分子,每个分子只能占据一个小格.开始时气体分子被方框围困在中心区,随后撤除方框,试讨论分子将如何运动? 达到稳定后分子密度将如何分布?
