1、12013 高考直击-球与几何体的切接问题球与几何体的切接问题,是近几年高考的热点 ,考察空间想象能力和逻辑思维能力,下面我们就近几年高考题对球与几何体的切接作深入的探究, 从中掌握高考命题的趋势和高考的出题思路 ,使我们在这部分内容不失分.从近几年全国新课标高考命题来看,这部分内容主要出选择，填空，大题很少出。首先探究一下球与几何体的切接的主要模型。一、正方体与球的切接问题（1） 、正方体的内切球，如图 1。 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 2r=a，（2）正方体的外接球，如图 2。位置关系：正方体的八个
2、顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有A1 B1C1D1A BCDO图2A1 B1C1D1A BCDO图122r= a，3（3）正方体的棱切球，如图 3。位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 2r= a，2二、正四面体与球的切接问题（1） 正四面体的内切球，如图 4。位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为 h；球的半径为 R，这时有4R=h= a；（可以利用体积桥证明）63（2） 正四面体的外
3、接球，如图 5。位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；A1 B1C1D1A BCDO图3图4EACBDO图5ACBDO3数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为 h；球的半径为 R，这时有 4R=3h= a；（可用正四面体高 h 减去内切球的半径得到）6（3） 正四面体的棱切球，如图 6。位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为h；球的半径为 R，这时有4R= a= ；h= a。2 363三、正方体、正四面体与球的切接问题的数据关系推导可以借用下面几何体的切接关系推导。正方体为 ABCD-A1B1C1D
4、1、正四面体为 A1C1BD，图中两个球 O 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的内切球和外接球，显然这两个球也是正四面体为 A1C1BD 的棱切球与外接球，这样我们就不难从一维量棱长 a、半径、直径、高；二维量表面积、全面积；三维量体积之间进行数据转换。四、近几年高考球与几何体的切接问题FE图6ACBDOA1 B1C1D1A BCDO图74把握以上正方体与正四面体与球的切接问5题，以不变就万变，可以轻而易举解决高考题。1、 （07 年安徽 理 8 题）半径为 1 的球面6上的四点 是正四面体的顶点，则 与 两点间的球面距离为（ ）DCBA, ABA B )3arcos()36arcos(
5、C D1412、 （ 07 福建理 10 题）顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1中，AB1，AA 1，则 A、C 两点间的球面距离为（ B ）A B C D 422423、07（湖南理 8 题）棱长为 1 的正方体 的 8 个顶点都在球 的表1ABCO面上， 分别是棱 ， 的中点，则直线 被球 截得的线段长为（ D EF， ADEF）A B C D212124、 （07 陕西理 6 题）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ）A B C D 43343235、 （07 全国理15 题）一个正四棱柱的
6、各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为 1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2。6、 （07 安徽理15 题）在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号） 。7、 （07 辽宁理15 题）若一个底面边长为 ，棱长为 的正六棱柱的所有顶点都在326一个平面上，则此球的体积为 8、 （天津理12 题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3 ，则此球的表面积为 149、 （ 2008海南、宁夏文科卷）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都
7、在同一个球面上，且该7六棱柱的高为 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为 _310、 （08 安徽卷 16）已知 在同一个球面上, 若,ABCD,ABCD平,则 两点间的球面距离是6,AB21C84311、 （福建卷 15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 912、 （浙江卷 14）如图，已知球 O 点面上四点 A、B、C、D，DA 平面ABC，AB BC，DA=AB=BC= ，则球 O 点体积等于39213.（辽宁卷 14）在体积为 的球的表面上有 A， B， C 三点， AB=1，BC= ，A， C4 2两点的球面距离为 ，则球心到平面 ABC 的距离为33
8、214、 （2009 四川卷文）如图，在半径为 3 的球面上有 、 三点， B=90，BCA,球心 O 到平面 的距离是 2，则 CB、 两点的球面距离是A. 3 B. C. 4 D.215、 （2009 陕西卷文）若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 (A) 26 (B) 23 (C) 3 (D) 2 16、 （2009 江西卷理）正三棱柱 1ABC内接于半径为 的球，若 ,AB两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 17、 （2009 陕西卷文）如图球 O 的半径为 2，圆 1是一小圆， 12O，A 、B 是圆1O上两点，若 1AB=，则 A,B 两 点间
9、的球面距离为 .818、.(2009 湖南卷理)在半径为 13 的球面上有 A , B, C 三点， AB=6，BC=8，CA=10，则 （1 ）球心到平面 ABC 的距离为 12 ；（2 ）过，B 两点的大圆面为平面 ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为 3 19、（2010辽宁文数）（11）已知 ,SABC是球O9 BCDANMO表面上的点，SABC平 面， 1SAB， 2C，则球O的表面积等于（A）4 （B）3 （C）2 （D） 20、 （2010 四川理数） （11）半径为 R的球 O的直径 AB垂直于平面 ，垂足为 B，BCD是平面 内边长为 的正三角形，线段 、 分别10与球面交
10、于点 M， N，那么 M、 N 两点间的球面距离是（ A） 17arcos25R （ B） 18arcos25R （ C） 3 （ D） 421、 （2010 全国卷 1 文数） （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为(A) 23 (B) 43 (C) 3 (D) 8322、2010 全国卷 1 理数） （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为(A) 23 (B) 43 (C) 3 (D) 8323、 （2011 重庆理 9）高为2的四棱锥 S-
11、ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，点S、 A、B、C、D 均在半径为 1 的同一球面上，则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为A24B2C1 D 224、 （2011 全国新课标理 15） 。已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且 AB=6，BC= 3，则棱锥 O-ABCD 的体积为_25、 【2012 高考新课标文 8】 平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的体积为 2（A） （ B）4 （C）4 （D ）6 6 3 6 326、（211012年高考（新课标理）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O12的求面上
12、, ABC是边长为1的正三角形,为球 的直径,且 ;则此棱锥的体积为 （ SCO2SC）A B C D2636232参考答13案2-4BDB 5. cm2。46. 矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体。7.8.9. 10.11.12.13.14. 【答案】B【解析】AC 是小圆的直径。所以过球心 O 作小圆的垂线，垂足 O是 AC 的中点。OC 23)(32，AC3 ，BC3，即 BCOBOC。BOC，则 、 两点的球面距离 31415. 答案:B.解析:由题意知 以正方体各个面的中心为顶
13、点的凸多面体为正八面体（即两个同底同高同棱长的正四棱锥） ，所有棱长均为 1，其中每个正四棱锥的高均为 2，故正八面体的体积为 22=33V正 四 棱 锥 , 故选 B.16. 答案： 8【解析】由条件可得 2AOB，所以 2A， O到平面 ABC的距离为 23，所以所求体积等于 817. 答案: 23 解析:由 1, AB=2 由勾股定理在 1圆 中则有 2O, 又 1O= 2 则 所以在 AOB中 ，AB，则 为 等 边 三 角 形 ，那么 60 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由弧长公式 ()lr为 半 径 得 2, 3ABABlr两 点 间 的 球 面 距 离 .18. 【答案
14、】：（1）12 ；（2 ）3【解析】 （1）由 C的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过 ,C三点小圆的直径即为 10，也即半径是 5，设球心到小圆的距离是 d，则由 22513，可得2d。 （2）设过 AB三点的截面圆的圆心是 1,OAB中点是 D点，球心是 O点，则连三角形 1OD，易知 1就是所求的二面角的一个平面角，2211()4，所以 1234D，即正切值是 3。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A BO1O1519. 解析：选 A.由已知，球 O的直径为 2RSC， 表面积为 24.R20. 解析：由已知， AB2 R,BC R,故 tan BAC 1 cos BAC 5
15、连结 OM，则 OAM 为等腰三角形AM2 AOcos BAC 45R，同理 AN 45R，且 MN CD 而 AC R,CD R故 MN： CD AN:AC MN 45，连结 OM、 ON，有 OM ON R于是 cos MON22175OMNA所以 M、 N 两点间的球面距离是 arcos 答案： A21.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h,则有 ABCD12233Vh四 面 体 ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时,2maxh,故 max4V22. 1623.24.25. 【答案】B【解析】球半径 ，所以球的体积为 ，选 B.3)2(1r 34)(3426. 解析： 的外接圆的半径 ，点 到面 的距离ABCrOABC263dRr为球 的直径 点 到面 的距离为SCOSABC263d此棱锥的体积为 112334ABCVd
