1、经典习题1、 （15 分）如图所示，MN、PQ 是平行金属板，板长为 L，两板间距离为 d，在 PQ 板的上方有垂直纸面向里的匀强磁场。一个电荷量为 q、质量为 m 的带负电粒子以速度 v0从 MN 板边缘沿平行于板的方向射入两板间，结果粒子恰好从 PQ 板左边缘飞进磁场，然后又恰好从 PQ 板的右边缘飞进电场。不计粒子重力。试求：（1）两金属板间所加电压 U 的大小；（2）匀强磁场的磁感应强度 B 的大小；（3）在图中画出粒子再次进入电场的运动轨迹，并标出粒子再次从电场中飞出的位置与速度方向。2 （16 分）如图，在 xoy 平面内，MN 和 x 轴之间有平行于 y 轴的匀强电场和垂直于 x
2、oy平面的匀强磁场，y 轴上离坐标原点 4 L 的 A 点处有一电子枪，可以沿 +x 方向射出速度为v0 的电子（质量为 m，电量为 e） 。如果电场和磁场同时存在，电子将做匀速直线运动.如果撤去电场，只保留磁场，电子将从 x 轴上距坐标原点 3L 的 C 点离开磁场.不计重力的影响，求：（1）磁感应强度 B 和电场强度 E 的大小和方向；（2）如果撤去磁场，只保留电场，电子将从 D 点（图中未标出）离开电场，求 D 点的坐标；（3）电子通过 D 点时的动能。3 （12 分）如图所示，在 y0 的空间中，存在沿 y 轴正方向的匀强电场 E；在 y0 的空间中，存在沿 y 轴负方向的匀强电场，场
3、强大小也为 E，一电子（电量为e，质量为 m）在 y 轴上的 P（ 0，d）点以沿 x 轴正方向的初速度 v0 开始运动，不计电子重力，求：v0BMNPQm,-qLd（1）电子第一次经过 x 轴的坐标值（2）电子在 y 方向上运动的周期（3）电子运动的轨迹与 x 轴的各个交点中，任意两个相邻交点间的距离（4）在图上画出电子在一个周期内的大致运动轨迹4（16分）如图所示，一个质量为m =2.010-11kg，电荷量q=+1.010 -5C的带电微粒（重力忽略不计），从静止开始经U =100V电压加速后，水平进入两平行金属板间的偏转电场中。金属板长L=20cm ，两板间距 d=10 cm。求：微粒
4、进入偏转电场时的速度v是多大？3若微粒射出电场过程的偏转角为 =30，并接着进入一个方向垂直与纸面向里的匀强磁场区，则两金属板间的电压U 2是多大？若该匀强磁场的宽度为D =10 cm，为使微粒不3会由磁场右边射出，该匀强磁场的磁感应强度B至少多大？5、如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝 a、b、c 和 d，外筒的外半径为 r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为 B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为 、带电量为q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝 a 的 S 点出发，初速为零。如果该
5、粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点 S，则两电极之间的电压U 应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）解析：如图所示，带电粒子从 S 点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝 a 而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到 S 点的条件是能沿径向穿过狭缝 d.只要穿过了 d，粒子就会在DBU1U2v电场力作用下先减速，再反向加速，经 d 重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到 S 点。设粒子进入磁场区的速度大小为 V，根据动能定理，有21mvqU设粒子做匀速圆周运动的半径为 R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有RvBq2由前面分析可知，要回到 S
6、点，粒子从 a 到 d 必经过圆周，所以半径 R 必定等于筒的外半径 r，即 R=r.由以上43各式解得；6、核聚变反应需几百万摄氏度高温，为了把高温条件下高速运动粒子约束在小范围内（否则不可能发生核聚变） ，可采用磁约束的方法如所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域内的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘，设环形磁场的内半径R10. 5 m，外半径 R21m ，磁场的磁感应强度 B0. 1T，若被约束的 带电粒子的比 荷 q/m=4107C/kg,中 空区域内的带 电粒子具有各个方向 大小不同的速 度，问（1)粒子沿环状 半径方向射入 磁场，不能穿越磁场 的最大速度；（2)所有
7、粒子不能穿越磁场的最大速度解析根据 Bqvmv 2 /r 得 r=mv/Bq，由于 B、q/m 一定，所以 v 越大，r 越大，且最大半径对应最大速度，多作几个沿环半径方向但大小不同的速度所对应的磁场中运动圆轨迹，如图（b)所示，很容易得出当圆轨迹与环形磁场外边界内切时，对应的半径是粒子射不出磁场的最大半径，对应的速度就是不能穿越磁场的最大速度，由几何知识得 v1max1. 5 107m/s,（ 2)由（1）可知沿某一方向射不出磁场的最大速度对应的圆轨迹与磁场外边界内切，abcdSo再作出粒子斜向左上方和竖直方向射入磁场对应的和磁场外边界内切的圆轨迹如图（C)所示，从而得出沿各个方向射不出磁场
8、的最大速度不同，通过比较发现，粒子垂直环半径方向射入磁场时不能穿越磁场的最大速度 v1max 是最小的，所以若要求所有粒子均不能穿越磁场，则所有粒子的最大速度不能超过 v1max，由数学知识可得 v1max1.010 7 m/s.7、如图所示，在直角坐标系的第象限和第象限中的直角三角形区域内，分布着磁感应强度均为 B5.010 3 T 的匀强磁场，方向分别垂直纸面向外和向里。质量为m6.6410 27 、电荷量为 q3.210 19 C 的 粒子（不计 粒子重力） ，由静止开始经加速电压为 U1205V 的电场（图中未画出）加速后，从坐标点 M（4， ）处平行2于 x 轴向右运动，并先后通过两
9、个匀强磁场区域。(1)请你求出 粒子在磁场中的运动半径；(2)你在图中画出 粒子从直线 x4 到直线 x4 之间的运动轨迹，并在图中标明轨迹与直线 x4 交点的坐标；(3)求出 粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间。8、真空中有一半径为 r 的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox 为过边界上 O 点的切线，如图所示。从 O 点在纸面内向各个方向发射速率均为 的电子，设电子0v重力不计且相互间的作用也忽略，且电子在磁场中的偏转半径也为 r。已知电子的电量为OM2224 4 x/my/m2vBBo2oAxvve，质量为 m。(1)速度方向分别与 Ox 方向夹角成 60和 90的电子，在磁
10、场中的运动时间分别为多少？(2)所有从磁场边界出射的电子，速度方向有何特征？(3)设在某一平面内有 M、N 两点，由 M 点向平面内各个方向发射速率均为 的电子。0v请设计一种匀强磁场分布（需作图说明） ，使得由 M 点发出的所有电子都能够汇集到 N 点。解析：(1)当 =60时， ；当 =90时，vrTt361rTt242(2)如右图所示，因OO 2A=故 O2AOx而 O2A 与电子射出的速度方向垂直，可知电子射出方向一定与 Ox 轴方向平行，即所有的电子射出圆形磁场时，速度方向沿 x 轴正向。(3)上述的粒子路径是可逆的，(2)中从圆形磁场射出的这些速度相同的电子再进入一相同的匀强磁场后
11、，一定会聚焦于同一点，磁场的分布如下图所示。注：四个圆的半径相同，半径 r 的大小与磁感应强度的关系是 r=mv0/qB；下方的两圆形磁场与上方的两圆形磁场位置关于 MN 对称且磁场方向与之相反；只要在矩形区域 M1N1N2M2 内除图中 4 个半圆形磁场外无其他磁场，矩形M1N1N2M2 区域外的磁场均可向其余区域扩展。M NM1M2N1N29、如图所示，一质量为 m，带电荷量为 +q 的粒子以速度 v0 从 O 点沿 y 轴正方向射入磁感应强度为 B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点 b处穿过 x 轴，速度方向与 x 轴正方向的夹角为 30，同时进入场强为
12、 E、方向沿 x 轴负方向成 60角斜向下的匀强电场中，通过了 b 点正下方的 c 点，如图所示。粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场的最小面积。（2）c 点到 b 点的距离 s。解析：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径为 R，则有 R= qBmv0粒子经过磁场区域速度偏转角为 120，这表明在磁场区域中轨迹为半径为 R 的 圆31弧，此圆弧应与入射和出射方向相切。作出粒子运动轨迹如图中实线所示。轨迹 MN 为以O为圆心、R 为半径，且与两速度方向相切的 圆弧，M、N 两点还应在所求磁场区域的31边界上。在过 M、N 两点的不同圆周中，最小的一个是以 MN 为直径的圆周，所求圆形磁
13、场区域的最小半径为qB2mv360sinR21r0面积为 S= 2043（2）粒子进入电场做类平抛运动设从 b 到 c 垂直电场方向位移 x，沿电场方向位移 y，所用时间为 t。yNMO xbc30EP. . . . . . . . . . . . . . . . .0vxyOQ06CBEP. . . . . . . . . . . . . . . . .0vxyOQ06CBEDF则有 x=v 0t22tmEq1ay又 解得 x= mv02/Eq6cot 3y=6mv 02/EqEq/v4xd210、如图所示的区域中，第二象限为垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为 B，第一、第四象限是一个电场
14、强度大小未知的匀强电场，其方向如图。一个质量为 m，电荷量为 +q 的带电粒子从 P 孔以初速度 v0 沿垂直于磁场方向进入匀强磁场中，初速度方向与边界线的夹角 =30，粒子恰好从 y 轴上的C 孔垂直于匀强电场射入匀强电场，经过 x 轴的 Q 点，已知 OQ=OP，不计粒子的重力，求：（1）粒子从 P 运动到 C 所用的时间 t；（2）电场强度 E 的大小；（3）粒子到达 Q 点的动能 Ek。答案： （1）带电粒子在电磁场运动的轨迹如图所示，由图可知，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹为半个圆周由 得： rvmBq20qv0又 T= vr20得带电粒子在磁场中运动的时间： qBTt2（2）
15、带电粒子在电场中做类平抛运动，初速度 垂直于电场沿 CF 方向，过 Q 点作直线 CF 的垂线交0vCF 于 D，则由几何知识可知， CPO CQO CDQ，由图可知：CP= qBmvr02带电粒子从 C 运动到 Q 沿电场方向的位移为 qvrCPODSE 003sin带电粒子从 C 运动到 Q 沿初速度方向的位移为 Bmv 00co0由类平抛运动规律得： 221tmqEatSEtvS0联立以上各式解得： （3）由动能定理得： 0Bv EkqSm201联立以上各式解得： 2067k11、如图所示，半径分别为 a、b 的两同心虚线圆所围空间分别存在电场和磁场，中心 O处固定一个半径很小（可忽略）
16、的金属球，在小圆空间内存在沿半径向内的辐向电场，小圆周与金属球间电势差为 U，两圆之间的空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，设有一个带负电的粒子从金属球表面沿x 轴方向以很小的初速度逸出，粒子质量为 m，电量为q， （不计粒子重力，忽略粒子初速度）求：（1）粒子到达小圆周上时的速度为多大？（2）粒子以（1）中的速度进入两圆间的磁场中，当磁感应强度超过某一临界值时，粒子将不能到达大圆周，求此最小值 B。（3）若磁感应强度取（2）中最小值，且 b（ 1）a，要粒子恰好2第一次沿逸出方向的反方向回到原出发点，粒子需经过多少次回旋？并求粒子在磁场中运动的时间。 （设粒子与金属球正碰后电量不变且能以原速率
17、原路返回）解析（1）粒子在电场中加速，根据动能定律得： 2mv1qUv= mqU2（2）粒子进入磁场后，受洛伦兹力做匀速圆周运动， rvqB2要使粒子不能到达大圆周，其最大的圆半径为轨迹圆与大圆周相切，如图，则有 所以 rba2 bar2联立解得 qmUB2（3）图中 tan= 即 =45 1abr则粒子在磁场中转过 =270，然后沿半径进入电场减速到达金属球表面，再经电场加速原路返回磁场，如此重复，恰好经过 4 个回旋后，沿与原出射方向相反的方向回到原出发点。 因为 粒子在磁场中运动时间为 t=4 = BqmT2 T3qUmba22ObxyaOabxyMNr12、在图所示的坐标系中， 轴水平
18、， 轴垂直， 轴上方空间只存在重力场，第象限xyx存在沿 轴正方向的匀强电场和垂直 平面向里的匀强磁场，在第象限由沿 轴负方向y x的匀强电场，场强大小与第象限存在的电场的场强大小相等。一质量为 ，带电荷量大m小为 的质点 ，从 轴上 处的 点以一定的水平速度沿 轴负方向抛出，它经过qayh1Px处的 点进入第象限，恰好做匀速圆周运动，又经过 轴上方 的 点2xh2Py2h3P进入第象限，试求：（1）质点 到达 点时速度的大小和方向；a2（2）第象限中匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁感应强度的大小；（3）质点 进入第象限且速度减为零时的位a置坐标解析、 （1）质点在第象限中做平抛运动，设初速度
19、为 ，0v由 2hgt02ht解得平抛的初速度 在 点，速度 的竖直分量 0vh2Pv2ygth，其方向与 轴负向夹角 2vx45（2）带电粒子进入第象限做匀速圆周运动，必有 mgqE又恰能过负 处，故 为圆的直径，转动半径 2yh轴 23P2hRA又由 可解得 vqBmRgEqgBq（3）带电粒以大小为 ，方向与 轴正向夹 角进入第象限，所受电场力与重力的合力为x45，方向与过 点的速度方向相反，故带电粒做匀减速直线运动，设其加速度大小为 ，则：2g3P a 2mga此得出速度减为 0 时的位置坐标是22 4, 2vghOvas得,h13.(2005 徐州二模)如图 13-4 所示，在 的空
20、间中，存在沿 轴方向的匀强电场，电0xx场强度 ；在 的空间中，存在垂直 平面方向的匀强磁场，磁感应强度10/ENC0xy。一带负电的粒子（比荷 ，在 处的 点以.5BT/16/)qmCkg0.6xmd的初速度沿 轴正方向开始运动，不计带电粒子的重力。求08/vmsy（1）带电粒子开始运动后第一次通过 轴时距 点的距离；yO（2）带电粒子进入磁场后经多长时间返回电场；（3）带电粒子运动的周期。答案：（1） （2） （3） 35m10s()102s解：（1）粒子在第一象限做类平抛运动（如图 13-4 所示） ，加速度，运动时间 ，沿 方向的位移 。260/qEas120xtsay0325yvtm
21、图 13-4（2）粒子通过 轴进入磁场时在 方向上的速度 ，因此yx183/xvatms， 。粒子在第二象限以 为圆心做匀速圆周运动，圆弧所对的0tan3xv60O圆心角为 ，运动时间 。21213120mtTsqBA（3）粒子从磁场返回电场后的运动是此前由电场进入磁场运动的逆运动，经时间，粒子的速度变为 ，此后重复前面的运动。可见，粒子在电、磁场中的运动具有1t0v周期性，其周期 。123()120Ttts14、如图 13-6 甲所示，空间存在着彼此垂直并作周期性变化的匀强电场和匀强磁场，电场和磁场随时间变化分别如图乙、丙所示（电场方向竖直向上为正，磁场方向垂直纸面向里为正） 。某时刻有一微
22、粒从 点以初速 开始向右运动，图甲中虚线是微粒的运动轨迹Av（直线和半圆相切于 A、B、C、D 四点，图中 、 和 都未知） 。0EB（1）此微粒带正电还是带负电？可能是什么时刻从 A 点开始运动的？（2）求微粒的运动速度和 BC 之间的距离。图 13-6答案：（1）带正电， （2）0.1(43),12,tns/,0.4ms解：（1）微粒应带正电，并在 的时刻开始运动，这样，在 的运动0.1()tsAB阶段，只要满足 ，微粒即可做匀速直线运动，历时 至 。到0qvBEmg0.1()s点，电场反向。在 的运动阶段，要使微粒做圆周运动，必须 ，洛伦兹BCqEmg力 提供向心力，周期 。到 C 点，
23、电场、磁场同时反向。在 的运0v.2()Ts CD动阶段， 仍成立，微粒做匀速直线运动，历时 至 D。到 D 点，0qEmg0.1()s电场、磁场同时反向。在 的运动阶段，因 ，洛伦兹力 提供向心力，DA0qEmg0qvB运动 至 A。到 A，电场反向。此后，微粒周期性重复上述运动。因此，如果微粒0.1()s在 的时刻开始运动，也能实现题设运动，考虑到所有情况，微粒从 点开始运5t A动的时刻应为答案中所给出的通式。（2） 00,qvBEmgq02.()mTsqB2/vms0vrqB20.4Cr15（05 年北京）如图所示，坐标系 xoy 在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向外的匀强磁场
24、，磁感应强度大小为 B，在 x0 的空间里有沿 x轴正方向的匀强电场，场强的大小为 E，一个带正电的小球经过图中 x 轴上的 A 点，沿着与水平方向成 =300角的斜向下直线做匀速运动，经过 y 轴上的 B 点进入 x0 的区域，要使小球进入 x0 区域后能在竖直面内做匀速圆周运动，需在 x0 区域内另加一匀强电场。若带电小球做圆周运动通过 x 轴上的 C 点，且 OA=OC，设重力加速度为 g，求：（1）小球运动速率的大小。（2）在 x0 的区域所加电场大小和方向。（3）小球从 B 点运动 C 点所用时间及 OA 的长度。答案：（1）油滴从 A 运动到 B 的过程中，油滴受重力、电场力和洛仑
25、兹力作用而处于平衡状态，由题设条件知： 所以油滴的运动速率为：（2）油滴在 x0 的区域作匀速圆周运动，则油滴的重力与所受的电场力平衡，洛仑兹力提供油滴作圆周运动的向心力。所以： 又 所以 方向竖直向上 （3）如右图所示，连接 BC，过 B 作 AB 的垂线交 x 轴于 O/。因为=30 0，所以在ABO /中,AO /B=600, 又 OA=OC 故OCB=30 0, 所以CBO /=300，O /C=O/B,则 O/为油滴作圆周运动的圆心。 设油滴作圆周运动的半径为 R，周期为 T，则 O/C=O/B=R 且： 由于CO /B=1200 ，油滴从 B 运动到 C 的时间为 又O /BO=3
26、00 所以 O/O= O/B= R 所以 OC=R+ R= R 即 OA= 又 ，所以 16、如图 7 所示，X 轴上方有匀强磁场 B，下方有竖直向下匀强电场 E。电量为 q、质量为 m（重力不计），粒子静止在 y 轴上。X 轴上有一点 N(L.0)，要使粒子在 y 轴上由静止释放而能到达 N 点，问：(1)粒子应带何种电荷 ? 释放点 M 应满足什么条件? (2)粒子从 M点运动到 N 点经历多长的时间?【解析】：(1) 粒子由静止释放一定要先受电场力作用 (磁场对静止电荷没有作用力)，所以 M 点要在-Y 轴上。要进入磁场必先向上运动，静上的电荷要向上运动必须受到向上的电场力作用，而场强
27、E 方向是向下的，所以粒子带负电。(2)粒子在 M 点受向上电场力，从静止出发做匀加速运动。在 O 点进入匀强磁场后，只受洛仑兹力(方向沿+X 轴)做匀速周围运动，经半个周期，回到 X 轴上的 P 点，进入匀强电场，在电场力作用下做匀减速直线运动直到速度为零。然后再向上做匀加速运动，在 X 轴上 P点进入匀强磁场，做匀速圆运动，经半个周期回到 X 轴上的 Q 点，进入匀强电场，再在电场力作用下做匀减速运动直到速度为零。此后，粒子重复上述运动直到 X 轴上的 N 点，运动轨迹如图 8 所示。（1）设释放点 M 的坐标为(0.-y O)，在电场中由静止加速，则：qEy O= mV2 在匀强磁场中粒
28、子以速率 V 做匀速圆周运动，有：qBV=mV 2/R 设 n 为粒子做匀速圆周运动的次数(正整数)则：L=n2R， 所以 R=L/2n 解式得：V=qBL/2mn， 所以 yO=qB2L2/8n2mE (式中 n 为正整数)(2)粒子由 M 运动到 N 在电场中的加速运动和减速运动的次数为(2n-1)次，每次加速或减速的时间都相等，设为 t1，则：y O= at1 2= qEt12/m所以 t1=粒子在磁场中做匀速圆周运动的半周期为 t2，共 n 次，t 2=m/qB粒子从 M 点运动到 N 点共经历的时间为：t=(2n-1)t1+nt2=(2n-1)BL/2nE+nm/qB (n=1、2、
29、3) 17.(20 分)如图所示,在 xoy 坐标平面的第一象限内有一沿 y 轴正方向的匀强电场,在第四象限内有一垂 O450(3L,L)P0vA1 xy直于平面向内的匀强磁场,现有一质量为 m 带电量为 q 的负粒子(重力不计)从电场中坐标为(3L,L)的 P 点与 x 轴负方向相同的速度 射入，从 O 点与 y 轴正方向成 夹角0v045射出,求:(1)粒子在 O 点的速度大小.(2)匀强电场的场强 E.(3)粒子从 P 点运动到 O 点所用的时间.解:(1)粒子运动轨迹如图所示,设粒子在 P 点时速度大小为 ,OQ 段为四分之一圆弧,QP 段v为抛物线,根据对称性可知,粒子在 Q 点的速度大小也为 ,方向与 x 轴正方向成 450.可得（v分245cos/00 02v（得（1 分）(2)Q 到 P 过程,由动能定理得 （3 分） 2021mvqEL即 （1 分）mv2(3)在 Q 点时, （2 分）0045tanvy由 P 到 Q 过程中,竖直方向上有: （1 分） （2 分）mqE012vLatyyO450 (3L,L)P0vxQvv水平方向有: （1 分） 则 OQ=3L-2L=L （1 分）Ltvx210得粒子在 OQ 段圆周运动的半径 （2 分）RQ 到 O 的时间: （2 分）0241vLt粒子从 P 到 O 点所用的时间:t=t 1+t2= （2 分）0)8(
